《2025年周末C计划高中数学必修第一册人教版》

1. (2025 江苏扬州期中检测)若函数 $ f(x) $ 在区间 $[a,b]$ 上的图象是一条连续不断的曲线，则“$ f(a)f(b) ＜ 0 $”是“函数 $ y = f(x) $ 在区间 $(a,b)$ 上有零点”的（A）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 1.A 函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的图象是一条连续不断的曲线，根据函数零点存在定理可知，若$f(a)f(b)＜0$，则函数$y=f(x)$在区间$(a,b)$上有零点，充分性成立；若$y=f(x)$在区间$(a,b)$上有零点，如$y=(x - 1)^2$在区间$[0,2]$上有零点$x = 1$，此时$f(0)=1,f(2)=1,f(0)· f(2)=1×1=1＞0$，必要性不成立，故为充分不必要条件。

2. (2025 福建龙岩一中月考)函数 $ f(x)=\frac{x^{2}-1}{\sqrt{2x + 1}} $ 的零点是（1）
A.1
B.$(1,0)$
C.$(-1,0)$
D.-1 或 1

答案： 2.A 由$2x + 1＞0$，得$x＞-\frac{1}{2}$，所以$f(x)$的定义域为$(-\frac{1}{2},+\infty)$。
不要忽略函数的定义域
令$f(x)=\frac{x^2 - 1}{\sqrt{2x + 1}}=0$，解得$x = -1$(舍去)或$x = 1$，所以函数$f(x)=\frac{x^2 - 1}{\sqrt{2x + 1}}$的零点是$1$。

3. (2025 辽宁省实验中学期中)下列函数中，不能用二分法求零点的是（B）
A.$ f(x)=2x $
B.$ f(x)=x^{2}+2\sqrt{2}x + 2 $
C.$ f(x)=x+\frac{1}{x}-4 $
D.$ f(x)=2^{x}-3 $

答案： 3.B 对于A，$f(x)=2x$在$\mathbf{R}$上单调递增，有唯一零点$x = 0$，且函数值在零点两侧附近异号，故可用二分法求零点。
对于B，$f(x)=x^2 + 2\sqrt{2}x + 2=(x + \sqrt{2})^2\geqslant0$，故函数有唯一零点$x = -\sqrt{2}$，但函数值在零点两侧附近同号，故不能用二分法求零点。
对于C，当$x＜0$时，$f(x)=x+\frac{1}{x}-4=-\left(-x+\frac{1}{-x}\right)-4\leqslant-2\sqrt{-x·\frac{1}{-x}}-4=-6$，当且仅当$x = -1$时等号成立，无零点；当$x＞0$时，$f(x)=x+\frac{1}{x}-4\geqslant2\sqrt{x·\frac{1}{x}}-4=-2$，当且仅当$x = 1$时等号成立，所以$f(x)$在$(0,1)$上单调递减，在$(1,+\infty)$上单调递增，此时有两个零点$x = 2 + \sqrt{3}$和$x = 2 - \sqrt{3}$，且函数值在零点两侧附近异号，故可用二分法求零点。
对于D，函数$f(x)=2^x - 3$在$\mathbf{R}$上单调递增，有唯一零点$x = \log_23$，且函数值在零点两侧附近异号，故可用二分法求零点。

4. (2025 河南南阳一中开学考试)已知函数 $ f(x)=x^{3}+x - 1 $ 在 $(0,1)$ 内有一个零点，且求得 $ f(x) $ 的部分函数值如下表所示：

若用二分法求 $ f(x) $ 零点的近似值（精确度为 0.1），则对区间 $(0,1)$ 等分的最少次数和 $ f(x) $ 零点的一个近似值分别为（C）
A.4，0.7
B.5，0.7
C.4，0.65
D.5，0.65

