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2025年周末C计划高中数学必修第一册人教版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年周末C计划高中数学必修第一册人教版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
13. (13 分)(2024 四川内江部分学校期末)已知$a+\log_{2}20-\log_{2}5=\sqrt{(-3)^{2}}×8^{\frac{2}{3}}-9^{2}×81^{-\frac{3}{4}}-(\lg5)^{0}$，$b=\log_{7}(49^{b}-12)$。
(1) 求$a$，$b$的值；
(2) 若$(a + 1)^{c}=3$，用$b$，$c$表示$\log_{49}18$。
(1) 求$a$，$b$的值；
(2) 若$(a + 1)^{c}=3$，用$b$，$c$表示$\log_{49}18$。
答案：
13.解析
(1) 因为 $a + \log_2 20 - \log_2 5 = \sqrt{(-3)^2 × 8^{\frac{1}{3}} - 9^2 × 81^{-\frac{1}{4}} - (\lg 5)^0}$，所以 $a + \log_2 \frac{20}{5} = 3 × (2^3)^{\frac{1}{3}} - 9^2 × 9^{\frac{1}{2} × (-\frac{1}{4})} - 1$，所以 $a + 2 = 12 - 9^{\frac{1}{2}} - 1$，所以 $a + 2 = 8$，所以 $a = 6$。(4 分)
(2) 因为 $b = \log_7 (49^b - 12)$，所以 $7^b = (7^b)^2 - 12$，即 $(7^b - 4)(7^b + 3) = 0$，解得 $7^b = 4$ 或 $7^b = -3$ (舍去)，故 $b = \log_7 4$。(8 分)
(3) 由
(1)知，$a = 6$, $b = \log_7 4$，所以 $7^c = 3$，所以 $c = \log_7 3$，所以 $\log_{49} 18 = \log_{7^2} (3^2 × 2) = \log_7 3 + \frac{1}{2} \log_7 2 = \log_7 3 + \frac{1}{4} \log_7 4 = c + \frac{1}{4} b$。(13 分)
(1) 因为 $a + \log_2 20 - \log_2 5 = \sqrt{(-3)^2 × 8^{\frac{1}{3}} - 9^2 × 81^{-\frac{1}{4}} - (\lg 5)^0}$，所以 $a + \log_2 \frac{20}{5} = 3 × (2^3)^{\frac{1}{3}} - 9^2 × 9^{\frac{1}{2} × (-\frac{1}{4})} - 1$，所以 $a + 2 = 12 - 9^{\frac{1}{2}} - 1$，所以 $a + 2 = 8$，所以 $a = 6$。(4 分)
(2) 因为 $b = \log_7 (49^b - 12)$，所以 $7^b = (7^b)^2 - 12$，即 $(7^b - 4)(7^b + 3) = 0$，解得 $7^b = 4$ 或 $7^b = -3$ (舍去)，故 $b = \log_7 4$。(8 分)
(3) 由
(1)知，$a = 6$, $b = \log_7 4$，所以 $7^c = 3$，所以 $c = \log_7 3$，所以 $\log_{49} 18 = \log_{7^2} (3^2 × 2) = \log_7 3 + \frac{1}{2} \log_7 2 = \log_7 3 + \frac{1}{4} \log_7 4 = c + \frac{1}{4} b$。(13 分)
14. (15 分)(2025 黑龙江大庆第一中学期中)已知函数$f(x)=1-\frac{2}{2^{x}+1}$。
(1) 判断函数$f(x)$的奇偶性；
(2) 若$x\in[-1,1]$，求$f(x)$的值域；
(3) 若对任意的$x\in[-1,1]$，不等式$f(x)\leqslant2^{x}+a$恒成立，求实数$a$的取值范围。
(1) 判断函数$f(x)$的奇偶性；
(2) 若$x\in[-1,1]$，求$f(x)$的值域；
(3) 若对任意的$x\in[-1,1]$，不等式$f(x)\leqslant2^{x}+a$恒成立，求实数$a$的取值范围。
答案：
14.解析
(1) $f(x) = 1 - \frac{2}{2^x + 1} = \frac{2^x + 1 - 2}{2^x + 1} = \frac{2^x - 1}{2^x + 1}$，其定义域为 $\mathbf{R}$，又 $f(-x) = \frac{2^{-x} - 1}{2^{-x} + 1} = \frac{1 - 2^x}{1 + 2^x} = -f(x)$，所以 $f(x)$ 是奇函数。(3 分)
