《2026年一本密卷高考数学》

22. 某中学在运动会期间，随机抽取了男、女生各 100 名参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行统计分析，得到数据如下表，表格中的数字代表对应的人数.

(1) 根据以上数据，依据小概率值 $ \alpha = 0.01 $ 的独立性检验，能否认为学生性别与绳子打结速度快慢有关？
(2) 现有 $ n(n\in\mathbf{N}^{*}) $ 根绳子，共有 $ 2n $ 个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束（规定每根绳子两端绳头视为不同绳头）.
(ⅰ) 当 $ n = 3 $ 时，记随机变量 $ X $ 为绳子围成的圈的个数，求 $ X $ 的分布列与数学期望；
(ⅱ) 求 $ n $ 根绳子恰好能围成一个圈的概率.
附：$ \chi^{2} = \frac{n(ad - bc)^{2}}{(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)} $，其中 $ n = a + b + c + d $.

答案： 22. 解：
(1)零假设为$H_0$：学生性别与绳子打结速度快慢无关。依题意，补全$2× 2$列联表如下，
| 性别\速度 | 快 | 慢 | 合计 |
| --- | --- | --- | --- |
| 男生 | 65 | 35 | 100 |
| 女生 | 45 | 55 | 100 |
| 合计 | 110 | 90 | 200 |
所以$\chi^2 = \frac{200×(65× 55 - 35× 45)^2}{90× 110× 100× 100} = \frac{800}{99} \approx 8.08 ＞ 6.635$。
故依据小概率值$\alpha = 0.01$的独立性检验，可以认为学生性别与绳子打结速度快慢有关。
(2)(ⅰ)由题知，随机变量$X$的所有可能取值为1，2，3，
$P(X = 1) = \frac{C_8^1C_4^1C_2^1}{A_3^3C_8^2C_4^2C_2^2} = \frac{8}{15}$，
$P(X = 2) = \frac{3× 2}{A_3^3C_8^2C_4^2C_2^2} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$，
$P(X = 3) = \frac{1}{A_3^3C_8^2C_4^2C_2^2} = \frac{1}{15}$，
所以$X$的分布列为
| $X$ | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
| $P$ | $\frac{8}{15}$ | $\frac{2}{5}$ | $\frac{1}{15}$ |
所以$E(x) = 1×\frac{8}{15} + 2×\frac{2}{5} + 3×\frac{1}{15} = \frac{23}{15}$。
(ⅱ)不妨令绳头编号依次为1，2，3，4，…，$2n$，其中1，2为同一根绳的两头，3，4为同一根绳的两头，…，则可以与绳头2打结形成一个圈的绳头除了编号1外，有$(2n - 2)$种可能，
假设绳头1与绳头3打结，那么相当于对剩下$(n - 1)$根绳子进行打结，
设$n(n\in N^*)$根绳子打结完毕后可成一个圈的情况种数为$a_n$，
那么经过一次打结后，剩下$(n - 1)$根绳子打结完毕后可成一个圈的情况种数为$a_{n - 1}$，
由此可得，$a_n = (2n - 2)a_{n - 1}$，$n\geq 2$，
所以$\frac{a_n}{a_{n - 1}} = 2n - 2$，$\frac{a_{n - 1}}{a_{n - 2}} = 2n - 4$，…，$\frac{a_2}{a_1} = 2$，
所以$\frac{a_n}{a_1} = (2n - 2)×(2n - 4)×·s× 2 = 2^{n - 1}·(n - 1)!$，
显然$a_1 = 1$，故$a_n = 2^{n - 1}·(n - 1)!$。
因为对$2n$个绳头进行任意2个绳头打结，所有方法总数为$N = \frac{C_{2n}^2C_{2n - 2}^2C_{2n - 4}^2·s C_2^2}{n!} = \frac{2n·(2n - 1)·(2n - 2)··s· 2· 1}{2^n· n!} = \frac{(2n)!}{2^n· n!}$，
所以$P = \frac{a_n}{N} = \frac{2^{n - 1}·(n - 1)!}{\frac{(2n)!}{2^n· n!}} = \frac{2^{2n - 1}· n!·(n - 1)!}{(2n)!}$