《2025年周末C计划高中数学必修第一册人教版》

1. 已知集合 $ A = \{ x | (x - 2)(x + 4) ＜ 0 \} $，$ B = \{ x | 2^{x} ＜ 8 \} $，则 $ A \cap B = $（C）
A.$ (1,2) $
B.$ (1,3) $
C.$ (-4,2) $
D.$ (-4,3) $

答案： 1.C 易得$A=\{x|(x-2)(x+4)＜0\}=\{x|-4＜x＜2\}$,$B=\{x|2^x＜8\}=\{x|x＜3\}$,$\therefore A\cap B=(-4,2)$.
考场速解
观察选项,取$x=0$,得$0\in A$且$0\in B$,所以$0\in A\cap B$,排除A,B;取$x=2$,得$2\notin A$,所以$2\notin A\cap B$,排除D.

2. 若命题“$ \forall x \in \mathbf{R}, x^{2} - x + m \geqslant 0 $”是假命题，则实数 $ m $ 的取值范围是（$(-\infty,\frac{1}{4})$）
$A.( - \infty, \frac{1}{4})$
B.$ \left( - \infty, \frac{1}{4} \right) $
C.$ \left( \frac{1}{4}, + \infty \right) $
D.$[\frac{1}{4}, + \infty ) $

答案： 2.B 因为命题“$\forall x\in \mathbf{R},x^2-x+m\geq0$”是假命题,
所以命题“$\exists x\in \mathbf{R},x^2-x+m＜0$”是真命题,
所以$\Delta=1-4m＞0$,所以$m＜\frac{1}{4}$,
即实数$m$的取值范围是$(-\infty,\frac{1}{4})$.

3. 已知 $ a ＞ 1 $，且 $ \log_{a}8 - \log_{2}a = 2 $，则实数 $ a $ 的值为（2）
A.4
B.2
C.$ \sqrt{2} $
D.$ 2\sqrt{2} $

答案： 3.B $\log_a8-\log_2a=3\log_a2-\log_2a=2$.
令$t=\log_2a,a＞1$,则$t＞0$,$\frac{3}{t}-t=2$,整理,得$t^2+2t-3=0$,
所以$t=1$,即$\log_2a=1$,解得$a=2$.

4. “幂函数 $ f(x) = (m^{2} + m - 5)x^{m} $ 的图象分布在第一、三象限内”是“$ m = - 3 $ 或 $ m = 2 $”的（ ）

A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件

答案：
4.C 因为$f(x)$是幂函数,所以$m^2+m-5=1$,解得$m=2$或$m=-3$.
当$m=2$时,$f(x)=x^2$,其图象如图1所示,由图1可知,图象分布在第一、二象限(含原点)内,与题意不符;

当$m=-3$时,$f(x)=x^{-3}$,其图象如图2所示,由图2可知,图象分布在第一、三象限内,符合题意.

所以幂函数$f(x)$的图象分布在第一、三象限内时,$m=-3$.
所以“幂函数$f(x)=(m^2+m-5)x^m$的图象分布在第一、三象限内”是“$m=-3$或$m=2$”的充分不必要条件.

5. 已知奇函数 $ f(x) $ 满足 $ f(1) = 0 $，且 $ f(x) $ 在 $ (0, + \infty ) $ 上单调递减，则 $ \frac{x}{f(x) - f(-x)} ＜ 0 $ 的解集是（$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$）
A.$ (-1,1) $
B.$ (- \infty, - 1) \cup (1, + \infty ) $
C.$ (- \infty, - 1) $
D.$ (-1,0) \cup (1, + \infty ) $

答案： 5.B 因为$f(x)$为奇函数,所以$f(-x)=-f(x)$,
所以由$\frac{x}{f(x)-f(-x)}＜0$,得$\frac{x}{f(x)+f(x)}＜0$,即$\frac{x}{2f(x)}＜0$.
因为$f(1)=0,f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减,
所以当$0＜x＜1$时,$f(x)＞0$,此时$\frac{x}{2f(x)}＞0$,不合要求;
当$x＞1$时,$f(x)＜0$,此时$\frac{x}{2f(x)}＜0$,满足要求.
因为$f(x)$为奇函数,所以$f(-1)=0,f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递减,
所以当$x＜-1$时,$f(x)＞0$,此时$\frac{x}{2f(x)}＜0$,满足要求;
当$-1＜x＜0$时,$f(x)＜0$,此时$\frac{x}{2f(x)}＞0$,不合要求.
综上,$\frac{x}{f(x)-f(-x)}＜0$的解集为$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$.

6. 已知函数 $ f(x) = \begin{cases} \left( \frac{1}{2} \right)^{x}, x \leqslant 0, \\ - x^{2} + 2x + 1, x ＞ 0, \end{cases} $ 若 $ f(x) $ 在区间 $ (m,n) $ 上既有最大值，又有最小值，则 $ n - m $ 的最大值为（ ）

A.1
B.2
C.3
D.4

答案：
6.C 作出$f(x)$的图象,如图所示.

