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2025年周末C计划高中数学必修第一册人教版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年周末C计划高中数学必修第一册人教版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
13. 已知 $ \log_{2}(2x) + \log_{2}(2y) = 1 $，且 $ x ＞ y $，则 $ \frac{x^{2} + y^{2}}{x - y} $ 的最小值为________。
2
答案：
13.答案2
解析 易知$\log_2(2x)+\log_2(2y)=\log_2(4xy)=1$,则$xy=\frac{1}{2}$,且$x＞0,y＞0$,所以$\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{(x-y)^2+2xy}{x-y}=(x-y)+\frac{1}{x-y}\geq2\sqrt{(x-y)·\frac{1}{x-y}}=2$,当且仅当$x-y=\frac{1}{x-y}$且$xy=\frac{1}{2}$,即$x=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2},y=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}$时取等号,所以$\frac{x^2+y^2}{x-y}$的最小值为2.
解析 易知$\log_2(2x)+\log_2(2y)=\log_2(4xy)=1$,则$xy=\frac{1}{2}$,且$x＞0,y＞0$,所以$\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{(x-y)^2+2xy}{x-y}=(x-y)+\frac{1}{x-y}\geq2\sqrt{(x-y)·\frac{1}{x-y}}=2$,当且仅当$x-y=\frac{1}{x-y}$且$xy=\frac{1}{2}$,即$x=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2},y=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}$时取等号,所以$\frac{x^2+y^2}{x-y}$的最小值为2.
14. 已知函数 $ y = \sqrt{x^{2} - ax + 10} $ 在区间 $ [1,3] $ 上单调递减，则实数 $ a $ 的取值范围是
$[6,\frac{19}{3}]$
。
答案：
14.答案$[6,\frac{19}{3}]$
解析 设$t=x^2-ax+10$,则$y=\sqrt{t}$.
易知函数$y=\sqrt{t}$在定义域内单调递增,
又函数$y=\sqrt{x^2-ax+10}$在区间$[1,3]$上单调递减,
所以函数$t=x^2-ax+10$在$[1,3]$上单调递减,
且$t=x^2-ax+10\geq0$在$[1,3]$上恒成立,
定义域优先
所以$\begin{cases}\frac{a}{2}\geq3,\\3^2-3a+10\geq0,\end{cases}$解得$6\leq a\leq\frac{19}{3}$.
解析 设$t=x^2-ax+10$,则$y=\sqrt{t}$.
易知函数$y=\sqrt{t}$在定义域内单调递增,
又函数$y=\sqrt{x^2-ax+10}$在区间$[1,3]$上单调递减,
所以函数$t=x^2-ax+10$在$[1,3]$上单调递减,
且$t=x^2-ax+10\geq0$在$[1,3]$上恒成立,
定义域优先
所以$\begin{cases}\frac{a}{2}\geq3,\\3^2-3a+10\geq0,\end{cases}$解得$6\leq a\leq\frac{19}{3}$.
15. (13 分) 已知集合 $ A = \{ x | - x^{2} + 6x - 8 ＞ 0 \} $，$ B = \{ x | x^{2} - 4ax + 3a^{2} ＜ 0 \} $。
(1) 若 $ A \cup B = A $，求实数 $ a $ 的值；
(2) 设集合 $ C = B \cap \mathbf{N} $，若 $ C $ 中有且只有三个元素，求集合 $ C $。
(1) 若 $ A \cup B = A $，求实数 $ a $ 的值；
(2) 设集合 $ C = B \cap \mathbf{N} $，若 $ C $ 中有且只有三个元素，求集合 $ C $。
答案：
15.解析
(1)因为$A\cup B=A$,所以$B\subseteq A$.
由$-x^2+6x-8＞0$,得$x^2-6x+8＜0$,即$(x-2)(x-4)＜0$,
解得$2＜x＜4$,所以$A=\{x|2＜x＜4\}$.
易得$x^2-4ax+3a^2=(x-a)(x-3a)$.
当$a=0$时,$B=\varnothing$,符合题意.
当$a＜0$时,$B=\{x|3a＜x＜a\}$,与题意不符.
当$a＞0$时,$B=\{x|a＜x＜3a\}$,此时需满足$\begin{cases}a\geq2,\\3a\leq4,\end{cases}$无解.
综上,实数$a$的值为0.
(2)由
(1)知,当$a=0$时,$B=\varnothing$,此时$C=B\cap N=\varnothing$,与题意不符.
当$a＜0$时,$B=\{x|3a＜x＜a\}$,此时$C=B\cap N=\varnothing$,与题意不符.
当$a＞0$时,$B=\{x|a＜x＜3a\}$,由$C=B\cap N$中有且只有三个元素,得$3＜3a-a\leq4$,解得$\frac{3}{2}＜a\leq2$,所以$\frac{9}{2}＜3a\leq6$,
所以集合$C=\{2,3,4\}$或$\{3,4,5\}$.
(1)因为$A\cup B=A$,所以$B\subseteq A$.
由$-x^2+6x-8＞0$,得$x^2-6x+8＜0$,即$(x-2)(x-4)＜0$,
解得$2＜x＜4$,所以$A=\{x|2＜x＜4\}$.
易得$x^2-4ax+3a^2=(x-a)(x-3a)$.
当$a=0$时,$B=\varnothing$,符合题意.
当$a＜0$时,$B=\{x|3a＜x＜a\}$,与题意不符.
当$a＞0$时,$B=\{x|a＜x＜3a\}$,此时需满足$\begin{cases}a\geq2,\\3a\leq4,\end{cases}$无解.
