《2025年周末C计划高中数学必修第一册人教版》

10. （2025 北京昌平期末）已知函数 $ f(x)=\begin{cases}ax - 2,x ＜ a,\\3x - x^{2},x\geq a.\end{cases} $ 若 $ f(x) $ 无最大值，则实数 $ a $ 的一个取值为$-1$；若 $ f(x) $ 存在最大值，则 $ a $ 的取值范围是$[0, 2]$。

答案： 10.答案 $-1$(答案不唯一，满足$a ＜ 0$即可)；$[0, 2]$
解析 当$x ＜ a$时，$f(x) = ax - 2$，当$a ＜ 0$时，$f(x)$单调递减，此时不存在最大值，因此只需满足$a ＜ 0$即可，可取$a = -1$. 若$f(x)$存在最大值，则$a \geq 0$， 当$0 \leq a \leq \frac{3}{2}$时，$y = 3x - x^2$，$x \geq a$的最大值为$\frac{9}{4}$，而$y = ax - 2$，$x ＜ a$单调递增，需满足$a^2 - 2 \leq \frac{9}{4}$，解得$-\frac{\sqrt{17}}{2} \leq a \leq \frac{\sqrt{17}}{2}$，所以$0 \leq a \leq \frac{3}{2}$； 当$a ＞ \frac{3}{2}$时，$y = 3x - x^2$，$x \geq a$的最大值为$3a - a^2$，而$y = ax - 2$，$x ＜ a$单调递增，需满足$a^2 - 2 \leq 3a - a^2$，解得$-\frac{1}{2} \leq a \leq 2$，所以$\frac{3}{2} ＜ a \leq 2$. 综上可得，$a$的取值范围是$[0, 2]$.

11. （2025 湖南长沙长郡中学期中）已知函数 $ f(x) $， $ g(x) $ 是定义在 $ \mathbf{R} $ 上的函数，其中 $ f(x) $ 是奇函数， $ g(x) $ 是偶函数，且 $ f(x)+g(x)=ax^{2}+x + 2 $，若对于任意 $ x_{1},x_{2}\in(1,2) $，且 $ x_{1}＜x_{2} $，都有 $ \frac{g(x_{1})-g(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}＜-1 $，则实数 $ a $ 的取值范围是______$(-\infty, -\frac{1}{2}]$。

答案： 11.答案 $(-\infty, -\frac{1}{2}]$
解析 因为$f(x)$是奇函数，$g(x)$是偶函数，所以$f(-x) = -f(x)$，$g(-x) = g(x)$， 对于$f(x) + g(x) = ax^2 + x + 2$用$-x$替换$x$，整理得$f(x) - g(x) = -ax^2 + x - 2$ 联立，解得$f(x) = x$，$g(x) = ax^2 + 2$. 对于任意$x_1, x_2 \in (1, 2)$，且$x_1 ＜ x_2$，$g(x_1) - g(x_2) = x_1 - x_2$等价于$g(x_1) - g(x_2) ＞ x_2 - x_1$，即$g(x_1) + x_1 ＞ g(x_2) + x_2$在$1 ＜ x_1 ＜ x_2 ＜ 2$时恒成立. 记$h(x) = g(x) + x$，则$h(x_1) ＞ h(x_2)$， 即$h(x) = g(x) + x = ax^2 + x + 2$在区间$(1, 2)$上单调递减，
显然$a \neq 0$，$h(x) = ax^2 + x + 2$的图象的对称轴为直线$x = -\frac{1}{2a}$ 当$a ＞ 0$时，$-\frac{1}{2a} ＜ 0$，显然不符合题意； 当$a ＜ 0$时，需使$-\frac{1}{2a} \leq 1$，所以$a \leq -\frac{1}{2}$. 综上可得，实数$a$的取值范围是$(-\infty, -\frac{1}{2}]$.

12. （13 分）（2025 浙江金华期中）已知 $ f(x)=\begin{cases}-x^{2}+2x,x ＞ 0,\\0,x = 0,\\x^{2}+mx,x ＜ 0\end{cases} $ 是奇函数。
（1）求实数 $ m $ 的值；
（2）作出 $ y = f(x) $ 的图象；
（3）若函数 $ f(x) $ 在区间 $[-1,a - 2]$ 上单调递增，求实数 $ a $ 的取值范围。

答案：
12.解析
(1)当$x ＜ 0$时，$-x ＞ 0$，则$f(-x) = -x^2 - 2x$，因为$f(x)$是奇函数，所以$f(x) = -f(-x) = x^2 + 2x$，$x ＜ 0$，所以$m = 2$.
(2)$f(x) = \begin{cases} -x^2 + 2x, & x ＞ 0, \\ 0, & x = 0, \\ x^2 + 2x, & x ＜ 0, \end{cases}$其图象如图所示:

(8分)
(3)由
(2)中图象知，函数$f(x)$的单调递增区间为$[-1, 1]$， (10分) 要使$f(x)$在区间$[-1, a - 2]$上单调递增，则$-1 ＜ a - 2 \leq 1$，解得$1 ＜ a \leq 3$，所以实数$a$的取值范围是$(1, 3]$. (13分)