由$f(x)$在区间$(m,n)$上既有最大值,又有最小值,得$-1\leq m＜0,1＜n\leq2$,则$0＜-m\leq1$,所以$1＜n-m\leq3$,所以$n-m$的最大值为3.

7. 已知函数 $ f(x) = \begin{cases} x^{2} - 6ax + 2, x ＜ 1, \\ a^{x} - 2x, x \geqslant 1 \end{cases} (a ＞ 0 $ 且 $ a \neq 1) $，若对任意的 $ x_{1},x_{2} $，当 $ x_{1} \neq x_{2} $ 时，都有 $ \frac{f(x_{1}) - f(x_{2})}{x_{1} - x_{2}} ＜ - 2 $ 成立，则实数 $ a $ 的取值范围是（C）
A.$( 0, \frac{2}{3}]$
B.$ [ \frac{2}{3},1)$
C.$ \left[ \frac{2}{3}, \frac{5}{7} \right] $
D.$ [ \frac{5}{7},1)$

答案： 7.C 由$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}＜-2$可得$\frac{f(x_1)+2x_1-[f(x_2)+2x_2]}{x_1-x_2}＜0$,故$y=f(x)+2x$是减函数.
又$f(x)+2x=\begin{cases}x^2-(6a-2)x+2,x＜1,\\a^x,x\geq1.\end{cases}(a＞0且a\neq1)$,
所以$\begin{cases}3a-1\geq1,\\0＜a＜1,\\a\leq1-(6a-2)+2.\end{cases}$
解得$\frac{2}{3}\leq a\leq\frac{5}{7}$.
注意分界点处函数值的大小关系

8. 已知函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ \mathbf{R} $，且 $ f(2x - 1) $ 的图象关于直线 $ x = 1 $ 对称，$ f(3x + 2) $ 是奇函数，则下列选项中的值一定为 0 的是（B）
A.$ f \left( \frac{7}{2} \right) $
B.$ f(2024) $
C.$ f(1) $
D.$ f \left( \frac{3}{2} \right) $

答案： 8.B 因为$f(2x-1)$的图象关于直线$x=1$对称,
所以$f(2x-1)=f[-(2x-1)+2]$.
令$t=2x-1$,则$f(t)=f(-t+2)$,所以$f(x)$的图象也关于直线$x=1$对称.
因为$f(3x+2)$是奇函数,所以$f(3x+2)+f(-3x+2)=0$,
即$f(3x+2)+f[-(3x+2)+4]=0$.
令$n=3x+2$,则$f(n)+f(-n+4)=0$,所以$f(x)$的图象关于点$(2,0)$对称,且$f(2)=0$.
由上述分析知$f(x)=f(-x+2)=-f(-x+4)$,
令$x=0$,得$f(0)=f(2)=-f(4)=0$.
又$f(-x+2)=-f(-x+4)=-[-f(-x+6)]=f(-x+6)$,
所以令$m=-x+2$,得$f(m)=f(m+4)$,
所以$f(2024)=f(0)=0$,无法确定$f(\frac{7}{2}),f(1),f(\frac{3}{2})$的值是不是0.

9. 已知 $ x,y $ 都为正数，且 $ 2x + y = 4 $，则下列说法正确的是（AB）
A.$ xy $ 的最大值为 2
B.$ 4x^{2} + y^{2} $ 的最小值为 8
C.$ \frac{2}{y} + \frac{1}{x} $ 的最小值为 8
D.$ \sqrt{2x} + \sqrt{y} $ 的最大值为 $ \sqrt{2} $

答案： 9.AB 因为$x＞0,y＞0$,所以$2x+y=4\geq2\sqrt{2xy}$,所以$xy\leq2$,当且仅当$2x=y=2$时取等号,故A正确;
$4x^2+y^2=(2x+y)^2-4xy=16-4xy\geq8$,当且仅当$2x=y=2$时取等号,故B正确;
$\frac{2}{y}+\frac{1}{x}=\frac{1}{4}(\frac{2}{y}+\frac{1}{x})·(2x+y)=\frac{1}{4}(4+\frac{4x}{y}+\frac{y}{x})\geq\frac{1}{4}×4=1\geq1×\sqrt{\frac{4x}{y}·\frac{y}{x}}=2$,当且仅当$2x=y=2$时取等号,故C错误;
$(\sqrt{2x}+\sqrt{y})^2=2x+y+2\sqrt{2xy}=4+2\sqrt{2xy}\leq8$,所以$0＜\sqrt{2x}+\sqrt{y}\leq2\sqrt{2}$,当且仅当$2x=y=2$时取等号,故D错误.

