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2025年周末C计划高中数学必修第一册人教版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年周末C计划高中数学必修第一册人教版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
12. 若命题“$ \exists x ＞ 1 $，$ x ^ { 2 } - a x + 2 ＜ 0 $”的否定是真命题，则实数 $ a $ 的取值范围是
$(-\infty,2\sqrt{2}]$
。
答案：
12.答案$(-\infty,2\sqrt{2}]$
解析：解法一：命题“$\exists x ＞ 1$，$x^2 - ax + 2 ＜ 0$”的否定是“$\forall x ＞ 1$，$x^2 - ax + 2 \geqslant 0$”，所以$a \leqslant x + \frac{2}{x}$在$(1, + \infty)$上恒成立.因为$x + \frac{2}{x} \geqslant 2\sqrt{x · \frac{2}{x}} = 2\sqrt{2}$，当且仅当$x = \frac{2}{x}$，即$x = \sqrt{2}$时等号成立，所以$a \leqslant 2\sqrt{2}$，即实数$a$的取值范围是$(-\infty,2\sqrt{2}$.解法二：若命题“$\exists x ＞ 1$，$x^2 - ax + 2 ＜ 0$”的否定是真命题，则$\forall x ＞ 1$，$x^2 - ax + 2 \geqslant 0$恒成立.当$\Delta = a^2 - 8 \leqslant 0$，即$- 2\sqrt{2} \leqslant a \leqslant 2\sqrt{2}$时，$x^2 - ax + 2 \geqslant 0$恒成立，满足题意.当$\Delta = a^2 - 8 ＞ 0$，即$a ＜ - 2\sqrt{2}$或$a ＞ 2\sqrt{2}$时，易知$y = x^2 - ax + 2$的图象开口向上，对称轴为直线$x = \frac{a}{2}$，则$\begin{cases} \frac{a}{2} ＜ 1, \\1^2 - a × 1 + 2 \geqslant 0, \end{cases}$解得$a ＜ 2$，故$a ＜ - 2\sqrt{2}$.综上，$a \leqslant 2\sqrt{2}$，即实数$a$的取值范围为$(-\infty,2\sqrt{2}$.
解析：解法一：命题“$\exists x ＞ 1$，$x^2 - ax + 2 ＜ 0$”的否定是“$\forall x ＞ 1$，$x^2 - ax + 2 \geqslant 0$”，所以$a \leqslant x + \frac{2}{x}$在$(1, + \infty)$上恒成立.因为$x + \frac{2}{x} \geqslant 2\sqrt{x · \frac{2}{x}} = 2\sqrt{2}$，当且仅当$x = \frac{2}{x}$，即$x = \sqrt{2}$时等号成立，所以$a \leqslant 2\sqrt{2}$，即实数$a$的取值范围是$(-\infty,2\sqrt{2}$.解法二：若命题“$\exists x ＞ 1$，$x^2 - ax + 2 ＜ 0$”的否定是真命题，则$\forall x ＞ 1$，$x^2 - ax + 2 \geqslant 0$恒成立.当$\Delta = a^2 - 8 \leqslant 0$，即$- 2\sqrt{2} \leqslant a \leqslant 2\sqrt{2}$时，$x^2 - ax + 2 \geqslant 0$恒成立，满足题意.当$\Delta = a^2 - 8 ＞ 0$，即$a ＜ - 2\sqrt{2}$或$a ＞ 2\sqrt{2}$时，易知$y = x^2 - ax + 2$的图象开口向上，对称轴为直线$x = \frac{a}{2}$，则$\begin{cases} \frac{a}{2} ＜ 1, \\1^2 - a × 1 + 2 \geqslant 0, \end{cases}$解得$a ＜ 2$，故$a ＜ - 2\sqrt{2}$.综上，$a \leqslant 2\sqrt{2}$，即实数$a$的取值范围为$(-\infty,2\sqrt{2}$.
13. 已知函数 $ f ( 2 x + 1 ) $ 的定义域为 $ [ 4, 5 ] $，则函数 $ g ( x ) = \frac { f ( x ^ { 2 } + 2 ) } { \sqrt { x + 3 } } $ 的定义域为
$(-3, - \sqrt{7}] \cup [\sqrt{7},3]$
。
答案：
13.答案$(-3, - \sqrt{7}] \cup [\sqrt{7},3]$
解析：因为$x \in [4,5]$，所以$2x + 1 \in [9,11]$，所以$\begin{cases} 9 \leqslant x^2 + 2 \leqslant 11, \\x + 3 ＞ 0, \end{cases}$得$x \in (-3, - \sqrt{7}] \cup [\sqrt{7},3]$.
名师指点：此类问题具有迷惑性，需要清楚的是对应法则“$f$”后括号内的部分的范围一致.
解析：因为$x \in [4,5]$，所以$2x + 1 \in [9,11]$，所以$\begin{cases} 9 \leqslant x^2 + 2 \leqslant 11, \\x + 3 ＞ 0, \end{cases}$得$x \in (-3, - \sqrt{7}] \cup [\sqrt{7},3]$.
