《2026年一本密卷高考数学》

4. (2025·四川省成都市三模)已知某地社交媒体用户的日活跃时长 $X$(单位：小时)服从正态分布 $N(2.4, 0.7^{2})$，则下面描述不正确的是(B)

A.$E(X)=2.4$，$D(X)=0.7^{2}$
B.若 $P(X\leqslant 1)=P(X\geqslant b)$，则 $b = 3$
C.$P(X\leqslant 0.3)+P(X\geqslant 4.5)＜P(0.3＜X＜4.5)$
D.$P(|X - 2|\leqslant 0.7)\geqslant P(|X - 3|\leqslant 0.7)$

答案： 4.B　因为$X$（单位:小时）服从正态分布$N(2.4,0.7^2)$，$\mu = 2.4$，$\sigma = 0.7$，根据正态分布知识，$E(X) = 2.4$，$D(X) = 0.7^2$，A正确；
若$P(X \leq 1) = P(X \geq b)$，则$\frac{1 + b}{2} = 2.4$，得$b = 3.8$，B错误；
$P(X \leq 0.3) + P(X \geq 4.5) = P(X \leq 2.4 - 3×0.7) + P(X \geq 2.4 + 3×0.7)$，根据$3\sigma$原则，可得$P(X \leq 0.3) + P(X \geq 4.5) ＜ P(0.3 ＜ X ＜ 4.5)$，C正确；
$P(|X - 2| \leq 0.7) = P(1.3 \leq X \leq 2.7) = P(1.3 \leq X \leq 2.3) + P(2.3 ＜ X \leq 2.7)$，$P(|X - 3| \leq 0.7) = P(2.3 \leq X \leq 3.7) = P(2.3 \leq X ＜ 2.7) + P(2.7 \leq X \leq 3.7)$，由对称性可知$P(1.3 \leq X \leq 2.3) ＞ P(2.7 \leq X \leq 3.7)$，所以$P(|X - 2| \leq 0.7) \geq P(|X - 3| \leq 0.7)$，D正确。故选B。

5. (2025·山东省枣庄市三模)已知 $A$，$B$ 为随机事件，且 $P(A)=0.5$，$P(B)=0.4$，则下列结论错误的是(B)

A.若 $A$，$B$ 互斥，则 $P(A\cup B)=0.9$
B.若 $A$，$B$ 相互独立，则 $P(A\overline{B})=0.2$
C.若 $A$，$B$ 相互独立，则 $P(A\cup B)=0.7$
D.若 $P(B|A)=0.5$，则 $P(B|\overline{A})=0.3$

答案： 5.B　对于A选项，若A，B互斥，根据互斥事件的概率加法公式$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$。已知$P(A) = 0.5$，$P(B) = 0.4$，则$P(A \cup B) = 0.5 + 0.4 = 0.9$，所以A选项正确。
对于B选项，若A，B相互独立，则A与$\overline{B}$也相互独立。因为$P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0.4 = 0.6$，所以$P(A\overline{B}) = P(A)P(\overline{B}) = 0.5×0.6 = 0.3 \neq 0.2$，所以B选项错误。
对于C选项，若A，B相互独立，则$P(AB) = P(A)P(B) = 0.5×0.4 = 0.2$。根据概率的加法公式$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$，将$P(A) = 0.5$，$P(B) = 0.4$，$P(AB) = 0.2$代入可得：$P(A \cup B) = 0.5 + 0.4 - 0.2 = 0.7$，所以C选项正确。
对于D选项，已知$P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} = 0.5$，$P(A) = 0.5$，则$P(AB) = 0.5×0.5 = 0.25$。$P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.5 = 0.5$，$P(B\overline{A}) = P(B) - P(AB) = 0.4 - 0.25 = 0.15$。根据条件概率公式$P(B|\overline{A}) = \frac{P(B\overline{A})}{P(\overline{A})} = \frac{0.15}{0.5} = 0.3$，所以D选项正确。故选B。

6. (2025·河南省焦作市三模)如图，一个圆形仓鼠笼被分为 $A$，$B$，$C$，$D$ 四个区域，相邻区域之间用通道相连，开始时将一只仓鼠放入 $A$ 区域，仓鼠每次随机选择一个通道进入相邻的区域，设经过 $n$ 次随机选择后仓鼠在 $A$ 区域的概率为 $x_{n}$，则下面描述不正确的是(B)


