《2025年周末C计划高中数学必修第一册人教版》

1. (2025 河南部分学校期中)已知角$\theta$的终边经过点$(3,-\sqrt{7})$，则$\tan(\theta +\pi)+\cos(\theta -\frac{3\pi}{2})=$ （C）
A.$-\frac{7\sqrt{7}}{12}$
B.$\frac{7\sqrt{7}}{12}$
C.$-\frac{\sqrt{7}}{12}$
D.$\frac{\sqrt{7}}{12}$

答案： 1.C 因为角$\theta$的终边经过点$(3,-\sqrt{7})$，所以$\tan\theta=-\frac{\sqrt{7}}{3}$，
$\sin\theta=\frac{-\sqrt{7}}{\sqrt{3^{2}+(-\sqrt{7})^{2}}}=\frac{-\sqrt{7}}{4}$，
故$\tan(\theta+\pi)+\cos(\theta-\frac{3\pi}{2})=\tan\theta-\sin\theta=-\frac{\sqrt{7}}{3}-\frac{\sqrt{7}}{4}=-\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{7}}{3}+\frac{\sqrt{7}}{12}}$

2. (2025 江苏镇江期末)单位圆上一点$P$从$(0,1)$出发，按逆时针方向运动$\frac{\pi}{6}$弧长到达点$Q$，则点$Q$的坐标为 （$(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$）
A.$(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$
B.$(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$
C.$(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2})$
D.$(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$

答案： 2.A 易得$\angle QOx=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}=\frac{2\pi}{3}$（$O$为坐标原点），所以$Q(\cos\frac{2\pi}{3},\sin\frac{2\pi}{3})$，又$\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2},\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，故点$Q$的坐标为$(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$

3. (2024 吉林通化期末)若$\theta$为第二或第四象限角，则下列结论一定正确的是 （D）
A.$\sin\theta\tan\theta ＜ 0$
B.$\cos\theta\tan\theta ＜ 0$
C.$\frac{\sin\theta}{\tan\theta} ＞ 0$
D.$\sin\theta\cos\theta ＜ 0$

答案： 3.D 当$\theta$为第二象限角时，$\sin\theta＞0,\cos\theta＜0,\tan\theta＜0$；当$\theta$为第四象限角时，$\sin\theta＜0,\cos\theta＞0,\tan\theta＜0$.
对于$A$，当$\theta$为第四象限角时，$\sin\theta\tan\theta＞0$，故$A$错误；
对于$B$，当$\theta$为第二象限角时，$\cos\theta\tan\theta＞0$，故$B$错误；
对于$C$，当$\theta$为第二象限角时，$\frac{\sin\theta}{\tan\theta}＜0$，故$C$错误；
对于$D$，无论$\theta$为第二象限角还是第四象限角，$\sin\theta\cos\theta＜0$均成立，故$D$正确.

4. (2025 福建福州期中)已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-\frac{1}{5}x + m = 0$的两个实数根为$\sin\alpha,\cos\alpha$，则$m$的值为 （C）
A.$-\frac{24}{25}$
B.$\frac{24}{25}$
C.$-\frac{12}{25}$
D.$\frac{12}{25}$

答案： 4.C 因为一元二次方程$x^{2}-\frac{1}{5}x+m=0$有两个实数根$\sin\alpha,\cos\alpha$，所以由根与系数的关系得$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{5}$，
$\sin\alpha\cos\alpha=m$，
所以$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{25}$，
解得$\sin\alpha\cos\alpha=-\frac{12}{25}$，即$m=-\frac{12}{25}$.

5. (2025 江苏无锡运河实验中学月考)若$\alpha$是第四象限角，$\sin(\frac{\pi}{3}+\alpha)=-\frac{5}{13}$，则$\sin(\frac{\pi}{6}-\alpha)=$ （D）

A.$\pm\frac{1}{5}$
B.$\pm\frac{12}{13}$
C.$-\frac{12}{13}$
D.$\frac{12}{13}$

答案： 5.D 因为$\alpha$是第四象限角，
所以$-\frac{\pi}{2}+2k\pi＜\alpha＜2k\pi,k\in\mathbf{Z}$，
所以$-\frac{\pi}{6}+2k\pi＜\alpha+\frac{\pi}{3}＜\frac{\pi}{3}+2k\pi,k\in\mathbf{Z}$，
又$\sin(\frac{\pi}{3}+\alpha)=-\frac{5}{13}$，所以$\frac{\pi}{3}+\alpha$是第四象限角，
所以$\cos(\frac{\pi}{3}+\alpha)=\sqrt{1-\sin^{2}(\frac{\pi}{3}+\alpha)}=\frac{12}{13}$，
所以$\sin(\frac{\pi}{6}-\alpha)=\sin[\frac{\pi}{2}-(\frac{\pi}{3}+\alpha)]=\cos(\frac{\pi}{3}+\alpha)=\frac{12}{13}$

