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2025年周末C计划高中数学必修第一册人教版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年周末C计划高中数学必修第一册人教版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
17. (15 分)(2025 山东菏泽期末)已知函数$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，当$x\gt0$时，$f(x)=-x + 3$.
(1)求函数$f(x)$的解析式；
(2)若关于$x$的方程$f(x^{2}+1)+f(2kx)=0$在$(0,+\infty)$上有解，求实数$k$的取值范围.
(1)求函数$f(x)$的解析式；
(2)若关于$x$的方程$f(x^{2}+1)+f(2kx)=0$在$(0,+\infty)$上有解，求实数$k$的取值范围.
答案：
17.解析：
(1)$\because f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，
$\therefore f(x) = - f( - x)$，$f(0) = 0$，(2分)
设$x ＜ 0$，则$- x ＞ 0$，$f( - x) = - ( - x) + 3 = x + 3$，
$\therefore f(x) = - f( - x) = - x - 3$，$x ＜ 0$，(4分)
$\therefore f(x) = \begin{cases} - x - 3,x ＜ 0, \\0,x = 0, \\ - x + 3,x ＞ 0. \end{cases}$(5分)
(2)$\because x^{2} + 1 ＞ 0$，$\therefore f(x^{2} + 1) = - (x^{2} + 1) + 3 = - x^{2} + 2$，(7分)
针对$k$与$0$的关系，分类讨论，脱去“$f$”，将抽象方程转化为具体方程。
①当$k ＞ 0$时，$2kx ＞ 0$在$(0, + \infty)$上恒成立，$\therefore f(2kx) = - 2kx + 3$，
方程$f(x^{2} + 1) + f(2kx) = 0$可化为$- x^{2} + 2 - 2kx + 3 = 0$，
即$x^{2} + 2kx - 5 = 0$，此时$\Delta = 4k^{2} + 20 ＞ 0$，(9分)
所以方程$x^{2} + 2kx - 5 = 0$有两个不等的根，设为$x_{1}$，$x_{2}$，
则$x_{1}x_{2} = - 5 ＜ 0$，所以$x_{1}$，$x_{2}$一正一负，
所以方程$f(x^{2} + 1) + f(2kx) = 0$在$(0, + \infty)$上有解，符合题意。(10分)
②当$k = 0$时，$f(2kx) = 0$，故方程$f(x^{2} + 1) + f(2kx) = 0$即为$- x^{2} + 2 = 0$，解得$x = \sqrt{2}$或$x = - \sqrt{2}$(舍去)，符合题意。(12分)
③当$k ＜ 0$时，$2kx ＜ 0$在$(0, + \infty)$上恒成立，$\therefore f(2kx) = - 2kx - 3$，
$\therefore f(x^{2} + 1) + f(2kx) = - x^{2} + 2 - 2kx - 3 = - x^{2} - 2kx - 1$，
令$h(x) = - x^{2} - 2kx - 1$，其图象的对称轴方程为$x = - k ＞ 0$，
$\because$方程$f(x^{2} + 1) + f(2kx) = 0$在$(0, + \infty)$上有解，$\therefore\Delta = 4k^{2} - 4 \geq 0$，解得$k \leq - 1$或$k \geq 1$，$\therefore k \leq - 1$。(14分)
综上所述，$k$的取值范围是$\{ k|k \leq - 1$或$k \geq 0\}$。(15分)
(1)$\because f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，
$\therefore f(x) = - f( - x)$，$f(0) = 0$，(2分)
设$x ＜ 0$，则$- x ＞ 0$，$f( - x) = - ( - x) + 3 = x + 3$，
$\therefore f(x) = - f( - x) = - x - 3$，$x ＜ 0$，(4分)
$\therefore f(x) = \begin{cases} - x - 3,x ＜ 0, \\0,x = 0, \\ - x + 3,x ＞ 0. \end{cases}$(5分)
(2)$\because x^{2} + 1 ＞ 0$，$\therefore f(x^{2} + 1) = - (x^{2} + 1) + 3 = - x^{2} + 2$，(7分)
针对$k$与$0$的关系，分类讨论，脱去“$f$”，将抽象方程转化为具体方程。
①当$k ＞ 0$时，$2kx ＞ 0$在$(0, + \infty)$上恒成立，$\therefore f(2kx) = - 2kx + 3$，
方程$f(x^{2} + 1) + f(2kx) = 0$可化为$- x^{2} + 2 - 2kx + 3 = 0$，
即$x^{2} + 2kx - 5 = 0$，此时$\Delta = 4k^{2} + 20 ＞ 0$，(9分)
所以方程$x^{2} + 2kx - 5 = 0$有两个不等的根，设为$x_{1}$，$x_{2}$，
则$x_{1}x_{2} = - 5 ＜ 0$，所以$x_{1}$，$x_{2}$一正一负，
所以方程$f(x^{2} + 1) + f(2kx) = 0$在$(0, + \infty)$上有解，符合题意。(10分)
②当$k = 0$时，$f(2kx) = 0$，故方程$f(x^{2} + 1) + f(2kx) = 0$即为$- x^{2} + 2 = 0$，解得$x = \sqrt{2}$或$x = - \sqrt{2}$(舍去)，符合题意。(12分)
③当$k ＜ 0$时，$2kx ＜ 0$在$(0, + \infty)$上恒成立，$\therefore f(2kx) = - 2kx - 3$，
$\therefore f(x^{2} + 1) + f(2kx) = - x^{2} + 2 - 2kx - 3 = - x^{2} - 2kx - 1$，
令$h(x) = - x^{2} - 2kx - 1$，其图象的对称轴方程为$x = - k ＞ 0$，
$\because$方程$f(x^{2} + 1) + f(2kx) = 0$在$(0, + \infty)$上有解，$\therefore\Delta = 4k^{2} - 4 \geq 0$，解得$k \leq - 1$或$k \geq 1$，$\therefore k \leq - 1$。(14分)
综上所述，$k$的取值范围是$\{ k|k \leq - 1$或$k \geq 0\}$。(15分)
18. (17 分)(2025 广东东莞五校联考)东莞广播电视台旗下的电商平台——“家乡好物商城”依托广播、电视与互联网平台优势，主要销售东莞制造的优质产品及东莞对口支援、帮扶地区的农特产品，打通新疆、广西、云南、贵州等地区农特产品的产销对接渠道.近一个月来，“贵州黄牛肉”“广西小砂糖橘”“云南野苹果”等农特产品在东莞热销.通过对过去一个月（以 30 天计）的“广西小砂糖橘”的销售情况的调查发现：每千克的销售价格$P(x)$（单位：元）关于第$x$天$(1\leq x\leq30,x\in\mathbf{N}^{*})$的函数关系近似满足$P(x)=10+\frac{k}{x}(k\gt0)$，日销售量$Q(x)$（单位：千克）关于第$x$天的部分数据如下表所示：
已知第 9 天的日销售收入为 552 元.