A.$x_{1}=0$
B.$x_{n + 1}^{2}=x_{n}x_{n + 2}$
C.$x_{2n + 1}＞x_{2n - 1}$
D.$x_{2n - 1}+x_{2n}＜\frac{1}{2}$

答案： 6.B　对于A，因为仓鼠一开始在A区域，经过1次选择后不可能在A区域，所以$x_1 = 0$，故A正确；
对于B，记仓鼠经过$n$次随机选择后在B，C，D区域的概率分别为$B_n$，$C_n$，$D_n$，则有$\begin{cases}x_n + B_n + C_n + D_n = 1\\x_{n + 1} = \frac{1}{3}B_n + \frac{1}{3}C_n + \frac{1}{3}D_n\end{cases}$，所以$x_{n + 1} = \frac{1}{3}(1 - x_n)$，进一步得$x_{n + 1} - \frac{1}{4} = - \frac{1}{3}(x_n - \frac{1}{4})$。因为$x_1 = 0$，所以$x_n - \frac{1}{4} = - \frac{1}{4} · (-\frac{1}{3})^{n - 1}$，所以$x_n = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} · (-\frac{1}{3})^{n - 1}$，所以$\{x_n\}$不成等比数列，故B错误；
对于C，因为$x_{2n + 1} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} · (-\frac{1}{3})^{2n - 1} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} · (\frac{1}{3})^{2n - 1}$，$x_{2n - 1} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} · (-\frac{1}{3})^{2n - 2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} · (\frac{1}{3})^{2n - 2}$，所以$x_{2n + 1} ＞ x_{2n - 1}$，故C正确；
对于D，因为$x_{2n} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} · (-\frac{1}{3})^{2n - 1} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} · (\frac{1}{3})^{2n - 1}$，所以$x_{2n - 1} + x_{2n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}[(\frac{1}{3})^{2n - 1} - (\frac{1}{3})^{2n - 2}] = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} · (\frac{1}{3})^{2n - 2} ＜ \frac{1}{2}$，故D正确。故选B。

7. (2025·江西九江市三模)已知随机变量 $X$，$Y$，$X\sim B(10,p)$，$Y\sim N(4,4)$，则下列说法正确的是(AD)

A.若 $P(X = 3)=P(X = 7)$，则 $p=\frac{1}{2}$
B.$D(X)＞\frac{5}{2}$
C.$P(Y＞4)＞\frac{1}{2}$
D.$P(Y＜2)=P(Y＞6)$

答案： 7.AD　$P(X = 3) = C_{10}^3 p^3 (1 - p)^7$，$P(X = 7) = C_{10}^7 p^7 (1 - p)^3$，由$C_{10}^3 p^3 (1 - p)^7 = C_{10}^7 p^7 (1 - p)^3$，等式化简为$p^3 (1 - p)^7 = p^7 (1 - p)^3 \Rightarrow (1 - p)^4 = p^4 \Rightarrow p = \frac{1}{2}$，故A正确；
二项分布方差为$D(X) = 10p(1 - p)$，当$p = \frac{1}{2}$时，$D(X) = 10×\frac{1}{2}×\frac{1}{2} = 2.5$，此时$D(X) = \frac{5}{2}$。对于其他$p$，$D(X) ＜ \frac{5}{2}$，故B错误；
$Y \sim N(4,4)$，均值$\mu = 4$，因此$P(Y ＞ 4) = \frac{1}{2}$，故C错误；由正态分布的对称性，2和6关于$\mu = 4$对称，根据对称性，$P(Y ＜ 2) = P(Y ＞ 6)$，故D正确。故选AD。

8. (2025·陕西省安康市三模)在平面直角坐标系上的一只蚂蚁从原点出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向移动 1 个单位长度，移动 6 次，则(ACD)

A.蚂蚁始终未远离原点超过 1 个单位长度的概率是 $\frac{1}{64}$
B.蚂蚁移动到点 $(3,3)$ 的概率为 $\frac{5}{512}$
C.蚂蚁回到原点的概率为 $\frac{25}{256}$
D.蚂蚁移动到直线 $y = x$ 上的概率为 $\frac{5}{16}$

