搜索
2026年一本密卷高考数学
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2026年一本密卷高考数学 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
16. （15分）已知单调递增数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1} = 1$，$(a_{n + 1} - a_{n})^{2} = 2(a_{n + 1} + a_{n}) - 1$。
（1）证明：$\{\sqrt{a_{n}}\}$是等差数列；
（2）从①$b_{n} = \frac{1}{a_{n}\sqrt{a_{n + 1}}a_{n + 2}}$；②$b_{n} = \frac{a_{n} + 4n + 2}{a_{n}a_{n + 1}· 2^{n + 1}}$。这两个条件中任选一个，求$\{b_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}$。
注：如果选择不同的条件分别解答，按第一个解答计分。
（1）证明：$\{\sqrt{a_{n}}\}$是等差数列；
（2）从①$b_{n} = \frac{1}{a_{n}\sqrt{a_{n + 1}}a_{n + 2}}$；②$b_{n} = \frac{a_{n} + 4n + 2}{a_{n}a_{n + 1}· 2^{n + 1}}$。这两个条件中任选一个，求$\{b_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}$。
注：如果选择不同的条件分别解答，按第一个解答计分。
答案：
16.解：
(1)证明：因为$(a_{n + 1}-a_n)^2 = 2(a_{n + 1}+a_n)-1$，所以$a_{n + 1}^2 - 2a_{n + 1}a_n + a_n^2 = 2a_{n + 1}+2a_n - 1$，所以$(a_{n + 1}+a_n)^2 - 2(a_{n + 1}+a_n)+1 = 4a_{n + 1}a_n$，所以$(a_{n + 1}+a_n - 1)^2 = 4a_{n + 1}a_n$，又数列$\{a_n\}$单调递增且满足$a_1 = 1$，即$a_{n + 1}\gt a_n\gt·s\gt a_1 = 1$，所以$a_{n + 1}+a_n - 1 = 2\sqrt{a_{n + 1}a_n}$，即$(\sqrt{a_{n + 1}})^2+(\sqrt{a_n})^2 - 1 = 2\sqrt{a_{n + 1}}·\sqrt{a_n}$，所以$(\sqrt{a_{n + 1}}-\sqrt{a_n})^2 = 1$，所以$\sqrt{a_{n + 1}}-\sqrt{a_n} = 1$，又$\sqrt{a_1} = 1$，所以$\{\sqrt{a_n}\}$是首项为1，公差为1的等差数列.
(2)由
(1)可得$\sqrt{a_n} = n$，则$a_n = n^2$，若选①：$b_n=\frac{1}{a_n\sqrt{a_{n + 1}a_{n + 2}}}=\frac{1}{n^2(n + 1)^2(n + 2)^2}=\frac{1}{4}×\frac{(n + 2)^2 - n^2}{n^2(n + 1)^2(n + 2)^2}=\frac{1}{4}×[\frac{1}{n^2(n + 1)^2}-\frac{1}{(n + 1)^2(n + 2)^2}]$，所以$S_n=\frac{1}{4}×[\frac{1}{1^2×2^2}-\frac{1}{2^2×3^2}+\frac{1}{2^2×3^2}-\frac{1}{3^2×4^2}+·s+\frac{1}{n^2(n + 1)^2}-\frac{1}{(n + 1)^2(n + 2)^2}]=\frac{1}{4}×[\frac{1}{4}-\frac{1}{(n + 1)^2(n + 2)^2}]$；若选②：$b_n=\frac{a_n + 4n + 2}{a_na_{n + 1}·2^{n + 1}}=\frac{n^2 + 4n + 2}{n^2·(n + 1)^2×2^{n + 1}}=\frac{2(n + 1)^2 - n^2}{n^2·(n + 1)^2×2^{n + 1}}=\frac{2(n + 1)^2}{n^2·(n + 1)^2×2^{n + 1}}-\frac{n^2}{n^2·(n + 1)^2×2^{n + 1}}=\frac{1}{n^2×2^n}-\frac{1}{(n + 1)^2×2^{n + 1}}$，所以$S_n=\frac{1}{1^2×2^1}-\frac{1}{2^2×2^2}+\frac{1}{2^2×2^2}-\frac{1}{3^2×2^3}+\frac{1}{3^2×2^3}-\frac{1}{4^2×2^4}+·s+\frac{1}{n^2×2^n}-\frac{1}{(n + 1)^2×2^{n + 1}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{(n + 1)^2×2^{n + 1}}$.
