《2025年周末C计划高中数学必修第一册人教版》

12. (2025 河北邯郸模拟预测)已知正数 $ x,y,z $ 满足 $ 3x + 2y + 2z \geq 4 $ 或 $ x + 3y + 3z \geq 3 $，记 $ M = \max\{ x,y,z \} $（$ M $ 为 $ x,y,z $ 中的最大者），则 $ M $ 的最小值为$\frac{3}{7}$。

答案： 12. 答案 $\frac{3}{7}$
解析 若$3x + 2y + 2z \geqslant 4$,则由$M = \max\{ x,y,z\}$,
得$\begin{cases} 3M \geqslant 3x ＞ 0, \\ 2M \geqslant 2y ＞ 0, \\ 2M \geqslant 2z ＞ 0, \end{cases}$所以$7M \geqslant 3x + 2y + 2z \geqslant 4$,所以$M \geqslant \frac{4}{7}$.
若$x + 3y + 3z \geqslant 3$,则由$M = \max\{ x,y,z\}$,
得$\begin{cases} M \geqslant x ＞ 0, \\ 3M \geqslant 3y ＞ 0, \\ 3M \geqslant 3z ＞ 0, \end{cases}$所以$7M \geqslant x + 3y + 3z \geqslant 3$,所以$M \geqslant \frac{3}{7}$.
故$M$的最小值为$\frac{3}{7}$.

13. (2025 广东深圳高级中学诊断考试)已知 $ a ＞ 0 $，$ b ＞ 0 $，$ c ＞ 0 $，$ a + 2b + 2ab = 3 $，则 $ \frac{(a + 2)(c + 1)}{3(a + 1)} + \frac{c + 1}{6b + 3} + \frac{4}{c + 2} $ 的最小值为$\frac{4\sqrt{6} - 2}{3}$。

答案： 13. 答案 $\frac{4\sqrt{6} - 2}{3}$
解析 由$a + 2b + 2ab = 3$,得$(a + 1)(2b + 1) = 4$,
因为$a ＞ 0$,所以$2b + 1 = \frac{4}{a + 1}$,
则$\frac{(a + 2)(c + 1)}{3(a + 1)} + \frac{c + 1}{6b + 3} + \frac{4}{c + 2} = \frac{c + 1}{3(a + 1)}\left( 1 + \frac{a + 1}{4} + \frac{4}{c + 1} \right) + \frac{c + 1}{b + 2} + \frac{4}{c + 2} - 1 =$
$a - 1 + \frac{1}{a + 1} + \frac{4}{c + 2} = a + b - 3 + \frac{1}{a + 1} + \frac{4}{b + 2}$
$= \frac{c + 1}{3}\left( 1 + \frac{1}{a + 1} + \frac{4}{c + 1} \right) + \frac{c + 1}{\frac{4}{a + 1}} + \frac{4}{c + 2} - 1$
$= \frac{2(c + 1)}{3} + \frac{4}{c + 2} = \frac{2(c + 2)}{3} + \frac{4}{c + 2} - \frac{2}{3} \geqslant$
$2\sqrt{\frac{2(c + 2)}{3} · \frac{4}{c + 2}} - \frac{2}{3} = \frac{4\sqrt{6} - 2}{3}$,
当且仅当$\frac{2(c + 2)}{3} = \frac{4}{c + 2}$,即$\frac{4}{c + 2} = \frac{2}{3}$,
$c + 2 = \sqrt{6} - 2$时取等号,
所以$\frac{(a + 2)(c + 1)}{3(a + 1)} + \frac{c + 1}{6b + 3} + \frac{4}{c + 2}$的最小值为$\frac{4\sqrt{6} - 2}{3}$.

14. (13 分)(2025 山东百师联考)某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为 $ 750\ m^2 $ 的矩形花园。图中阴影部分是宽度为 $ 1\ m $ 的小路，中间 $ A,B,C $ 三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（其中 $ B,C $ 区域的形状、大小完全相同）。设矩形花园的一条边长为 $ x\ m $，鲜花种植的总面积为 $ S\ m^2 $。
(1) 用含 $ x $ 的代数式表示 $ a $；
(2) 当 $ x $ 的值为多少时，鲜花种植的总面积最大？