(1)求$k$的值；
(2)给出以下四种函数模型：
①$Q(x)=ax + b$；②$Q(x)=a|x - m|+b$；③$Q(x)=a^{x}+b$；④$Q(x)=b\log_{a}x$.
请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量$Q(x)$关于第$x$天的变化关系，并求出该函数的解析式；
(3)设该“广西小砂糖橘”的日销售收入为函数$y = f(x)$（单位：元），求函数$f(x)$的最小值.
已知第 9 天的日销售收入为 552 元.
(1)求$k$的值；
(2)给出以下四种函数模型：
①$Q(x)=ax + b$；②$Q(x)=a|x - m|+b$；③$Q(x)=a^{x}+b$；④$Q(x)=b\log_{a}x$.
请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量$Q(x)$关于第$x$天的变化关系，并求出该函数的解析式；
(3)设该“广西小砂糖橘”的日销售收入为函数$y = f(x)$（单位：元），求函数$f(x)$的最小值.
答案：
18.解析：
(1)由题意得$Q(9)P(9) = 552$，即$54 × (10 + \frac{k}{9}) = 552$，解得$k = 2$。(2分)
(2)由题表知，$Q(x)$的值随$x$值的增大先增大再减小，所以$Q(x) = a|x - m| + b$更合适。(4分)
把$(14,59)$，$(18,63)$，$(22,59)$代入，得$\begin{cases} a|14 - m| + b = 59, \\a|18 - m| + b = 63, \\a|22 - m| + b = 59, \end{cases}$解得$\begin{cases} m = 18, \\b = 63, \\a = - 1, \end{cases}$
所以$Q(x) = - |x - 18| + 63$。(7分)
经检验，$(9,54)$，$(29,52)$也满足上述解析式。(9分)
(3)由题意得，$f(x) = P(x)Q(x) = (10 + \frac{2}{x})( - |x - 18| + 63)$。(11分)
当$1 \leq x \leq 18$，$x \in \mathbf{N}^{*}$时，$f(x) = (10 + \frac{2}{x})[ - (18 - x) + 63] = 452 + 10x + \frac{90}{x} \geq 452 + 2\sqrt{10x · \frac{90}{x}} = 512$，
当且仅当$10x = \frac{90}{x}$，即$x = 3$时取等号，则$f(x)_{\min} = 512$。(13分)
当$18 ＜ x \leq 30$，$x \in \mathbf{N}^{*}$时，$f(x) = (10 + \frac{2}{x})[ - (x - 18) + 63] = 808 - 10x + \frac{162}{x}$，显然$f(x)$单调递减，所以$f(x)_{\min} = f(30) = 513.4$。(15分)
因为$512 ＜ 513.4$，
所以函数$f(x)$的最小值为$512$。(17分)
(1)由题意得$Q(9)P(9) = 552$，即$54 × (10 + \frac{k}{9}) = 552$，解得$k = 2$。(2分)
(2)由题表知，$Q(x)$的值随$x$值的增大先增大再减小，所以$Q(x) = a|x - m| + b$更合适。(4分)
把$(14,59)$，$(18,63)$，$(22,59)$代入，得$\begin{cases} a|14 - m| + b = 59, \\a|18 - m| + b = 63, \\a|22 - m| + b = 59, \end{cases}$解得$\begin{cases} m = 18, \\b = 63, \\a = - 1, \end{cases}$
所以$Q(x) = - |x - 18| + 63$。(7分)
经检验，$(9,54)$，$(29,52)$也满足上述解析式。(9分)
(3)由题意得，$f(x) = P(x)Q(x) = (10 + \frac{2}{x})( - |x - 18| + 63)$。(11分)
当$1 \leq x \leq 18$，$x \in \mathbf{N}^{*}$时，$f(x) = (10 + \frac{2}{x})[ - (18 - x) + 63] = 452 + 10x + \frac{90}{x} \geq 452 + 2\sqrt{10x · \frac{90}{x}} = 512$，
当且仅当$10x = \frac{90}{x}$，即$x = 3$时取等号，则$f(x)_{\min} = 512$。(13分)
当$18 ＜ x \leq 30$，$x \in \mathbf{N}^{*}$时，$f(x) = (10 + \frac{2}{x})[ - (x - 18) + 63] = 808 - 10x + \frac{162}{x}$，显然$f(x)$单调递减，所以$f(x)_{\min} = f(30) = 513.4$。(15分)
因为$512 ＜ 513.4$，
所以函数$f(x)$的最小值为$512$。(17分)
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