答案： 4.C 设零点为$x_0$，
因为$f(0)＜0,f(1)＞0,f(0.5)＜0$，所以$x_0\in(0.5,1)$，精确度为$1 - 0.5 = 0.5＞0.1$，
又$\frac{0.5 + 1}{2}=0.75,f(0.75)＞0$，所以$x_0\in(0.5,0.75)$，精确度为$0.75 - 0.5 = 0.25＞0.1$，
又$\frac{0.5 + 0.75}{2}=0.625,f(0.625)＜0$，所以$x_0\in(0.625,0.75)$，精确度为$0.75 - 0.625 = 0.125＞0.1$，
又$\frac{0.625 + 0.75}{2}=0.6875,f(0.6875)＞0$，所以$x_0\in(0.625,0.6875)$，精确度为$0.6875 - 0.625 = 0.0625＜0.1$，满足要求，
故对区间$(0,1)$至少等分$4$次，才能满足$f(x)$零点的近似值的精确度为$0.1$，且零点的一个近似值可取区间$(0.625,0.6875)$内的任意一个值，结合选项知C正确。

5. (2025 江苏无锡一中期中)若二次函数 $ f(x)=x^{2}-2mx - 5 $ 在区间 $(3,4)$ 上存在一个零点，则 $ m $ 的取值范围是（$\frac{2}{3}＜m＜\frac{11}{8}$）
A.$ \frac{2}{3}＜m＜\frac{11}{8} $
B.$ m＜\frac{11}{8} $
C.$ m＞\frac{2}{3} $
D.$ m＜\frac{2}{3} $ 或 $ m＞\frac{11}{8} $

答案： 5.A 令$f(x)=x^2 - 2mx - 5 = 0$，则$\Delta = 4m^2 + 20＞0$，即此方程在$\mathbf{R}$上必有两个不等的实根，
由题意知方程$x^2 - 2mx - 5 = 0$在$(3,4)$上存在一个实根，则$f(3)f(4)＜0$，即$(4 - 6m)(11 - 8m)＜0$，解得$\frac{2}{3}＜m＜\frac{11}{8}$。故$m$的取值范围为$\frac{2}{3}＜m＜\frac{11}{8}$。

6. (2025 江西新九校协作体期中)已知函数 $ f(x)=\begin{cases}|3^{x}-3|,x\geq0,\\x^{2}+2x + 2,x＜0,\end{cases} $ 则函数 $ g(x)=f(f(x)-1)-2 $ 的零点个数为（ ）

A.5
B.6
C.7
D.8

答案：
6.A 求函数$g(x)=f(f(x)-1)-2$的零点个数，即求方程$f(f(x)-1)=2$的根的个数，作出函数$y=f(x)$的大致图象，如图，

令$t = f(x) - 1$，由$f(t)=2$，解得$t = -2$或$t = 0$或$t = \log_35$。当$t = -2$时，$f(x) - 1 = -2$，则$f(x)= -1$，此时方程无解；当$t = 0$时，$f(x) - 1 = 0$，则$f(x)=1$，此时方程有$3$个不同的实数根；当$t = \log_35$时，$f(x) - 1 = \log_35$，则$f(x)=1 + \log_35＞2$，此时方程有$2$个不同的实数根。
综上可知，$g(x)=f(f(x)-1)-2$的零点个数为$5$。
方法总结
判断函数零点个数常用的方法是数形结合法，即把函数的零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中画出两个函数的图象，有几个交点，就有几个零点。

7. (2025 湖南永州质量检测)下列函数图象与 $ x $ 轴均有交点，其中能用二分法求其零点的是（AC）

答案： 7.AC 能用二分法求零点的函数图象必须在给定区间$[a,b]$上连续不断，且$f(a)f(b)＜0$，B、D中函数零点左右两侧附近的函数值同号，A、C中函数零点左右两侧附近的函数值异号，A、C正确。

8. (2025 广东广州三校期中联考)已知函数 f(x)=\begin{cases}1+\log_{a}|x - 2|,x\leq1,\x - 1)^{2}+4a,x＞1\end{cases} ( a＞0 且$ a\neq1 ) $在区间$ (-\infty,+\infty) $上为单调函数，若函数 y = |f(x)| - x - 2 有两个不同的零点，则实数 a 的取值可以是（ ）