答案： 8.ACD　对于A，蚂蚁始终未远离原点超过1个单位长度，则每一步的位置只能是$(0,0)$或原点的上下左右四个点。最开始蚂蚁在原点，第一次移动有上下左右4种走法，第二次移动只能回到原点，即只有1种走法，同理，第三次移动有上下左右4种走法，第四次移动只能回到原点，即只有1种走法，第五次移动有上下左右4种走法，第六次移动只能回到原点，即只有1种走法，所以满足题意的共有$4×1×4×1×4×1 = 64$种路径。而移动6次，每次有4种走法，即总路径数为$4^6$，由古典概型可知蚂蚁始终未远离原点超过1个单位长度的概率为$\frac{64}{4^6} = \frac{1}{64}$，故A正确；
对于B，蚂蚁移动到点$(3,3)$，则需恰好右移3次，上移3次，路径数为$C_6^3 C_3^3 = 20$（种），所以蚂蚁移动到点$(3,3)$的概率为$\frac{20}{4^6} = \frac{5}{1024}$，故B错误；
对于C，要回到原点，则左右移动次数相等，均为$a$次；上下移动次数相等，均为$b$次，总次数满足$2a + 2b = 6$，即$a + b = 3$，可能的组合有：
①$a = 3$，$b = 0$，即左右都3次，路径数为$C_6^3 C_3^0 C_3^3 = 20$（种）；
②$a = 2$，$b = 1$，即左右均2次，上下均1次，路径数为$C_6^4 C_4^2 C_2^2 = 180$（种）；
③$a = 1$，$b = 2$，即左右均1次，上下均2次，路径数为$C_6^2 C_2^1 C_4^4 = 180$（种）；
④$a = 0$，$b = 3$，即上下都3次，路径数为$C_6^3 = 20$（种）；
所以路径总数为$20 + 180 + 180 + 20 = 400$（种），故蚂蚁移动到原点的概率为$\frac{400}{4^6} = \frac{25}{256}$，故C正确；
对于D，蚂蚁要移动到直线$y = x$上，则水平净移动（向右移动次数减去向左移动次数）要等于垂直净移动（向上移动次数减去向下移动次数）。设水平净移动为$n$，则垂直净移动也为$n$。
当$n = 0$时，水平和垂直净移动均为0，即回到坐标原点，也即C选项所考虑的结果，共400种；
当$n = 1$时，水平和垂直净移动均为1，设向左次数为$l$，则向右次数为$l + 1$；设向下次数为$m$，则向上次数为$m + 1$，总移动次数$l + l + 1 + m + m + 1 = 6 \Rightarrow l + m = 2$，所以可能的组合有：
①$l = 0$，$m = 2$，此时向右1次，向左0次，向上3次，向下2次，路径数为$C_6^1 C_5^0 C_3^3 = 60$（种）；
②$l = 1$，$m = 1$，此时向右2次，向左1次，向上2次，向下1次，路径数为$C_6^3 C_3^2 C_1^1 = 180$（种）；
③$l = 2$，$m = 0$，此时向右3次，向左2次，向上1次，向下0次，路径数为$C_6^5 C_1^1 C_5^3 = 60$（种）；
所以当$n = 1$时，路径总数为$60 + 180 + 60 = 300$种；由对称性，可知当$n = -1$时，路径总数也为300种；
当$n = 2$时，水平和垂直净移动均为2，设向左次数为$l$，则向右次数为$l + 2$；设向下次数为$m$，则向上次数为$m + 2$，总移动次数$l + l + 2 + m + m + 2 = 6 \Rightarrow l + m = 1$，所以可能的组合有：
①$l = 0$，$m = 1$，此时向右2次，向左0次，向上3次，向下1次，路径数为$C_6^2 C_4^0 C_2^3 = 60$（种）；
②$l = 1$，$m = 0$，此时向右3次，向左1次，向上2次，向下0次，路径数为$C_6^3 C_3^1 C_2^2 = 60$（种）；
所以当$n = 2$时，路径总数为$60 + 60 = 120$种；由对称性，可知当$n = -2$时，路径总数也为120种；
当$n = 3$时，水平和垂直净移动均为3，设向左次数为$l$，则向右次数为$l + 3$；设向下次数为$m$，则向上次数为$m + 3$，总移动次数$l + l + 3 + m + m + 3 = 6 \Rightarrow l = m = 0$，所以可能的组合只有：$l = 0$，$m = 0$，此时向右3次，向左0次，向上3次，向下0次，路径数为$C_6^3 C_3^0 C_3^3 = 20$（种）；
由对称性，可知当$n = -3$时，路径总数也为20种；当$n = 4$或绝对值更大时，总移动次数会超过6次，不符合题意。
故蚂蚁移动到直线$y = x$上的总路径数为$400 + 300×2 + 120×2 + 20×2 = 1280$（种），所以概率为$\frac{1280}{4^6} = \frac{5}{16}$。故D正确。故选ACD。