6. (2025 江苏淮安第一高级中学月考)若$\frac{\sin\alpha - 2\cos\alpha}{\sin\alpha - 3\cos\alpha}=\frac{3}{2}$，则$\sin^{2}\alpha - \cos^{2}\alpha =$ （C）
A.$-5$
B.$5$
C.$\frac{12}{13}$
D.$-\frac{12}{13}$

答案： 6.C 由$\frac{\sin\alpha - 2\cos\alpha}{\sin\alpha - 3\cos\alpha}=\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\tan\alpha - 2}{\tan\alpha - 3}=\frac{3}{2}$可得
$\tan\alpha=5$，
因此$\sin^{2}\alpha-\cos^{2}\alpha=\frac{\sin^{2}\alpha-\cos^{2}\alpha}{\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha}=\frac{\tan^{2}\alpha - 1}{\tan^{2}\alpha + 1}=\frac{25 - 1}{25 + 1}=\frac{12}{13}$

7. (2025 安徽卓越县中联盟期中)$\cos(\frac{\pi}{3}-\alpha)=$ （BD）
A.$\sin(\frac{2\pi}{3}+\alpha)$
B.$\sin(\frac{\pi}{6}+\alpha)$
C.$\cos(-\frac{2\pi}{3}-\alpha)$
D.$\cos(\frac{5\pi}{3}+\alpha)$

答案： 7.BD 对于$A$，$\sin(\frac{2\pi}{3}+\alpha)=\sin(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}+\alpha)=\cos(\frac{\pi}{6}+\alpha)=\sin(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}-\alpha)=\sin(\frac{\pi}{3}-\alpha)$，故$A$错误；
对于$B$，$\sin(\frac{\pi}{6}+\alpha)=\sin(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}+\alpha)=\sin[\frac{\pi}{2}-(\frac{\pi}{3}-\alpha)]=\cos(\frac{\pi}{3}-\alpha)$，故$B$正确；
对于$C$，$\cos(\frac{2\pi}{3}-\alpha)=\cos(\frac{2\pi}{3}+\alpha)=\cos[-(\frac{\pi}{3}-\alpha)]=-\cos(\frac{\pi}{3}-\alpha)$，故$C$错误；
对于$D$，$\cos(\frac{5\pi}{3}+\alpha)=\cos(2\pi-\frac{\pi}{3}+\alpha)=\cos[-(\frac{\pi}{3}-\alpha)]=\cos(\frac{\pi}{3}-\alpha)$，故$D$正确.

8. (2025 山东潍坊期中质量监测)已知$\theta\in(0,\pi)$，$\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{5}$，则 （BD）
A.$\sin\theta = -\frac{3}{5}$
B.$\tan\theta = -\frac{4}{3}$
C.$\cos\theta = \frac{4}{5}$
D.$\sin\theta - \cos\theta = \frac{7}{5}$

答案： 8.BD 由$\sin\theta+\cos\theta=\frac{1}{5}$，得$1 + 2\sin\theta\cos\theta=\frac{1}{25}$，即$2\sin\theta\cos\theta=-\frac{24}{25}$，
因为$\theta\in(0,\pi)$，所以$\sin\theta＞0$，则$\cos\theta＜0$，
所以$(\sin\theta-\cos\theta)^{2}=1 - 2\sin\theta\cos\theta=1+\frac{24}{25}=\frac{49}{25}$，则$\sin\theta-\cos\theta=\frac{7}{5}$，故$D$正确；
由$\begin{cases}\sin\theta+\cos\theta=\frac{1}{5}\\\sin\theta-\cos\theta=\frac{7}{5}\end{cases}$，解得$\begin{cases}\sin\theta=\frac{4}{5}\\\cos\theta=-\frac{3}{5}\end{cases}$，故$A,C$错误；
$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=-\frac{4}{3}$，故$B$正确.
名师指点
利用$(\sin\alpha\pm\cos\alpha)^{2}=1\pm2\sin\alpha\cos\alpha$进行变形、转化，可以解决$\sin\alpha+\cos\alpha,\sin\alpha\cos\alpha,\sin\alpha-\cos\alpha$知一求二的问题，注意方程思想的应用.

