《2026年一本密卷高考数学》

1. $(1 + 5i)i$的虚部为(C)

A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$6$

答案： 1.C 因为$(1 + 5i)i = i + 5i^{2} = - 5 + i$，所以其虚部为$1$，故选C.

2. 设全集$U = \{x|x$是小于9的正整数$\}$，集合$A = \{1,3,5\}$，则$\complement_U A$中元素个数为(C)

A.$0$
B.$3$
C.$5$
D.$8$

答案： 2.C 因为$U = \{ 1,2,3,4,5,6,7,8\}$，所以，$\complement_{U}A = \{ 2,4,6,7,8\}$，$\complement_{U}A$中的元素个数为$5$，故选C.

3. 若双曲线$C$的虚轴长为实轴长的$\sqrt{7}$倍，则$C$的离心率为(D)

A.$\sqrt{2}$
B.$2$
C.$\sqrt{7}$
D.$2\sqrt{2}$

答案： 3.D 设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为$2a,2b,2c$，由题知，$b = \sqrt{7}a$，于是$a^{2} + b^{2} = c^{2} = a^{2} + 7a^{2} = 8a^{2}$，则$c = 2\sqrt{2}a$，即$e = \frac{c}{a} = 2\sqrt{2}$.故选D.

4. 若点$(a,0)(a ＞ 0)$是函数$y = 2\tan\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$的图象的一个对称中心，则$a$的最小值为(B)

A.$\frac{\pi}{6}$
B.$\frac{\pi}{3}$
C.$\frac{\pi}{2}$
D.$\frac{4\pi}{3}$

答案： 4.B 根据正切函数的性质，$y = 2\tan\left( x - \frac{\pi}{3} \right)$的对称中心横坐标满足$x - \frac{\pi}{3} = \frac{k\pi}{2}$，$k \in \mathbf{Z}$，即$y = 2\tan\left( x - \frac{\pi}{3} \right)$的对称中心是$\left( \frac{\pi}{3} + \frac{k\pi}{2},0 \right)$，$k \in \mathbf{Z}$，即$\alpha = \frac{\pi}{3} + \frac{k\pi}{2}$，$k \in \mathbf{Z}$，又$\alpha ＞ 0$，则$k = 0$时$\alpha$最小，最小值是$\frac{\pi}{3}$，即$\alpha = \frac{\pi}{3}$.故选B.

5. 设$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上且周期为2的偶函数，当$2\leq x\leq 3$时，$f(x) = 5 - 2x$，则$f\left(-\frac{3}{4}\right) = $(A)

A.$-\frac{1}{2}$
B.$-\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{2}$

答案： 5.A 由题知$f(x) = f( - x)$，$f(x + 2) = f(x)$对一切$x \in \mathbf{R}$成立，于是$f\left( - \frac{3}{4} \right) = f\left( \frac{3}{4} \right) = f\left( \frac{11}{4} \right) = 5 - 2 × \frac{11}{4} = - \frac{1}{2}$.故选A.

6. 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2(风速的大小和向量的大小相同)，单位$(m/s)$，则真风为(A)


A.轻风
B.微风
C.和风
D.劲风

答案： 6.A 由题意及图得，视风风速对应的向量为：$n = (0,2) - (3,3) = ( - 3, - 1)$，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，船速向量和船行风速的向量方向相反，设真风风速对应的向量为$n_{1}$，船行风速对应的向量为$n_{2}$，$\therefore n = n_{1} + n_{2}$，船行风速$n_{2} = - \lbrack(3,3) - (2,0)\rbrack = ( - 1, - 3)$，$\therefore n_{1} = n - n_{2} = ( - 3, - 1) - ( - 1, - 3) = ( - 2,2)$，$\left| n_{1} \right| = \sqrt{( - 2)^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{2} \approx 2.828$，$\therefore$由表得，真风风速为轻风，故选A.