《2025年周末C计划高中数学必修第一册人教版》

1. (2025 江苏淮安淮阴中学期中)下列各角中，与角$-\frac{3\pi}{4}$终边相同的为（B）
A.$\frac{3\pi}{4}$
B.$\frac{5\pi}{4}$
C.$\frac{9\pi}{4}$
D.$-\frac{\pi}{4}$

答案： 1.B 与角$-\frac{3\pi}{4}$终边相同的角为$-\frac{3\pi}{4}+2k\pi(k\in \mathbf{Z})$.
令$-\frac{3\pi}{4}=-\frac{3\pi}{4}+2k\pi(k\in \mathbf{Z})$，得$k=\frac{3}{4}\notin \mathbf{Z}$，故A不符合题意.
令$\frac{5\pi}{4}=-\frac{3\pi}{4}+2k\pi(k\in \mathbf{Z})$，得$k=1\in \mathbf{Z}$，故B符合题意.
令$\frac{9\pi}{4}=-\frac{3\pi}{4}+2k\pi(k\in \mathbf{Z})$，得$k=\frac{3}{2}\notin \mathbf{Z}$，故C不符合题意.
令$-\frac{\pi}{4}=-\frac{3\pi}{4}+2k\pi(k\in \mathbf{Z})$，得$k=\frac{1}{4}\notin \mathbf{Z}$，故D不符合题意.

2. (2025 河北部分学校联考)“$\alpha$是小于 $135^{\circ}$的钝角”是“$2\alpha$是第三象限角”的（A）

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 2.A 若$\alpha$是小于$135^{\circ}$的钝角，则$90^{\circ}＜\alpha＜135^{\circ}$，则$180^{\circ}＜2\alpha＜270^{\circ}$，所以$2\alpha$是第三象限角，充分性成立；
若$2\alpha$是第三象限角，令$2\alpha=-120^{\circ}$，则$\alpha=-60^{\circ}$，而$-60^{\circ}$不是钝角，必要性不成立.
故“$\alpha$是小于$135^{\circ}$的钝角”是“$2\alpha$是第三象限角”的充分不必要条件.

3. (2025 吉林通化梅河口第五中学月考)若角$\alpha$的终边与角$\theta$的终边关于 $x$ 轴对称，则$\alpha + \theta$的终边位于（A）
A.$x$ 轴的正半轴
B.第一象限
C.$y$ 轴的正半轴
D.第三象限

答案： 3.A 因为角$\alpha$的终边与角$\theta$的终边关于$x$轴对称，所以角$-\alpha$的终边与角$\theta$的终边相同，所以$\theta=-\alpha+k·360^{\circ}$，$k\in\mathbf{Z}$，即$\theta+\alpha=k·360^{\circ}$，$k\in\mathbf{Z}$，所以$\alpha+\theta$的终边位于$x$轴的正半轴.

4. (2025 广东佛山南海外国语学校期中)某公司制订了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过 $8$ 万元时，按销售利润的 $15\%$ 进行奖励；当销售利润超过 $8$ 万元时，若多出的部分为 $A$ 万元，则多出的部分按$\log _{5}(2A + 1)$进行奖励.记奖金为 $y$（单位：万元），销售利润为 $x$（单位：万元）.如果业务员小江获得 $3.2$ 万元的奖金，那么他的销售利润是（20万元）
A.$15$ 万元
B.$25$ 万元
C.$30$ 万元
D.$20$ 万元

答案： 4.D 由题意知，当$0\leq x\leq8$时，$y=0.15x$；
当$x＞8$时，$y=8×0.15+\log_{5}[2(x-8)+1]=1.2+\log_{5}(2x-15)$，
故$y=\begin{cases}0.15x,0\leq x\leq8,\\1.2+\log_{5}(2x-15),x＞8.\end{cases}$
当$0\leq x\leq8$时，$y_{\max}=0.15×8=1.2＜3.2$，
故小江的销售利润超过$8$万元，所以$1.2+\log_{5}(2x-15)=3.2$，解得$x=20$，所以小江的销售利润是$20$万元.

5. (2025 江苏无锡锡山高级中学期末)蚊香(如图 1)具有悠久的历史.某学校的数学社团用数学软件制作“蚊香”图(如图 2)，画法如下：作一个边长为 $1$的等边$\triangle ABC$，然后以 $B$ 为圆心，$AB$ 为半径逆时针画圆弧，交线段 $CB$ 的延长线于点 $D$（第一段圆弧），再以 $C$ 为圆心，$CD$ 为半径逆时针画圆弧，交线段 $AC$ 的延长线于点 $E$，再以 $A$ 为圆心，$AE$ 为半径逆时针画圆弧，……，以此类推，当得到的“蚊香”恰好有 $5$ 段圆弧时，“蚊香”的长度为（B）

A.$8\pi$
B.$10\pi$
C.$18\pi$
D.$20\pi$

答案： 5.B 由题意知，每段圆弧的圆心角均为$\frac{2\pi}{3}$，第一段圆弧的长度为$\frac{2\pi}{3}×1=\frac{2\pi}{3}$，第二段圆弧的长度为$\frac{2\pi}{3}×2=\frac{4\pi}{3}$，
第三段圆弧的长度为$\frac{2\pi}{3}×3=2\pi$，第四段圆弧的长度为
$\frac{2\pi}{3}×4=\frac{8\pi}{3}$，第五段圆弧的长度为$\frac{2\pi}{3}×5=\frac{10\pi}{3}$，所以恰好
有$5$段圆弧时，“蚊香”的长度为$\frac{2\pi}{3}+\frac{4\pi}{3}+2\pi+\frac{8\pi}{3}+\frac{10\pi}{3}=10\pi$.