$A. \frac{1}{16} $

$B. \frac{1}{4} $

$C. \frac{1}{2} $

$D. \frac{15}{16} $

答案：
8.BC 因为$f(x)=\begin{cases}1+\log_a|x - 2|,x\leqslant1,\\(x - 1)^2 + 4a,x＞1\end{cases}$在区间$(-\infty,+\infty)$上为单调函数，且当$x＞1$时，$f(x)=(x - 1)^2 + 4a$单调递增，
所以只需满足$\begin{cases}0 ＜ a ＜ 1,\\1 + 0\leqslant0 + 4a,\end{cases}$解得$\frac{1}{4}\leqslant a ＜ 1$。
因为$y = |f(x)| - x - 2$有两个不同的零点，所以$|f(x)| = x + 2$有两个不同的实数根，即$y = |f(x)|$与$y = x + 2$的图象有两个不同的交点，在同一平面直角坐标系中作出$y = |f(x)|$与$y = x + 2$的图象，如图所示，

当$x\leqslant1$时，由$1+\log_a|x - 2| = 0$得$x = 2 - \frac{1}{a}＜1$，又$\frac{1}{4}\leqslant a ＜ 1$，所以$-2\leqslant2 - \frac{1}{a}＜1$，所以$y = |f(x)|$与$y = x + 2$的图象在$(-\infty,1]$上仅有一个公共点，
则$y = |f(x)|$与$y = x + 2$的图象在$(1,+\infty)$上也仅有一个公共点，
则满足$4a\leqslant3$或直线$y = x + 2$与函数$y=(x - 1)^2 + 4a$的图象相切，即$4a\leqslant3$或$x^2 - 3x + 4a - 1 = 0$有一解，
所以$a\leqslant\frac{3}{4}$或$\Delta = 9 - 4(4a - 1)=0$，解得$a\leqslant\frac{3}{4}$或$a = \frac{13}{16}$。综上，实数$a$的取值范围为$[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]\cup\{\frac{13}{16}\}$，结合选项知B、C满足题意。

9. (2025 广东惠州第一中学期末)已知函数 $ f(x)=2^{x}-\frac{3}{x} $ 在区间 $(1,2)$ 上有一个零点 $ x_{0} $，如果用二分法求 $ x_{0} $ 的近似值（精确度为 0.01），则应将区间 $(1,2)$ 至少等分的次数为7。

答案： 9.答案 7
解析 因为每等分一次，零点所在区间的长度变为原来的$\frac{1}{2}$，
所以等分$n(n\in\mathbf{N}^*)$次后的区间长度变为原来的$\frac{1}{2^n}$，由题意可得$\frac{1}{2^n}＜\frac{1}{100}$，可得$2^n＞100$，又$2^6＜100＜2^7$，所以正整数$n$的最小值为$7$，即至少等分的次数为$7$。

10. (2025 湖南名校联合体联考)已知函数 $ f(x)=\begin{cases}e^{x},x\leq0,\\\ln x,x＞0,\end{cases}g(x)=f(x)+x + a $，若 $ g(x) $ 存在两个零点 $ x_{1},x_{2} $，且 $ |x_{2}-x_{1}|=e^{-2}+2 $，则实数 $ a = $________。

答案：
10.答案 $2 - e^{-2}$
解析 令$g(x)=f(x)+x+a = 0$，得$f(x)= -x - a$，由已知得$f(x)= -x - a$有两个解$x_1,x_2$，在同一平面直角坐标系中画出$y = f(x)$和$y = -x - a$的图象，如图所示，

当直线$y = -x - a$过点A时，与$f(x)$的图象有两个交点，并且可以向下无限移动，都可以保证两图象有两个交点，此时满足$-a\leqslant1$，即$a\geqslant - 1$。
不妨设$x_1＜x_2$，则$x_2 - x_1 = e^{-2}+2$，且$\begin{cases}-x_1 - a = e^{x_1},\\-x_2 - a = \ln x_2,\end{cases}$即$\begin{cases}-a = e^{x_1}+x_1,\\-x_2 - a = \ln x_2,\end{cases}$故$-a = \ln x_2 + x_2 = e^{\ln x_2}+\ln x_2$，
设$h(x)=e^x + x$，显然$h(x)$单调递增，且$h(x_1)=h(\ln x_2)$，所以$x_1 = \ln x_2$，即$x_2 = e^{x_1}$，所以$x_2 - x_1 = e^{x_1}-x_1 = e^{-2}+2$，解得$x_1 = -2$，故$-a = e^{x_1}+x_1 = e^{-2}-2$，所以$a = 2 - e^{-2}$。