名师指点：此类问题具有迷惑性，需要清楚的是对应法则“$f$”后括号内的部分的范围一致.
14. 定义集合 $ P = \{ x | a \leq x \leq b \} $ 的“长度”是 $ b - a $，其中 $ a, b \in \mathbf { R } $。已知集合 $ M = \left\{ x | m \leq x \leq m + \frac { 1 } { 2 } \right\} $，$ N = \left\{ x | n - \frac { 3 } { 5 } \leq x \leq n \right\} $，且 $ M $，$ N $ 都是集合 $ \{ x | 1 \leq x \leq 2 \} $ 的子集，则集合 $ M \cap N $ 的“长度”的最小值是
$\frac{1}{10}$
；若 $ m = \frac { 6 } { 5 } $，集合 $ M \cup N $ 的“长度”大于 $ \frac { 3 } { 5 } $，则 $ n $ 的取值范围是$\left\{n \mid \frac{8}{5} \leqslant n ＜ \frac{17}{10}或\frac{9}{5} ＜ n \leqslant 2 \right\}$
。
答案：
14.答案$\frac{1}{10}; \left\{n \mid \frac{8}{5} \leqslant n ＜ \frac{17}{10}或\frac{9}{5} ＜ n \leqslant 2 \right\}$
解析：因为集合$M$是集合$\{x|1 \leqslant x \leqslant 2\}$的子集，所以$\begin{cases} m \geqslant 1, \\m + \frac{1}{2} \leqslant 2, \end{cases}$解得$1 \leqslant m \leqslant \frac{3}{2}$.同理，得$\begin{cases} n - \frac{3}{5} \geqslant 1, \\n \leqslant 2, \end{cases}$解得$\frac{8}{5} \leqslant n \leqslant 2$.要使$M \cap N$的“长度”最小，只需$m$取最小值、$n$取最大值或$m$取最大值、$n$取最小值即可.当$m = 1$，$n = 2$时，$M \cap N = \left\{ x \mid \frac{7}{5} \leqslant x \leqslant \frac{3}{2} \right\}$，其“长度”为$\frac{3}{2} - \frac{7}{5} = \frac{1}{10}$.当$m = \frac{3}{2}$，$n = \frac{8}{5}$时，$M \cap N = \left\{ x \mid \frac{3}{2} \leqslant x \leqslant \frac{8}{5} \right\}$，其“长度”为$\frac{8}{5} - \frac{3}{2} = \frac{1}{10}$.故集合$M \cap N$的“长度”的最小值是$\frac{1}{10}$.当$m = \frac{6}{5}$时，$M = \left\{ x \mid \frac{6}{5} \leqslant x \leqslant \frac{17}{10} \right\}$，因为集合$M \cup N$的“长度”大于$\frac{3}{5}$，所以$\frac{17}{10} - \frac{3}{5} + n ＞ \frac{9}{5}$或$n ＞ \frac{6}{5} + \frac{3}{5} + \frac{3}{5}$，解得$n ＜ \frac{17}{10}$或$n ＞ \frac{9}{5}$，又$\frac{8}{5} \leqslant n \leqslant 2$，故$\frac{8}{5} \leqslant n ＜ \frac{17}{10}$或$\frac{9}{5} ＜ n \leqslant 2$，所以$n$的取值范围为$\left\{n \mid \frac{8}{5} \leqslant n ＜ \frac{17}{10}或\frac{9}{5} ＜ n \leqslant 2 \right\}$.
解析：因为集合$M$是集合$\{x|1 \leqslant x \leqslant 2\}$的子集，所以$\begin{cases} m \geqslant 1, \\m + \frac{1}{2} \leqslant 2, \end{cases}$解得$1 \leqslant m \leqslant \frac{3}{2}$.同理，得$\begin{cases} n - \frac{3}{5} \geqslant 1, \\n \leqslant 2, \end{cases}$解得$\frac{8}{5} \leqslant n \leqslant 2$.要使$M \cap N$的“长度”最小，只需$m$取最小值、$n$取最大值或$m$取最大值、$n$取最小值即可.当$m = 1$，$n = 2$时，$M \cap N = \left\{ x \mid \frac{7}{5} \leqslant x \leqslant \frac{3}{2} \right\}$，其“长度”为$\frac{3}{2} - \frac{7}{5} = \frac{1}{10}$.当$m = \frac{3}{2}$，$n = \frac{8}{5}$时，$M \cap N = \left\{ x \mid \frac{3}{2} \leqslant x \leqslant \frac{8}{5} \right\}$，其“长度”为$\frac{8}{5} - \frac{3}{2} = \frac{1}{10}$.故集合$M \cap N$的“长度”的最小值是$\frac{1}{10}$.当$m = \frac{6}{5}$时，$M = \left\{ x \mid \frac{6}{5} \leqslant x \leqslant \frac{17}{10} \right\}$，因为集合$M \cup N$的“长度”大于$\frac{3}{5}$，所以$\frac{17}{10} - \frac{3}{5} + n ＞ \frac{9}{5}$或$n ＞ \frac{6}{5} + \frac{3}{5} + \frac{3}{5}$，解得$n ＜ \frac{17}{10}$或$n ＞ \frac{9}{5}$，又$\frac{8}{5} \leqslant n \leqslant 2$，故$\frac{8}{5} \leqslant n ＜ \frac{17}{10}$或$\frac{9}{5} ＜ n \leqslant 2$，所以$n$的取值范围为$\left\{n \mid \frac{8}{5} \leqslant n ＜ \frac{17}{10}或\frac{9}{5} ＜ n \leqslant 2 \right\}$.