(1)证明：因为$(a_{n + 1}-a_n)^2 = 2(a_{n + 1}+a_n)-1$，所以$a_{n + 1}^2 - 2a_{n + 1}a_n + a_n^2 = 2a_{n + 1}+2a_n - 1$，所以$(a_{n + 1}+a_n)^2 - 2(a_{n + 1}+a_n)+1 = 4a_{n + 1}a_n$，所以$(a_{n + 1}+a_n - 1)^2 = 4a_{n + 1}a_n$，又数列$\{a_n\}$单调递增且满足$a_1 = 1$，即$a_{n + 1}\gt a_n\gt·s\gt a_1 = 1$，所以$a_{n + 1}+a_n - 1 = 2\sqrt{a_{n + 1}a_n}$，即$(\sqrt{a_{n + 1}})^2+(\sqrt{a_n})^2 - 1 = 2\sqrt{a_{n + 1}}·\sqrt{a_n}$，所以$(\sqrt{a_{n + 1}}-\sqrt{a_n})^2 = 1$，所以$\sqrt{a_{n + 1}}-\sqrt{a_n} = 1$，又$\sqrt{a_1} = 1$，所以$\{\sqrt{a_n}\}$是首项为1，公差为1的等差数列.
(2)由
(1)可得$\sqrt{a_n} = n$，则$a_n = n^2$，若选①：$b_n=\frac{1}{a_n\sqrt{a_{n + 1}a_{n + 2}}}=\frac{1}{n^2(n + 1)^2(n + 2)^2}=\frac{1}{4}×\frac{(n + 2)^2 - n^2}{n^2(n + 1)^2(n + 2)^2}=\frac{1}{4}×[\frac{1}{n^2(n + 1)^2}-\frac{1}{(n + 1)^2(n + 2)^2}]$，所以$S_n=\frac{1}{4}×[\frac{1}{1^2×2^2}-\frac{1}{2^2×3^2}+\frac{1}{2^2×3^2}-\frac{1}{3^2×4^2}+·s+\frac{1}{n^2(n + 1)^2}-\frac{1}{(n + 1)^2(n + 2)^2}]=\frac{1}{4}×[\frac{1}{4}-\frac{1}{(n + 1)^2(n + 2)^2}]$；若选②：$b_n=\frac{a_n + 4n + 2}{a_na_{n + 1}·2^{n + 1}}=\frac{n^2 + 4n + 2}{n^2·(n + 1)^2×2^{n + 1}}=\frac{2(n + 1)^2 - n^2}{n^2·(n + 1)^2×2^{n + 1}}=\frac{2(n + 1)^2}{n^2·(n + 1)^2×2^{n + 1}}-\frac{n^2}{n^2·(n + 1)^2×2^{n + 1}}=\frac{1}{n^2×2^n}-\frac{1}{(n + 1)^2×2^{n + 1}}$，所以$S_n=\frac{1}{1^2×2^1}-\frac{1}{2^2×2^2}+\frac{1}{2^2×2^2}-\frac{1}{3^2×2^3}+\frac{1}{3^2×2^3}-\frac{1}{4^2×2^4}+·s+\frac{1}{n^2×2^n}-\frac{1}{(n + 1)^2×2^{n + 1}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{(n + 1)^2×2^{n + 1}}$.
查看更多完整答案，请扫码查看