10. 若定义在 $ \mathbf{R} $ 上的奇函数 $ f(x) $ 和偶函数 $ g(x) $ 满足 $ f(x) + g(x) = e^{x} $，则（BCD）
A.$ [g(x)]^{2} - [f(x)]^{2} = - 1 $
B.$ f(2x) = 2f(x)g(x) $
C.$ g(2x) = [g(x)]^{2} + [f(x)]^{2} $
D.若 $ \forall x \in \mathbf{R}, [f(x)]^{2} + ag(x) ＞ 0 $ 恒成立，则 $ a ＞ 0 $

答案： 10.BCD 因为$f(x)+g(x)=e^x$①,
所以$f(-x)+g(-x)=e^{-x}$.
又$f(x)$是奇函数,$g(x)$是偶函数,
所以$-f(x)+g(x)=e^{-x}$②.
由①②得,$g(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2},f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$
对于A,$[g(x)]^2-[f(x)]^2=(\frac{e^x+e^{-x}}{2})^2-(\frac{e^x-e^{-x}}{2})^2=\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}-(e^{2x}-2+e^{-2x})}{4}=1$,故A错误.
对于B,$f(2x)=\frac{e^{2x}-e^{-2x}}{2},2f(x)g(x)=2×\frac{e^x-e^{-x}}{2}×\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\frac{e^{2x}-e^{-2x}}{2}$,故B正确.
对于C,$g(2x)=\frac{e^{2x}+e^{-2x}}{2},[g(x)]^2+[f(x)]^2=(\frac{e^x+e^{-x}}{2})^2+(\frac{e^x-e^{-x}}{2})^2=\frac{e^{2x}+e^{-2x}}{2}$,故C正确.
对于D,$[f(x)]^2+ag(x)=\frac{(e^x-e^{-x})^2}{4}+a·\frac{e^x+e^{-x}}{2}$.
令$e^x+e^{-x}=t$,则$t\geq2$,$\frac{t^2-4}{4}+\frac{at}{2}=\frac{t^2+2at-4}{4}＞0$对$x\in\mathbf{R}$恒成立,
所以$t^2+2at-4＞0$在$t\in[2,+\infty)$上恒成立.
令$h(t)=t^2+2at-4,t\geq2$,
要使$h(t)＞0$在$t\geq2$时恒成立,则$\begin{cases}-a＜1,\\h(2)=4a＞0,\end{cases}$
解得$a＞0$,故D正确.

11. 已知定义在 $ \mathbf{R} $ 上的函数 $ f(x) $ 满足：对任意的实数 $ x,y $，均有 $ f(x + y) = f(x) + f(y) + axy - 1 $，且当 $ x ＞ 0 $ 时，恒有 $ f(x) ＞ 1 $，则（AC）
A.$ f(0) = 1 $
B.当 $ a = 0 $ 时，函数 $ f(x) $ 为减函数
C.当 $ a = 0 $ 时，$ f(x) $ 的图象关于点 $ (0,1) $ 对称
D.当 $ a = 2 $ 时，$ f(x) $ 为偶函数

答案： 11.AC 令$x=y=0$,得$f(0)=2f(0)-1$,所以$f(0)=1$,故A正确.
当$a=0$时,$f(x+y)=f(x)+f(y)-1$（*）,
由题知当$x＞0$时,恒有$f(x+y)-f(y)=f(x)-1＞0$,
对于（*）,令$x_1=x+y,x_2=y$,即对任意的$x_1,x_2\in\mathbf{R},x_1＞x_2$时,$f(x_1)-f(x_2)＞0$,所以函数$f(x)$为增函数,故B错误.
对于（*）,令$y=-x$,则$f(0)=f(x)+f(-x)-1$,又$f(0)=1$,所以$f(x)+f(-x)=2$,所以$f(x)$的图象关于点$(0,1)$对称,故C正确.
当$a=2$时,取$f(x)=x^2+x+1$,
则$f(x+y)=(x+y)^2+(x+y)+1=x^2+y^2+(x+y)+1+2xy$,
$f(x)+f(y)+2xy-1=x^2+y^2+(x+y)+1+2xy$,
满足$f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy-1$,且当$x＞0$时,$f(x)$单调递增,恒有$f(x)＞1$,但$f(x)$不为偶函数,故D错误.

12. 已知点 $ O(0,0) $，$ A(-1,-1) $，若 $ O,A $ 这两点中有且只有一点在幂函数 $ f(x) $ 的图象上，则 $ f(x) $ 的解析式可以为 $f(x)=\frac{1}{x}$。（写出一个满足条件的 $ f(x) $ 的解析式即可）

答案： 12.答案$f(x)=\frac{1}{x}$(答案不唯一)
解析 若点$A(-1,-1)$在函数$f(x)$的图象上,则可取$f(x)=\frac{1}{x}$.经检验,点$(0,0)$不在其图象上,满足题意.