《2026年一本密卷高考数学》

1. 若数列$\{ a_{n}\}$是等差数列，其前 $ n $ 项和为 $ S_{n}$，若 $ a_{6}=2$，且 $ S_{5}=30$，则 $ S_{8} $ 等于(B)

A.31
B.32
C.33
D.34

答案： 1.B 设等差数列$\{ a_{n}\}$的公差为$d$，则$\begin{cases}a_{1} + 5d = 2\\5a_{1} + \frac{5 × 4}{2}d = 30 \end{cases}$，解得$\begin{cases} d = - \frac{4}{3}\\a_{1} = \frac{26}{3} \end{cases}$，所以$S_{8} = 8a_{1} + \frac{8 × 7}{2}d = 8 × \frac{26}{3} + 28 × ( - \frac{4}{3}) = 32$.故选 B.

2. (2025·四川省凉山州三模)设等差数列$\{ a_{n}\}$的公差为 $ d$，若 $ a_{2}+a_{10}=6$，$a_{6}a_{8}=15$，则 $ d=$(A)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 2.A 因为数列$\{ a_{n}\}$为等差数列，则$a_{2} + a_{10} = 2a_{6} = 6$，即$a_{6} = 3$，又因为$a_{6}a_{8} = 3a_{8} = 15$，即$a_{8} = 5$，所以公差$d = \frac{a_{8} - a_{6}}{8 - 6} = 1$.故选 A.

3. (2025·湖北武汉市武昌区三模)已知等比数列$\{ a_{n}\}$为递增数列，若 $ a_{1}a_{8}=2a_{4}$，$a_{3}+a_{7}=\frac{17}{2}$，则 $ a_{1}=$(A)

A.$\frac{1}{8}$
B.$\frac{1}{4}$
C.4
D.8

答案： 3.A 已知等比数列$\{ a_{n}\}$，则$a_{1}a_{8} = a_{4}a_{5} = 2a_{4}$，因为$a_{4} \neq 0$，所以$a_{5} = 2$，则$a_{3}a_{7} = a_{5}^{2} = 4$，又$a_{3} + a_{7} = \frac{17}{2}$，所以$a_{3} = \frac{1}{2},a_{7} = 8$或$a_{7} = \frac{1}{2},a_{3} = 8$，因为等比数列$\{ a_{n}\}$为递增数列，则$a_{3} = \frac{1}{2},a_{7} = 8$，且公比$q ＞ 0$，所以$\frac{a_{7}}{a_{3}} = q^{4} = \frac{8}{\frac{1}{2}} = 16$，则$q = 2$，故$a_{1} = \frac{a_{3}}{q^{2}} = \frac{1}{8}$.故选 A.

4. (2025·山东威海市三模)已知等差数列$\{ a_{n}\}$的前 $ n $ 项和为 $ S_{n}$，$a_{2}+a_{6}=15 - a_{10}$，则 $ S_{11}=$(D)

A.40
B.45
C.50
D.55

答案： 4.D 由$a_{2} + a_{6} = 15 - a_{10}$可得$3a_{6} = 15$，即$a_{6} = 5$，则$S_{11} = \frac{11(a_{1} + a_{11})}{2} = 11a_{6} = 11 × 5 = 55$.故选 D.

5. (2025·江西九江市三模)九江银行·2025“庐山杯”九江马拉松于 3 月 23 日上午鸣枪开跑. 此前，为备战此次马拉松，小宝同学制定了一个为期 20 周的跑步训练计划. 计划第 1 周跑步 2 公里，之后一段时间每周的跑步量是前一周的 2 倍；当周跑步量首次超过 30 公里后，每周比前一周多跑 2 公里；当周跑步量首次超过全马里程(42.195 公里)后，保持这个周训练量直至训练结束. 请问：训练计划结束时，小宝同学跑步的总量是(C)

A.736 公里
B.724 公里
C.692 公里
D.660 公里

答案： 5.C 记第一周跑步量为$a_{1} = 2$，则$S_{4} = 2 + 4 + 8 + 16 = 30$，所以前$5$周的跑步量为等比数列，所以$a_{5} = 16 × 2 = 32$，则$a_{10} = 32 + 5 × 2 = 42$，$a_{11} = 42 + 2 = 44$，故第$5$周到第$10$周的跑步量为等差数列，则$\frac{(32 + 42) × 6}{2} = 222$，第$11$周到第$20$周每周$44$公里，总和为$440$公里，所以小宝同学跑步的总量是$30 + 222 + 440 = 692$(公里).故选 C.

