《2025年周末C计划高中数学必修第一册人教版》

9. (2025 湖南长沙月考)一块电路板的$AB$线路上有 100 个串联的焊接点，若知道电路不通的原因是焊接点脱落，要想借助万用表，利用二分法的思想检测出是第几个焊接点脱落，则最多需要检测7次.

答案： 9.答案 7
解析 第一次，可去掉50个焊接点，从剩余的50个中继续采用二分法检测；
第二次，可去掉25个焊接点，从剩余的25个中继续采用二分法检测；
第三次，可去掉12个或13个焊接点，考虑最多的情况，所以去掉12个焊接点，从剩余的13个中继续采用二分法检测；
第四次，可去掉6个或7个焊接点，考虑最多的情况，所以去掉6个焊接点，从剩余的7个中继续采用二分法检测；
第五次，可去掉3个或4个焊接点，考虑最多的情况，所以去掉3个焊接点，从剩余的4个中继续采用二分法检测；
第六次，可去掉2个焊接点，从剩余的2个中继续采用二分法检测；
第七次，可去掉1个焊接点，得到最终结果.
所以利用二分法的思想，最多需要检测7次.

10. (2024 全国高中数学联赛北京赛区预赛)已知函数$f(x) = \begin{cases}x + 2,x ＜ 0,\\\ln(\frac{1}{2}x + 1),x \geq 0.\end{cases}$若关于$x$的方程$f(f(x)) = m$恰有三个不相等的实数根$x_{1},x_{2},x_{3}$，且满足$x_{1} ＜ x_{2} ＜ x_{3}$，则$\frac{2x_{1} + 9}{\ln(x_{2} + 4)}$的取值范围是______.

答案：
10.答案 $\left[\frac{1}{\ln 2}, 1 + \frac{1}{2\ln 2}\right)$
解析 当$x ＜ -2$时，$x + 2 ＜ 0$，则$f(f(x)) = x + 2 + 2 = x + 4$；
当$-2 \leq x ＜ 0$时，$0 \leq x + 2 ＜ 2$，则$f(f(x)) = \ln \left[\frac{1}{2}(x + 2) + 1\right] = \ln \left(\frac{1}{2}x + 2\right)$；
当$x \geq 0$时，$f(f(x)) = \ln \left[\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1}{2}x + 1\right) + 1\right]$，
即$f(f(x)) = \begin{cases} x + 4, & x ＜ -2, \\ \ln \left(\frac{1}{2}x + 2\right), & -2 \leq x ＜ 0, \\ \ln \left[\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1}{2}x + 1\right) + 1\right], & x \geq 0. \end{cases}$
方程$f(f(x)) = m$恰有三个不相等的实数根等价于直线$y = m$与函数$y = f(f(x))$的图象有三个交点.
在同一坐标系内画出$y = f(f(x))$的图象和直线$y = m$，如图所示，

由图可知，$0 \leq m ＜ \ln 2$，$x_1 + 4 = m$且$\ln \left(\frac{1}{2}x_2 + 2\right) = m$，则$x_1 = m - 4$，$\ln(x_2 + 4) = m + \ln 2$，
所以$\frac{2x_1 + 9}{\ln(x_2 + 4)} = \frac{2m + 1}{m + \ln 2} = 2\left(1 - \frac{\ln 2 - \frac{1}{2}}{m + \ln 2}\right)$
设$h(m) = 2\left(1 - \frac{\ln 2 - \frac{1}{2}}{m + \ln 2}\right)$，
易知其在$[0, \ln 2)$上单调递增，
因此$\frac{2x_1 + 9}{\ln(x_2 + 4)}$的取值范围是$\left[\frac{1}{\ln 2}, 1 + \frac{1}{2\ln 2}\right)$.

11. (15 分)(2025 湖北荆、荆、襄、宜四地七校联盟期中)已知函数$f(x) = \log_{2}(2^{x} + 1)$，$g(x) = \begin{cases}(\frac{1}{9})^{x + 1},x ＜ 0,\\\log_{2}(4^{x} + 1),x \geq 0.\end{cases}$
(1)若$f(1) = m,f(2) = n$，用$m,n$表示$\log_{2}12$和$\log_{3}15$；
(2)求不等式$g(x) ＜ 3$的解集；
(3)若$\forall x \in [0,2]$，都有$g(x) - f(x) - t ＞ 0$成立，求实数$t$的取值范围.

