《2026年一本密卷高考数学》

1. 已知复数$z$满足$\frac{5}{1 - z}=2 + i$，则$|z|=$(B)

A.$\sqrt{10}$
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{5}$
D.1

答案： 1.B　由$\frac{5}{1 - z}=2 + i$，可得$1 - z=\frac{5}{2 + i}=\frac{5(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)}=\frac{5(2 - i)}{5}=2 - i$，所以$z=-1 + i$，则$|z|=\sqrt{2}$.故选B.

2. 已知集合$A = \{x|x ＞ 3\}$，$B = \{x|y = \sqrt{6 - x}\}$，则$A\cap B=$(C)

A.$(3 + \infty)$
B.$[6, + \infty)$
C.$(3,6]$
D.$(3,6)$

答案： 2.C　由$B = \{x|y = \sqrt{6 - x}\}=\{x|6 - x\geq0\}=\{x|x\leq6\}$，则$A\cap B = \{x|3\lt x\leq6\}=(3,6]$.故选C.

3. 向量$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = 1$，$|\boldsymbol{c}| = \sqrt{3}$，且$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} - \boldsymbol{c} = \boldsymbol{0}$，则$\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\rangle=$(D)

A.$-\frac{1}{2}$
B.$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： 3.D　$a + b - c = 0$，则$b = c - a$，则$b^2 = c^2 - 2a· c + a^2$，即$1 = 3 - 2a· c + 1$，解得$a· c=\frac{3}{2}$，所以$\cos\langle a,c\rangle=\frac{a· c}{|a||c|}=\frac{\frac{3}{2}}{1×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.故选D.

4. 设$\alpha$，$\beta$是两个不同的平面，$l$，$m$是两条直线，且$m\subset\alpha$，$l\perp\alpha$。则“$l\perp\beta$”是“$m//\beta$”的(A)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件

答案：
4.A　$l\perp\beta$，且$l\perp\alpha$，所以$\alpha//\beta$，又$m\subset\alpha$，所以$m//\beta$，充分性满足，如图：满足$m//\beta$，$m\subset\alpha$，$l\perp\alpha$，但$l\perp\beta$不成立，故必要性不满足，所以“$l\perp\beta$”是“$m//\beta$”的充分而不必要条件.故选A.

5. 如图中，图象对应的函数解析式为(D)


A.$f(x)=\frac{e^{|x|}\cos 2x}{x^{2} + 1}$
B.$f(x)=\frac{e^{|x|}\sin 2x}{|x|}$
C.$f(x)=\frac{\sin 2x}{x^{2} + 1}$
D.$f(x)=\frac{e^{|x|}\sin 2x}{x^{2} + 1}$

答案： 5.D　由图象可知函数关于原点对称，故为奇函数，对于A，$f(x)=\frac{e^{|x|}\cos2x}{x^2 + 1}$，$f(-x)=\frac{e^{|-x|}(\cos - 2x)}{(-x)^2 + 1}=\frac{e^{|-x|}\cos2x}{x^2 + 1}=f(x)$，故函数为偶函数，不符合；对于B，应有$x\neq0$，而图中$f(0)=0$，矛盾，故B不符合；对于C，由于$x\in R$，$f(x)=\frac{\sin2x}{x^2 + 1}\leq\frac{1}{x^2 + 1}\leq1$，显然不符合.故选D.

6. 据典籍《周礼·春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音。如果把这五个音阶全用上，排成一个五音音阶序，要求“宫”不为末音阶，“羽”不为首音阶，“商”“角”不相邻，则可以排成不同音序的种数是(A)

A.50
B.64
C.66
D.78

答案： 6.A　①若“宫”为首音阶，“商”“角”可取24，25，35音阶，排成的音序有$C_{3}^{1}A_{2}^{2}A_{2}^{2}=12$（种）；②若“宫”为第2音阶，“商”“角”可取13，14，15，35音阶，排成的音序有$C_{3}^{1}A_{2}^{2}A_{2}^{2}+A_{2}^{2}=14$（种）；③若“宫”为第3音阶，“商”“角”可取14，15，24，25音阶，排成的音序有$C_{2}^{1}A_{2}^{2}A_{2}^{2}+C_{2}^{1}A_{2}^{2}=12$（种）；④若“宫”为第4音阶，“商”“角”可取13，15，25，35音阶，排成的音序有$C_{2}^{1}A_{2}^{2}A_{2}^{2}+C_{2}^{1}A_{2}^{2}=12$（种）.由分类加法计数原理可知，一共有$12 + 14 + 12 + 12 = 50$种排法.故选A.