综上,实数$a$的值为0.
(2)由
(1)知,当$a=0$时,$B=\varnothing$,此时$C=B\cap N=\varnothing$,与题意不符.
当$a＜0$时,$B=\{x|3a＜x＜a\}$,此时$C=B\cap N=\varnothing$,与题意不符.
当$a＞0$时,$B=\{x|a＜x＜3a\}$,由$C=B\cap N$中有且只有三个元素,得$3＜3a-a\leq4$,解得$\frac{3}{2}＜a\leq2$,所以$\frac{9}{2}＜3a\leq6$,
所以集合$C=\{2,3,4\}$或$\{3,4,5\}$.
16. (15 分) 茶是中华民族的举国之饮，发于神农，闻于鲁周公，兴于唐朝，盛于宋代。我国人民历来就有“客来敬茶”的习惯，这充分反映出中华民族人民的文明和礼貌。某中学利用课余时间开设了活动探究课“中国茶文化”，小明同学用沸水泡了一杯茶，泡好后置于室内，开始时测得这杯茶的温度为 $ 100 \ {\degreeCelsius} $，经过 1 分钟测得其温度为 $ 80 \ {\degreeCelsius} $，再经过 1 分钟测得其温度为 $ 65 \ {\degreeCelsius} $。小明想利用上述数据建立这杯茶的温度 $ y $（单位：$ {\degreeCelsius} $）与经过的时间 $ t $（单位：分钟）的函数关系式，选用了两种函数模型：① $ y = a · b^{t} + c $（$ a,b,c $ 为常数，$ a \neq 0 $，$ b ＞ 0 $ 且 $ b \neq 1 $）；② $ y = pt^{2} + qt + r $（$ p,q,r $ 为常数，$ p \neq 0 $）。
(1) 请通过计算帮小明同学选出恰当的函数模型；
(2) 某研究结果显示，饮茶温度不要超过 $ 50 \ {\degreeCelsius} $，请利用(1)中选出的函数模型计算该杯茶泡好后到适宜饮用至少需要等待多长时间。（参考数据：$ \lg 2 \approx 0.30 $，$ \lg 3 \approx 0.48 $）
(1) 请通过计算帮小明同学选出恰当的函数模型；
(2) 某研究结果显示，饮茶温度不要超过 $ 50 \ {\degreeCelsius} $，请利用(1)中选出的函数模型计算该杯茶泡好后到适宜饮用至少需要等待多长时间。（参考数据：$ \lg 2 \approx 0.30 $，$ \lg 3 \approx 0.48 $）
答案：
16.解析
(1)若选用①,则由题意得$\begin{cases}a· b^0+c=100,\\a· b^2+c=80,\\a· b^4+c=65,\end{cases}$
解得$a=80,b=\frac{3}{4},c=20$,所以$y=80×(\frac{3}{4})^t+20,t\geq0$.此时$y$随着$t$的增大而减小,符合生活实际.
若选用②,则由题意得$\begin{cases}p+q+r=80,\\4p+2q+r=65,\end{cases}$解得$\begin{cases}p=\frac{5}{2},\\q=-\frac{45}{2},\end{cases}$所以$y=\frac{5}{2}t^2-\frac{45}{2}t+100,t\geq0$.此时当$t\geq\frac{9}{2}$时,$y$随着$t$的增大而增大,不符合生活实际.
所以选用的函数模型为$y=80×(\frac{3}{4})^t+20,t\geq0$.
(2)令$80×(\frac{3}{4})^t+20\leq50$,得$(\frac{3}{4})^t\leq\frac{3}{8}$,
两边取常用对数,得$t\lg\frac{3}{4}\leq\lg\frac{3}{8}$,
所以$t\geq\frac{\lg\frac{3}{8}}{\lg\frac{3}{4}}=\frac{\lg3-\lg8}{\lg3-\lg4}=\frac{\lg3-3\lg2}{\lg3-2\lg2}\approx\frac{0.48-3×0.30}{0.48-2×0.30}=3.5$,
所以该杯茶泡好后到适宜饮用至少需要等待3.5分钟.
(1)若选用①,则由题意得$\begin{cases}a· b^0+c=100,\\a· b^2+c=80,\\a· b^4+c=65,\end{cases}$
解得$a=80,b=\frac{3}{4},c=20$,所以$y=80×(\frac{3}{4})^t+20,t\geq0$.此时$y$随着$t$的增大而减小,符合生活实际.
若选用②,则由题意得$\begin{cases}p+q+r=80,\\4p+2q+r=65,\end{cases}$解得$\begin{cases}p=\frac{5}{2},\\q=-\frac{45}{2},\end{cases}$所以$y=\frac{5}{2}t^2-\frac{45}{2}t+100,t\geq0$.此时当$t\geq\frac{9}{2}$时,$y$随着$t$的增大而增大,不符合生活实际.
所以选用的函数模型为$y=80×(\frac{3}{4})^t+20,t\geq0$.
(2)令$80×(\frac{3}{4})^t+20\leq50$,得$(\frac{3}{4})^t\leq\frac{3}{8}$,
两边取常用对数,得$t\lg\frac{3}{4}\leq\lg\frac{3}{8}$,
所以$t\geq\frac{\lg\frac{3}{8}}{\lg\frac{3}{4}}=\frac{\lg3-\lg8}{\lg3-\lg4}=\frac{\lg3-3\lg2}{\lg3-2\lg2}\approx\frac{0.48-3×0.30}{0.48-2×0.30}=3.5$,
所以该杯茶泡好后到适宜饮用至少需要等待3.5分钟.
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