9. (2025 江西抚州金溪第一中学等校联考)已知角$\alpha$的终边经过点$(2,3)$，则$\tan(\frac{\pi}{2}+\alpha)+\frac{\cos(\pi+\alpha)-\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)}{\cos(\frac{3\pi}{2}-\alpha)}=$ $\frac{2}{3}$。

答案： 9.答案 $\frac{2}{3}$
解析 由题意，得$\sin\alpha=\frac{3}{\sqrt{2^{2}+3^{2}}}=\frac{3\sqrt{13}}{13},\cos\alpha=\frac{2}{\sqrt{2^{2}+3^{2}}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$，
则$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{3}{2}$，
原式$=-\frac{1}{\tan\alpha}+\frac{-\cos\alpha-\cos\alpha}{-\sin\alpha}=\frac{2}{3}+\frac{13\sqrt{13}}{3\sqrt{13}}=\frac{2}{3}$

10. (2024 浙江义乌期末)化简求值：$\frac{\sqrt{1 + 2\sin280^{\circ}·\cos440^{\circ}}}{\sin260^{\circ}+\cos800^{\circ}}=$$-1$。

答案： 10.答案 $-1$
解析 原式$=\frac{\sqrt{1 + 2\sin(360^{\circ}-80^{\circ})·\cos(360^{\circ}+80^{\circ})}}{\sin(180^{\circ}+80^{\circ})+\cos(360^{\circ}×2+80^{\circ})}$
$=\frac{\sqrt{1 - 2\sin80^{\circ}·\cos80^{\circ}}}{-\sin80^{\circ}+\cos80^{\circ}}$
$=\frac{\sqrt{(\sin80^{\circ}-\cos80^{\circ})^{2}}}{-\sin80^{\circ}+\cos80^{\circ}}$
$=\frac{|\sin80^{\circ}-\cos80^{\circ}|}{-\sin80^{\circ}+\cos80^{\circ}}$
$=\frac{\sin80^{\circ}-\cos80^{\circ}}{-\sin80^{\circ}+\cos80^{\circ}}=-1$

11. (2025 河北承德期末)如图，已知$OAB$是半径为$2\mathrm{km}$的扇形，$OA\perp OB$，$C$是弧$AB$上的动点，过点$C$作$CH\perp OA$，垂足为$H$，某地区欲建一个风景区，该风景区由$\triangle AOC$和矩形$ODEH$组成，且$OH = 3OD$，则该风景区面积的最大值为 $\frac{25}{12}$$\mathrm{km}^{2}$。

答案： 11.答案 $\frac{25}{12}$
解析 设$OH = 3OD=3x\mathrm{km},x\in(0,\frac{2}{3})$，则$S_{矩形ODEH}=3x^{2}\mathrm{km}^{2},\cos\angle AOC=\frac{OH}{OC}=\frac{3x}{2}$，
则$\sin\angle AOC=\sqrt{1-\cos^{2}\angle AOC}=\sqrt{1 - (\frac{3x}{2})^{2}}=\frac{\sqrt{4 - 9x^{2}}}{2}$，
则$S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}OA· OC\sin\angle AOC=\sqrt{4 - 9x^{2}}\mathrm{km}^{2}$，
设该风景区的面积为$y\mathrm{km}^{2}$，则$y=\sqrt{4 - 9x^{2}}+3x^{2}$，
令$\sqrt{4 - 9x^{2}}=t$，则$t\in(0,2),3x^{2}=\frac{4 - t^{2}}{3}$，
即$y=\frac{4 - t^{2}}{3}+t=-\frac{1}{3}t^{2}+t+\frac{4}{3}$，
其图象开口向下，对称轴方程为$t=-\frac{1}{2×(-\frac{1}{3})}=\frac{3}{2}$，因为$\frac{3}{2}\in(0,2)$，
所以当$t=\frac{3}{2}$时，$y$取得最大值，为$-\frac{1}{3}×(\frac{3}{2})^{2}+\frac{3}{2}+\frac{4}{3}=\frac{25}{12}$