答案： 11.解析
(1)因为$f(x) = \log_2(2^x + 1)$，
所以$m = f(1) = \log_2 3$，$n = f(2) = \log_2 5$，
所以$\log_2 12 = \log_2 3 + \log_2 4 = m + 2$，
$\log_3 15 = \log_3 3 + \log_3 5 = 1 + \frac{\log_2 5}{\log_2 3} = 1 + \frac{n}{m}$
(3分)
(2)当$x ＜ 0$时，由$\left(\frac{1}{9}\right)^x ＜ 3$，得$\left(\frac{1}{9}\right)^x = \left(\frac{1}{3}\right)^{2x}$，则$\left(\frac{1}{3}\right)^{2x} ＜ \left(\frac{1}{3}\right)^{-\frac{1}{2}}$，
因为函数$y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$在$\mathbf{R}$上单调递减，所以$2x ＞ -\frac{1}{2}$，解得$x ＞ -\frac{1}{4}$，所以$-\frac{1}{4} ＜ x ＜ 0$；
当$x \geq 0$时，由$\log_2(4^x + 1) ＜ 3 = \log_2 8$，得$4^x + 1 ＜ 8$，解得$x ＜ \log_4 7$，所以$0 \leq x ＜ \log_4 7$.
综上，不等式$g(x) ＜ 3$的解集为$\left(-\frac{1}{4}, \log_4 7\right)$
(8分)
(3)因为$x \in [0, 2]$，所以$g(x) = \log_2(4^x + 1)$.
设$h(x) = g(x) - f(x)$，则$h(x) = \log_2(4^x + 1) - \log_2(2^x + 1) = \log_2 \frac{4^x + 1}{2^x + 1}$.
令$a = 2^x + 1$，则$a \in [2, 5]$，$4^x + 1 = (2^x)^2 + 1 = (a - 1)^2 + 1 = a^2 - 2a + 2$，所以$y = \log_2 \frac{a^2 - 2a + 2}{a} = \log_2 \left(a + \frac{2}{a} - 2\right)$.
因为$a \in [2, 5]$，所以$a + \frac{2}{a} - 2 \in \left[1, \frac{17}{5}\right]$，故$\log_2 \left(a + \frac{2}{a} - 2\right) \in \left[0, \log_2 \frac{17}{5}\right]$，即$h(x) \in \left[0, \log_2 \frac{17}{5}\right]$.
因为$\forall x \in [0, 2]$，都有$g(x) - f(x) - t ＞ 0$成立，所以$t ＜ h(x)_{\min}$，故$t ＜ 0$，所以实数$t$的取值范围为$(-\infty, 0)$.
(15分)

12. (17 分)(2025 浙江强基联盟月考)定义：如果函数$y = f(x)$在区间$[a,b]$上有定义，且在区间$(a,b)$内存在一点$c$，使得$f(b) - f(a) = f(c)(b - a)$，那么称$c$为函数$y = f(x)$的“偏移中值点”.已知函数$f(x) = 2mx^{2} - \frac{1}{2}x + 1(m \in \mathbf{R},x \in [-1,1])$.
(1)当$m = 0$时，判断函数$y = f(x)$是否有“偏移中值点”，如果有，求出“偏移中值点”；如果没有，请说明理由；
(2)若$\frac{1}{2}$是函数$y = f(x)$的“偏移中值点”，求$f(-1) + f(1)$的值；
(3)若函数$y = f(x)$存在“偏移中值点”，求$f(-\frac{1}{2}) + f(\frac{1}{2})$的取值范围.

答案： 12.解析
(1)当$m = 0$时，$f(x) = -\frac{1}{2}x + 1$，$x \in [-1, 1]$.
假设$y = f(x)$有“偏移中值点”$c$，
则$f(1) - f(-1) = 2f(c)$，即$-1 = -c + 2$，
解得$c = 3 \notin (-1, 1)$，所以$y = f(x)$没有“偏移中值点”.
(3分)
(2)因为$\frac{1}{2}$是$y = f(x)$的“偏移中值点”，所以$f(1) - f(-1) = 2f\left(\frac{1}{2}\right)$，即$-1 = 2\left(\frac{m}{2} + \frac{3}{4}\right)$，解得$m = -\frac{5}{2}$，
所以$f(x) = -5x^2 - \frac{1}{2}x + 1$，
所以$f(-1) = -\frac{7}{2}$，$f(1) = -\frac{9}{2}$，所以$f(-1) + f(1) = -8$.
(7分)
(3)设$y = f(x)$的“偏移中值点”为$c_0$，则$f(1) - f(-1) = 2f(c_0)$，即方程$-1 = 2\left(2mc_0^2 - \frac{1}{2}c_0 + 1\right)$在$c_0 \in (-1, 1)$上有解，
即$4mc_0^2 = c_0 - 3$在$c_0 \in (-1, 1)$上有解.
由
(1)知$m \neq 0$，所以只需方程$\frac{1}{4m} = \frac{c_0^2}{c_0 - 3}$在$c_0 \in (-1, 1)$上有解.
令$c_0 - 3 = t$，易知$c_0 \in (-1, 1)$且$c_0 \neq 0$，则$-4 ＜ t ＜ -2$且$t \neq -3$，
设$g(t) = t + \frac{9}{t} + 6$ $(-4 ＜ t ＜ -2$且$t \neq -3)$.
易知$g(t)$在区间$(-4, -3)$上单调递增，在区间$(-3, -2)$上单调递减，
又$g(-3) = 0$，$g(-4) = -\frac{1}{4}$，$g(-2) = -\frac{1}{2}$
所以$g(t) \in \left(-\frac{1}{2}, 0\right)$，
所以$-\frac{1}{2} ＜ \frac{1}{4m} ＜ 0$，解得$m ＜ -\frac{1}{2}$，
(15分)
因此$f\left(-\frac{1}{2}\right) + f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{m}{2} + \frac{5}{4} + \frac{m}{2} + \frac{3}{4} = m + 2 ＜ -\frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}$，
故$f\left(-\frac{1}{2}\right) + f\left(\frac{1}{2}\right)$的取值范围为$\left(-\infty, \frac{3}{2}\right)$.
(17分)