15.（13 分）设集合 $ A = \{ x \in \mathbf { R } | ( x + 5 ) ( x - 4 ) \geq 0 \} $，$ B = \{ x \in \mathbf { R } | m ＜ x ＜ 2 m \} $。
（1）若 $ m = 3 $，求 $ ( \complement _ { \mathbf { R } } A ) \cup B $；
（2）若 $ B \subseteq \complement _ { \mathbf { R } } A $，求实数 $ m $ 的取值范围。
（1）若 $ m = 3 $，求 $ ( \complement _ { \mathbf { R } } A ) \cup B $；
（2）若 $ B \subseteq \complement _ { \mathbf { R } } A $，求实数 $ m $ 的取值范围。
答案：
15.解析$(1)$易得$A = \{x|x \geqslant 4或x \leqslant - 5\}$，则$\complement_{R}A = \{x| - 5 ＜ x ＜ 4\}$. $(3分)$当$m = 3$时，集合$B = \{x|3 ＜ x ＜ 6\}$.所以$(\complement_{R}A) \cup B = \{x| - 5 ＜ x ＜ 4\} \cup \{x|3 ＜ x ＜ 6\} = \{x| - 5 ＜ x ＜ 6\}$. $(6分)$$(2)$当$B = \varnothing$时，满足$B \subseteq \complement_{R}A$，此时$m \geqslant 2m$，解得$m \leqslant 0$. $(8分)$当$B \neq \varnothing$，即$m ＞ 0$时，因为$B \subseteq \complement_{R}A$，所以$\begin{cases} m ＞ 0, \\2m \leqslant 4, \end{cases}$解得$0 ＜ m \leqslant 2$. $(11分)$综上，$m$的取值范围是$m \leqslant 2$. $(13分)$
易错警示：$\varnothing$是任意集合的子集，任意非空集合的真子集，解题时容易漏掉$B = \varnothing$时的情况.
易错警示：$\varnothing$是任意集合的子集，任意非空集合的真子集，解题时容易漏掉$B = \varnothing$时的情况.
16.（15 分）已知 $ m ＞ 0 $，$ p : 2 x ^ { 2 } + 3 x - 2 \leq 0 $，$ q : 2 - m \leq x \leq 2 + m $。
（1）若 $ p $ 是 $ q $ 的充分条件，求实数 $ m $ 的取值范围；
（2）若 $ m = 5 $，命题 $ p $，$ q $ 中有且仅有一个是真命题，求实数 $ x $ 的取值范围。
（1）若 $ p $ 是 $ q $ 的充分条件，求实数 $ m $ 的取值范围；
（2）若 $ m = 5 $，命题 $ p $，$ q $ 中有且仅有一个是真命题，求实数 $ x $ 的取值范围。
答案：
16.解析$(1)$解不等式$2x^2 + 3x - 2 \leqslant 0$，得$-2 \leqslant x \leqslant \frac{1}{2}$，即$p: - 2 \leqslant x \leqslant \frac{1}{2}$. $(2分)$因为$p$是$q$的充分条件，所以$\left[ - 2,\frac{1}{2} \right]$是$[2 - m,2 + m]$的子集， $(4分)$故$\begin{cases} m ＞ 0, \\2 - m \leqslant - 2, \\2 + m \geqslant \frac{1}{2}, \end{cases}$解得$m \geqslant 4$，所以$m$的取值范围是$[4, + \infty)$. $(7分)$$(2)$当$m = 5$时，$q: - 3 \leqslant x \leqslant 7$， $(8分)$由于命题$p$，$q$中一个是真命题，一个是假命题，所以分以下两种情况讨论：$①p$真$q$假时，$\left\{ - 2 \leqslant x \leqslant \frac{1}{2} \right\}$与$\left\{ x \mid x ＜ - 3或x ＞ 7 \right\}$取交集，为$\varnothing$； $(11分)$$②p$假$q$真时，$\left\{ x \mid - 3 \leqslant x \leqslant 7 \right\}$与$\left\{ x \mid x ＜ - 2或x ＞ \frac{1}{2} \right\}$取交集，得$\left\{ x \mid - 3 \leqslant x ＜ - 2或\frac{1}{2} ＜ x \leqslant 7 \right\}$ $(14分)$所以实数$x$的取值范围为$[-3, - 2) \cup \left( \frac{1}{2},7 \right]$. $(15分)$
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