13. （17 分）（2025 河北廊坊期末）我们知道，函数 $ y = f(x) $ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $ y = f(x) $ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $ y = f(x) $ 的图象关于点 $ P(m,n) $ 成中心对称图形的充要条件是函数 $ y = f(x + m)-n $ 为奇函数。已知定义在 $ \mathbf{R} $ 上的函数 $ y = f(x) $ 的图象关于点 $ (1,1) $ 对称。
（1）求 $ f(-1)+f(3) $ 的值；
（2）设函数 $ g(x)=x-\frac{6}{x + 1} $。
①证明函数 $ g(x) $ 的图象关于点 $ (-1,-1) $ 对称；
②用定义证明 $ g(x) $ 在区间 $ (-1,+\infty) $ 上单调递增，并求 $ g(x) $ 在 $[2,+\infty)$ 上的值域；
③当 $ x\in[0,1] $ 时， $ f(x)=x^{2}-2ax + 2a $，若对任意 $ x_{1}\in[0,2] $，总存在 $ x_{2}\in[2,+\infty) $，使得 $ f(x_{1})=g(x_{2}) $ 成立，求实数 $ a $ 的取值范围。

答案： 13.解析 若函数$y = f(x + m) - n$为奇函数，则$f(-x + m) - n + f(x + m) - n = 0$，即$f(x + m) + f(-x + m) = 2n$. (1分)
(1)因为$y = f(x)$的图象关于点$(1, 1)$对称，所以$f(x + 1) + f(1 - x) = 2$，令$x = 2$，得$f(-1) + f(3) = 2$. (3分)
(2)①证明：函数$g(x) = x - \frac{6}{x + 1}$的定义域为$\{x \mid x \neq -1\}$， 因为$g(-1 + x) + g(-1 - x) = -1 + x - \frac{6}{-1 + x + 1} - 1 - x - \frac{6}{-1 - x + 1} = -2 - \frac{6}{x} - \frac{6}{-x} = -2 - \frac{6}{x} + \frac{6}{x} = -2$， 所以$g(x)$的图象的对称中心为$(-1, -1)$. (5分)
②任取$x_1, x_2 \in (-1, +\infty)$，且$x_1 ＜ x_2$，则$g(x_1) - g(x_2) = x_1 - \frac{6}{x_1 + 1} - (x_2 - \frac{6}{x_2 + 1}) = (x_1 - x_2) \left[ 1 + \frac{6}{(x_1 + 1)(x_2 + 1)} \right]$， 因为$-1 ＜ x_1 ＜ x_2$，所以$x_1 - x_2 ＜ 0$，$1 + \frac{6}{(x_1 + 1)(x_2 + 1)} ＞ 0$，所以$g(x_1) - g(x_2) ＜ 0$，即$g(x_1) ＜ g(x_2)$，所以$g(x) = x - \frac{6}{x + 1}$在$(-1, +\infty)$上单调递增. (7分)
所以$g(x)$在$[2, +\infty)$上单调递增，又$g(2) = 2 - \frac{6}{2 + 1} = 0$，所以$g(x)$在$[2, +\infty)$上的值域为$[0, +\infty)$. (9分)
③因为对任意$x_1 \in [0, 2]$，总存在$x_2 \in [2, +\infty)$，使得$f(x_1) = g(x_2)$成立，所以$f(x)$在$[0, 2]$上的值域是$g(x)$在$[2, +\infty)$上的值域的子集，记$f(x)$在$[0, 2]$上的值域为$B$，则$B \subseteq [0, +\infty)$. 当$x \in [0, 1]$时，$f(x) = x^2 - 2ax + 2a$， 若$a \leq 0$，则$f(x)$在$[0, 1]$上单调递增，因为$y = f(x)$的图象关于点$(1, 1)$对称，所以$f(x)$在$[1, 2]$上单调递增，所以$f(x)$在$[0, 2]$上单调递增， 故只需$f(0) = 2a \geq 0$即可，解得$a \geq 0$，所以$a = 0$满足题意； (12分)
当$0 ＜ a ＜ 1$时，$f(x)$在$[0, a]$上单调递减，在$[a, 1]$上单调递增，因为$y = f(x)$的图象关于点$(1, 1)$对称，所以$f(x)$在$[1, 2 - a]$上单调递增，在$[2 - a, 2]$上单调递减， 所以$B = [f(a), f(2 - a)]$或$B = [f(2), f(0)]$，当$0 ＜ a ＜ 1$时，$f(a) = -a^2 + 2a ＞ 0$，$f(2) = 2 - f(0) = 2 - 2a ＞ 0$，所以$0 ＜ a ＜ 1$满足题意； (14分)
当$a \geq 1$时，$f(x)$在$[0, 1]$上单调递减，因为$y = f(x)$的图象关于点$(1, 1)$对称，所以$f(x)$在$[1, 2]$上单调递减，故只需$f(2) = 2 - 2a \geq 0$即可，解得$a \leq 1$，所以$a = 1$满足题意. (16分)
综上所述，实数$a$的取值范围为$[0, 1]$. (17分)