(2) 因为 $y = 2^x + 1$ 是 $\mathbf{R}$ 上的增函数，且 $y ＞ 1$ 恒成立，所以 $y = \frac{2}{2^x + 1}$ 是 $\mathbf{R}$ 上的减函数，所以 $f(x) = 1 - \frac{2}{2^x + 1}$ 在 $[-1, 1]$ 上单调递增。(5 分)
所以 $f(x)_{min} = f(-1) = -\frac{1}{3}$, $f(x)_{max} = f(1) = \frac{1}{3}$，所以当 $x \in [-1, 1]$ 时，$f(x)$ 的值域为 $[-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$。(8 分)
(3) 对任意的 $x \in [-1, 1]$，不等式 $f(x) \leq 2^x + a$ 恒成立，即 $a \geq f(x) - 2^x$ 在 $[-1, 1]$ 上恒成立，分离参数，故 $a \geq [f(x) - 2^x]_{max}$, $x \in [-1, 1]$。(10 分)
易知 $f(x) - 2^x = 1 - \frac{2}{2^x + 1} - 2^x = 2 - \frac{2}{2^x + 1} - (2^x + 1)$。令 $t = 2^x + 1$, $x \in [-1, 1]$，则 $t \in [\frac{3}{2}, 3]$，问题转化为 $a \geq (2 - \frac{2}{t} - t)_{max}$, $t \in [\frac{3}{2}, 3]$。由对勾函数的性质得 $y = \frac{2}{t} + t$ 在 $[\frac{3}{2}, 3]$ 上单调递增，所以 $y = 2 - \frac{2}{t} - t$ 在 $[\frac{3}{2}, 3]$ 上单调递减，所以 $y = 2 - \frac{2}{t} - t$ 在 $[\frac{3}{2}, 3]$ 上的最大值为 $2 - \frac{4}{3} - \frac{3}{2} = -\frac{5}{6}$，所以 $a \geq -\frac{5}{6}$，即实数 $a$ 的取值范围为 $[-\frac{5}{6}, +\infty)$。(15 分)
(1) $f(x) = 1 - \frac{2}{2^x + 1} = \frac{2^x + 1 - 2}{2^x + 1} = \frac{2^x - 1}{2^x + 1}$，其定义域为 $\mathbf{R}$，又 $f(-x) = \frac{2^{-x} - 1}{2^{-x} + 1} = \frac{1 - 2^x}{1 + 2^x} = -f(x)$，所以 $f(x)$ 是奇函数。(3 分)
(2) 因为 $y = 2^x + 1$ 是 $\mathbf{R}$ 上的增函数，且 $y ＞ 1$ 恒成立，所以 $y = \frac{2}{2^x + 1}$ 是 $\mathbf{R}$ 上的减函数，所以 $f(x) = 1 - \frac{2}{2^x + 1}$ 在 $[-1, 1]$ 上单调递增。(5 分)
所以 $f(x)_{min} = f(-1) = -\frac{1}{3}$, $f(x)_{max} = f(1) = \frac{1}{3}$，所以当 $x \in [-1, 1]$ 时，$f(x)$ 的值域为 $[-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$。(8 分)
(3) 对任意的 $x \in [-1, 1]$，不等式 $f(x) \leq 2^x + a$ 恒成立，即 $a \geq f(x) - 2^x$ 在 $[-1, 1]$ 上恒成立，分离参数，故 $a \geq [f(x) - 2^x]_{max}$, $x \in [-1, 1]$。(10 分)
易知 $f(x) - 2^x = 1 - \frac{2}{2^x + 1} - 2^x = 2 - \frac{2}{2^x + 1} - (2^x + 1)$。令 $t = 2^x + 1$, $x \in [-1, 1]$，则 $t \in [\frac{3}{2}, 3]$，问题转化为 $a \geq (2 - \frac{2}{t} - t)_{max}$, $t \in [\frac{3}{2}, 3]$。由对勾函数的性质得 $y = \frac{2}{t} + t$ 在 $[\frac{3}{2}, 3]$ 上单调递增，所以 $y = 2 - \frac{2}{t} - t$ 在 $[\frac{3}{2}, 3]$ 上单调递减，所以 $y = 2 - \frac{2}{t} - t$ 在 $[\frac{3}{2}, 3]$ 上的最大值为 $2 - \frac{4}{3} - \frac{3}{2} = -\frac{5}{6}$，所以 $a \geq -\frac{5}{6}$，即实数 $a$ 的取值范围为 $[-\frac{5}{6}, +\infty)$。(15 分)
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