7. 设抛物线$C:y^{2}=2px(p ＞ 0)$的焦点为$F$，准线为$l$，过$F$的直线与$C$交于$A$、$B$两点，记点$A$到直线$l$的距离为$d$，且$|AB| = pd$。若点$A$的横坐标为2，则$p=$(C)

A.$\frac{2}{3}$
B.1
C.$\frac{4}{3}$
D.2

答案： 7.C　抛物线$C$的准线方程为$x = -\frac{p}{2}$，由抛物线的定义可得$|AF| = d=\frac{p}{2}+2$，设点$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，若直线$AB$与$x$轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.设直线$AB$的方程为$x = ty+\frac{p}{2}$，联立$\begin{cases}x = ty+\frac{p}{2}\\y^2 = 2px\end{cases}$可得$y^2 - 2tpy - p^2 = 0$，则$\Delta = 4t^2p^2 + 4p^2\gt0$，由韦达定理可得$y_1y_2 = -p^2$，所以$x_1x_2=\frac{y_1^2y_2^2}{4p^2}=\frac{p^4}{4p^2}=\frac{p^2}{4}$，故$x_2=\frac{p^2}{8}$，所以$|AB| = x_1 + x_2 + p = 2+\frac{p^2}{8}+p=p(\frac{p}{2}+2)$，整理可得$3p^2 + 8p - 16 = 0$，即$(3p - 4)(p + 4)=0$，因为$p\gt0$，解得$p=\frac{4}{3}$.故选C.

8. 已知函数$f(x)=\begin{cases}a^{x - 2} + 1,x\leqslant 2,\\-(x - 2)^{2} + 4a,x ＞ 2\end{cases}(a ＞ 0$且$a\neq 1)$在$\mathbf{R}$上为单调函数。若方程$f^{2}(x) - 4|f(x)| + 3 = 0$有4个不同的实数解，则实数$a$的取值范围是(C)

A.$(0,\frac{1}{2}]$
B.$[\frac{1}{4},\frac{1}{2}]$
C.$(\frac{1}{4},\frac{1}{2}]$
D.$(\frac{1}{4},1)$

答案： 8.C　由题意可知：$f(x)$为单调函数，当$x\gt2$时，$f(x)$单调递减；故当$x\leq2$时，$f(x)$也是单调递减，故$0\lt a\lt1$；要确保$f(x)$在$R$上单调递减，则$-(2 - 2)^2 + 4a = 4a\leq f(2)=2$，解得：$a\leq\frac{1}{2}$，所以满足$f(x)$在$R$上单调递减时，实数$a$的取值范围为$0\lt a\leq\frac{1}{2}$，当$x\leq2$时，$f(x)=a^{x - 2}+1$，又$f(x)$在$(-\infty,2]$上单调递减，$0\lt a\leq\frac{1}{2}$，所以$f(x)=a^{x - 2}+1\geq f(2)=2$，即$f(x)$在$(-\infty,2]$上的值域为$[2,+\infty)$.令$f^2(x) - 4|f(x)| + 3 = 0$，则$|f(x)| = 1$或$3$，即$f(x)=\pm1$或$\pm3$，要使得$f^2(x) - 4|f(x)| + 3 = 0$有4个不同的实数解，则$-(2 - 2)^2 + 4a = 4a\gt1$，解得：$a\gt\frac{1}{4}$.综上，实数$a$的取值范围为$\frac{1}{4}\lt a\leq\frac{1}{2}$，即$a\in(\frac{1}{4},\frac{1}{2}]$.故选C.