6. 给定一个数列$\{ a_{n}\}$，记 $ b_{n}=a_{n + 1}-a_{n}$，则把数列$\{ b_{n}\}$称为$\{ a_{n}\}$的一阶差数列. 若数列$\{ c_{n}\}$的一阶差数列$\{ t_{n}\}$的通项公式为 $ t_{n}=n + 2^{n - 1}$，$c_{1}=1$，则 $ c_{9}=$(C)

A.556
B.557
C.292
D.291

答案： 6.C 根据题意，$t_{n} = c_{n + 1} - c_{n} = n + 2^{n - 1}$，则$c_{9} - c_{8} + c_{8} - c_{7} + ·s + c_{2} - c_{1} = t_{8} + ·s + t_{1} = \frac{(1 + 8) × 8}{2} + \frac{1 - 2^{8}}{1 - 2} = 291$，即$c_{9} - c_{1} = 291$，又因为$c_{1} = 1$，故$c_{9} = 292$.故选 C.

7. (2025·陕西省安康市三模)在数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=1$，对任意 $ m$，$n \in \mathbf{N}^{*}$，$a_{m + n}=a_{m}+a_{n}+2mn$，则(ABD)

A.$a_{4}=16$
B.$\{ a_{n}\}$为递增数列
C.$\{ a_{n}\}$为等差数列
D.$\frac{1}{a_{1}+1}+\frac{1}{a_{2}+2}+\frac{1}{a_{3}+3}+·s+\frac{1}{a_{20}+20}=\frac{20}{21}$

答案： 7.ABD 令$m = 1$，则$a_{n + 1} = a_{1} + a_{n} + 2n$，所以$a_{n + 1} - a_{n} = 1 + 2n ＞ 0$，所以$\{ a_{n}\}$为递增数列，不是等差数列，故 B 正确，C 错误；由$a_{n} - a_{n - 1} = 1 + 2(n - 1)$，$a_{n - 1} - a_{n - 2} = 1 + 2(n - 2)$，$·s$，$a_{2} - a_{1} = 1 + 2$，累加得：$a_{n} - a_{1} = 3 + 5 + 7 + ·s + \lbrack 2(n - 1) + 1\rbrack$，所以$a_{n} = 1 + 3 + 5 + 7 + ·s + \lbrack 2(n - 1) + 1\rbrack = \frac{n[1 + (2n - 1)]}{2} = n^{2}$，故$a_{n} = n^{2}$，所以$a_{4} = 4^{2} = 16$，故 A 正确；又$\frac{a_{n} + n}{n^{2} + n} = \frac{n^{2} + n}{n(n + 1)} = \frac{1}{n}$，$\frac{1}{a_{n} + n + 1} = \frac{1}{n^{2} + n + 1}$，所以$\frac{1}{a_{1} + 2} + \frac{1}{a_{2} + 3} + ·s + \frac{1}{a_{20} + 21} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ·s + \frac{1}{20} - \frac{1}{21} = \frac{20}{21}$，故 D 正确.故选 ABD.

8. (2025·河北石家庄三模)已知数列$\{ a_{n}\}$的前 $ n $ 项和为 $ S_{n}=-n^{2}+11n$，则下列说法正确的是(ACD)

A.数列$\left\{\frac{S_{n}}{n}\right\}$为递减数列
B.当且仅当 $ n = 5 $ 时，$ S_{n} $ 取得最大值
C.$ a_{n}=-2n + 12 $
D.$\{ 2^{a_{n}}\}$是等比数列

答案： 8.ACD 由题意可知，$\frac{S_{n}}{n} = - n + 11$，则$\frac{S_{n + 1}}{n + 1} - \frac{S_{n}}{n} = - n + 10 - ( - n + 11) = - 1 ＜ 0$，故数列$\{\frac{S_{n}}{n}\}$为递减数列，故 A 正确；因二次函数$y = - x^{2} + 11x$的对称轴为$x = \frac{11}{2}$，且开口朝下，则当$n = 5$或$6$时，$S_{n}$取得最大值，故 B 错误；当$n \geqslant 2$时，$S_{n - 1} = - (n - 1)^{2} + 11(n - 1) = - n^{2} + 13n - 12$，则$a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = - n^{2} + 11n - ( - n^{2} + 13n - 12) = - 2n + 12$，又$a_{1} = S_{1} = 10$，符合上式，故$a_{n} = - 2n + 12$，$n \in \mathbf{N}^{*}$，故 C 正确；令$b_{n} = 2^{a_{n}} = 2^{- 2n + 12}$，则$\frac{b_{n + 1}}{b_{n}} = \frac{2^{- 2n + 10}}{2^{- 2n + 12}} = 2^{- 2}$，则$\{ 2^{a_{n}}\}$是等比数列，故 D 正确.故选 ACD.