《2026年一本密卷高考数学》

32. 某数学竞赛小组有 10 名同学，其中 7 名男生，3 名女生。现有 3 道模拟题，老师从 10 名同学中随机逐一抽取 3 名同学（已经被抽到的同学不再参与后续抽取），分别去独立完成 3 道模拟题的解答。记 $ A_i(i = 1, 2, 3) $ 为事件“第 $ i $ 次抽取到的是男生”。
(1) 求第二次抽到的是男生的概率 $ P(A_2) $；
(2) 求 $ P(A_1A_2A_3) $，$ P(A_1) $，$ P(A_2|A_1) $，$ P(A_3|A_1A_2) $ 的值，并观察结果，确定 $ P(A_1) $，$ P(A_2|A_1) $，$ P(A_3|A_1A_2) $ 与 $ P(A_1A_2A_3) $ 之间的一种等量关系；
(3) 根据(2)的结果，猜想一般情况：对于事件 $ A $，$ B $，$ C $，若 $ P(AB) ＞ 0 $，则 $ P(A) $，$ P(B|A) $，$ P(C|AB) $ 与 $ P(ABC) $ 之间会有怎样的一种等量关系式？给出证明，并直接写出对于 $ n $ 个事件 $ A_i(i = 1, 2, 3, ·s, n) $ 的结论（不需要证明）。

答案： 32.解：
(1)$P(A_2)=P(A_1)P(A_2|A_1)+P(\overline{A_1})P(A_2|\overline{A_1})=\frac{7}{10}×\frac{6}{9}+\frac{3}{10}×\frac{7}{9}=\frac{7}{10}$.
(2)$P(A_1A_2A_3)=\frac{7×6×5}{10×9×8}=\frac{7}{24}$，$P(A_1)=\frac{7}{10}$，$P(A_2|A_1)=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$，$P(A_3|A_1A_2)=\frac{P(A_1A_2A_3)}{P(A_1A_2)}=\frac{7}{24}×\frac{10×9}{7×6}=\frac{5}{8}$.
观察发现，其等量关系为$P(A_1A_2A_3)=P(A_1)· P(A_2|A_1)· P(A_3|A_1A_2)$.
(3)猜想：$P(ABC)=P(A)· P(B|A)· P(C|AB)$.
证明如下：$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$，$P(C|AB)=\frac{P(ABC)}{P(AB)}$，
从而$P(A)× P(B|A)× P(C|AB)=P(A)×\frac{P(AB)}{P(A)}×\frac{P(ABC)}{P(AB)}=P(ABC)$.
推广：对$n$个事件$A_i$（$i = 1,2,3,·s,n$），
若$P(A_1A_2·s A_{n - 1})＞0$，
则$P(A_1A_2·s A_n)=P(A_1)· P(A_2|A_1)· P(A_3|A_1A_2)·s· P(A_n|A_1A_2·s A_{n - 1})$.