6. (2025 河北邯郸期末)扇子在中国已有三千多年的历史，“扇”与“善”谐音，扇子也寓意着“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化(如图 1)，也是“运筹帷幄”“决胜千里”“大智大勇”的象征.若在圆形纸张上剪下一个扇形(扇形的半径和圆形纸张的半径相等)，如图 2，记该扇形的面积为 $S_{1}$，剩下的图形的面积为 $S_{2}$，$S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的比值满足黄金分割值$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$，则扇形的圆心角大约为(参考数据：$\sqrt{5} \approx 2.236$)（C）

设扇形的圆心角为$\alpha$，半径为$r$，由题意可得$S_{1}=\frac{1}{2}\alpha r^{2},S_{2}=\pi r^{2}-\frac{1}{2}\alpha r^{2}$，所以$\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{\frac{1}{2}\alpha r^{2}}{\pi r^{2}-\frac{1}{2}\alpha r^{2}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，解得$\alpha=(3-\sqrt{5})\pi\approx138^{\circ}$.
A.$222^{\circ}$
B.$146^{\circ}$
C.$138^{\circ}$
D.$111^{\circ}$

答案： 6.C 设扇形的圆心角为$\alpha$，半径为$r$，
由题意可得$S_{1}=\frac{1}{2}\alpha r^{2},S_{2}=\pi r^{2}-\frac{1}{2}\alpha r^{2}$，
所以$\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{\frac{1}{2}\alpha r^{2}}{\pi r^{2}-\frac{1}{2}\alpha r^{2}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，解得$\alpha=(3-\sqrt{5})\pi\approx138^{\circ}$.

7. (2025 河南名校大联考)已知某钟表分针的长度为 $5$ cm，则从 $10:13$ 到 $10:25$，下列说法正确的是（BC）
A.分针转过的角的弧度为$\frac{2\pi}{5}$
B.分针转过的角的弧度为$-\frac{2\pi}{5}$
C.分针尖端所走过的弧长为 $2\pi$ cm
D.分针扫过的扇形面积为 $10\pi$ cm²

答案： 7.BC 由题意得，分针转过的角的弧度为$-\frac{25 - 13}{60}×2\pi=-\frac{2\pi}{5}$，故A错误，B正确；
分针尖端所走过的弧长为$5×\frac{2\pi}{5}=2\pi cm$，故C正确；
分针扫过的扇形面积为$\frac{1}{2}×5×2\pi=5\pi cm^2$，故D错误.

8. (2025 山西晋城多校期中联考)美国数学家柯布(C.W.Cobb)和经济学家保罗·道格拉斯(Paul H.Douglas)通过研究 $1899$ 年至 $1922$ 年美国制造业的生产数据，提出了著名的柯布 - 道格拉斯生产函数，即 $Y = AL^{1 - \varepsilon}K^{\varepsilon}$，其中 $Y$ 代表产出，$L$ 和 $K$ 分别代表资本投入和劳动投入($L$，$K$ 均为正数)，$A$ (可视为正常数)代表综合技术水平，$\varepsilon(0 ＜ \varepsilon ＜ 1)$是资本投入与产出的弹性系数，则以下说法正确的是（BC）
A.若各项投入保持不变，则产出 $Y$ 是关于$\varepsilon$的减函数
B.存在$\varepsilon \in (0,1)$，使资本投入不变而劳动投入增至原来的 $8$ 倍时，产出仅增至原来的 $2$ 倍
C.存在$\varepsilon \in (0,1)$，使各项投入都增至原来的 $k(k ＞ 1)$倍，则产出增至原来的 $k$ 倍
D.将资本投入和劳动投入分别改变成原来的 $k(k ＞ 0)$倍与原来的$\frac{1}{k}$，则产出会发生变化

答案： 8.BC 记未改变前的产出、资本投入、劳动投入分别为$Y_0,L_0,K_0$，改变后的产出为$Y$.
对于A，$Y = AL^{1 - \varepsilon}K^{\varepsilon}=A\left(\frac{K}{L}\right)^{\varepsilon}$，其单调性取决于$\frac{K}{L}$与$1$的大小关系，而这个大小关系并不确定，故A错误；
对于B，令$\frac{Y}{Y_0}=\frac{AL^{1 - \varepsilon}(8K_0)^{\varepsilon}}{AL_0^{1 - \varepsilon}K_0^{\varepsilon}}=8^{\varepsilon}=2$，解得$\varepsilon=\frac{1}{3}$，故B正确；
对于C，$\frac{Y}{Y_0}=\frac{A(kL_0)^{1 - \varepsilon}(kK_0)^{\varepsilon}}{AL_0^{1 - \varepsilon}K_0^{\varepsilon}}=k^{1 - \varepsilon}k^{\varepsilon}=k$，故C正确；
对于D，令$\frac{Y}{Y_0}=\frac{A(kL_0)^{1 - \varepsilon}(\frac{1}{k}K_0)^{\varepsilon}}{AL_0^{1 - \varepsilon}K_0^{\varepsilon}}=k^{1 - \varepsilon}k^{-\varepsilon}=k^{1 - 2\varepsilon}=1$，解得
$\varepsilon=\frac{1}{2}$，
即当$\varepsilon=\frac{1}{2}$时，产出不变，当$\varepsilon\in\left(0,\frac{1}{2}\right)\cup\left(\frac{1}{2},1\right)$时，产
出发生改变，故D错误.