答案： 14. 解析
(1)设矩形花园的另一条边长为$y\ m$,则$xy =$
$750$,可得$y = \frac{750}{x}$,
因为阴影部分是宽度为$1\ m$的小路,所以$2a + 3 =$
$\frac{750}{x}$,
可得$a = \frac{375}{x} - \frac{3}{2}$,易知$x ＞ 3$,由$a ＞ 0$可得$x ＜ 250$,故$a$关
于$x$的关系式为$a = \frac{375}{x} - \frac{3}{2},3 ＜ x ＜ 250$.
(2)由
(1)知$a = \frac{375}{x} - \frac{3}{2}$,
则$S = (x - 2)a + (x - 3)a = (2x - 5)a = (2x - 5) ·$
$\left( \frac{375}{x} - \frac{3}{2} \right) = \frac{1515}{2} - \left( 3x + \frac{1875}{x} \right) \leqslant \frac{1515}{2} - 2\sqrt{3x · \frac{1875}{x}} = \frac{1215}{2}$,
当且仅当$3x = \frac{1875}{x}$,即$x = 25$时,等号成立,
所以当$x = 25$时,鲜花种植的总面积最大,为$\frac{1215}{2}m^{2}$.

15. (15 分)(2025 湖北荆州中学月考)已知实数 $ a,b,c $ 满足 $ a ＞ 2 $，$ b ＞ 1 $，$ c ＞ -3 $，且 $ a + 3b + 4c = 5 $。
(1) 求 $ (a - 2)(b - 1)(c + 3) $ 的最大值；
(2) 求证：$ \frac{a + 4}{a - 2} + \frac{b + 1}{b - 1} + \frac{c + 9}{c + 3} \geq 11 $。

答案： 15. 解析
(1)由$a + 3b + 4c = 5$得$(a - 2) + 3(b - 1) + 4(c +$
$3) = 12$,因为$a ＞ 2,b ＞ 1,c ＞ - 3$,
所以$(a - 2)(b - 1)(c + 3) \leqslant \frac{1}{12}(a - 2) · 3(b - 1) · 4(c +$
$3) \leqslant \frac{1}{12} × \left( \frac{a - 2 + 3b - 3 + 4c + 12}{3} \right)^{3} = \frac{1}{12} × 64 = \frac{16}{3}$,
当且仅当$a - 2 = 3(b - 1) = 4(c + 3)$,即$a = 6,b = \frac{7}{3},c = - 2$
时等号成立,
所以$(a - 2)(b - 1)(c + 3)$的最大值为$\frac{16}{3}$.
(2)证明：$\frac{a + 4}{a - 2} + \frac{b + 1}{b - 1} + \frac{c + 9}{c + 3} = 3 + \frac{6}{a - 2} + \frac{2}{b - 1} + \frac{6}{c + 3}$
$= 3 + \frac{1}{12}\left( \frac{6}{a - 2} + \frac{2}{b - 1} + \frac{6}{c + 3} \right)[a - 2 + 3(b - 1) + 4(c + 3)]$
$= 3 + \frac{6}{a - 2} × \frac{(a - 2) + 3(b - 1) + 4(c + 3)}{12}$
$= 6 + \frac{3(b - 1)}{2(a - 2)} + \frac{a - 2}{6(b - 1)} + \frac{2(c + 3)}{a - 2} + \frac{a - 2}{2(c + 3)} + \frac{3(b - 1)}{2(c + 3)} + \frac{2(c + 3)}{3(b - 1)}$
$\geqslant 6 + 2\sqrt{\frac{3(b - 1)}{2(a - 2)} · \frac{a - 2}{6(b - 1)}} + 2\sqrt{\frac{2(c + 3)}{a - 2} · \frac{a - 2}{2(c + 3)}} + 2\sqrt{\frac{3(b - 1)}{2(c + 3)} · \frac{2(c + 3)}{3(b - 1)}} = 11$,
当且仅当$\frac{3(b - 1)}{2(a - 2)} = \frac{a - 2}{6(b - 1)},\frac{2(c + 3)}{a - 2} = \frac{a - 2}{2(c + 3)}$,
$\frac{3(b - 1)}{2(c + 3)} = \frac{2(c + 3)}{3(b - 1)}$,即$a = 5,b = 2,c = - \frac{3}{2}$时等号成立,原
式得证.
名师指点
1.基本不等式的推广：对于$n$个正数$a_{1},a_{2},a_{3}$,
$·s,a_{n}$,有$\frac{a_{1} + a_{2} + a_{3} + ·s + a_{n}}{n} \geqslant \sqrt[n]{a_{1}a_{2}a_{3}·s a_{n}}$,当且仅当
$a_{1} = a_{2} = a_{3} = ·s = a_{n}$时等号成立；
2.多次使用基本不等式时,等号成立的条件必
须同时满足.