《2025年周末C计划高中数学必修第一册人教版》

12. (13 分) (2025 湖南三湘名校联盟期中) 已知函数 $ f(x) = \ln(x^{2} - 2x) $.
(1) 求 $ f(x) $ 的定义域；
(2) 证明：曲线 $ y = f(x) $ 关于直线 $ x = 1 $ 对称；
(3) 若 $ f(2a + 1) ＞ f(a + 4) $，求 $ a $ 的取值范围.

答案： 12.解析
(1)由$x^{2}-2x＞0$，得$x ＜ 0$或$x ＞ 2$，故$f(x)$的定义域为$(-\infty,0)\cup(2,+\infty)$.
(2)证明：因为$f(x)=\ln(x^{2}-2x)=\ln[x(x - 2)]$，所以$f(x + 1)=\ln[(x + 1)(x - 1)]$，
又$f(-x + 1)=\ln[(-x + 1)(-x - 1)]=\ln[(x + 1)(x - 1)]$，
所以$f(1 - x)=f(1 + x)$，
若$f(a + x)=f(a - x)$，则$f(x)$的图象关于直线$x = a$对称，即曲线$y = f(x)$关于直线$x = 1$对称.
(3)解法一：因为$f(2a + 1)＞f(a + 4)$，
所以$\ln[(2a + 1)^{2}-2(2a + 1)]＞\ln[(a + 4)^{2}-2(a + 4)]$，
借助对数函数单调性“脱去”对数符号，同时注意真数大于零
所以$\begin{cases}(2a + 1)^{2}-2(2a + 1)＞(a + 4)^{2}-2(a + 4)\\(a + 4)^{2}-2(a + 4)＞0\end{cases}$，
即$\begin{cases}a^{2}-2a - 3＞0\\a^{2}+6a + 8＞0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a ＞ 3或a ＜ - 1\\a ＞ - 2或a ＜ - 4\end{cases}$，
故$a$的取值范围为$(-\infty,-4)\cup(-2,-1)\cup(3,+\infty)$.
解法二：函数$y = x^{2}-2x$在$(-\infty,1)$上单调递减，在$(1,+\infty)$上单调递增，且$y = \ln x$在$(0,+\infty)$上单调递增，故由复合函数的单调性，结合$f(x)$的定义域知$f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递减，在$(2,+\infty)$上单调递增，
由
(2)知，曲线$y = f(x)$关于直线$x = 1$对称，
要使$f(2a + 1)＞f(a + 4)$，
需满足$\begin{cases}|(2a + 1)-1|＞|(a + 4)-1|\\2a + 1 ＜ 0或2a + 1 ＞ 2\\a + 4 ＜ 0或a + 4 ＞ 2\end{cases}$，
解得$\begin{cases}a ＜ - 1或a ＞ 3\\a ＜ -\frac{1}{2}或a ＞ \frac{1}{2}\\a ＜ - 4或a ＞ - 2\end{cases}$，
所以$a$的取值范围为$(-\infty,-4)\cup(-2,-1)\cup(3,+\infty)$.

13. (15 分) (2025 四川绵阳期末教学质量测试) 某工厂生产 $ A, B $ 两种产品，$ A $ 产品的利润 $ u(x) $（单位：万元）与投入金额 $ x $（单位：万元）的关系式为 $ u(x) = mx + \log_{2}\sqrt{x + 1}(x \geq 0) $；$ B $ 产品的利润 $ v(x) $（单位：万元）与投入金额 $ x $（单位：万元）的关系式为 $ v(x) = 2x - \log_{2}(64 - x) + n(0 \leq x ＜ 64) $. 已知投入 3 万元生产 $ A $ 产品时可获利润为 7 万元，投入 32 万元生产 $ B $ 产品时可获利润为 65 万元.
(1) 求实数 $ m, n $ 的值；
(2) 该企业现有 47 万元资金全部用来投入 $ A, B $ 两种产品的生产，怎样分配资金，才能使企业获得最大利润？请求出最大利润.

答案： 13.解析
(1)$\because u(x)=mx+\log_{2}\sqrt{x + 1}(x\geq0)$，$u(3)=7$，$\therefore3m+\log_{2}\sqrt{3 + 1}=7$，解得$m = 2$.
$\because v(x)=2x-\log_{2}(64 - x)+n(0\leq x ＜ 64)$，$v(32)=65$，$\therefore64-\log_{2}(64 - 32)+n=65$，解得$n = 6$.
(2)设投入$x$万元生产$A$产品，投入$(47 - x)$万元生产$B$产品，企业获得的利润为$t(x)$万元，
由
(1)得$u(x)=2x+\log_{2}\sqrt{x + 1}$，$v(x)=2x-\log_{2}(64 - x)+6$，
$\therefore t(x)=u(x)+v(47 - x)=2x+\log_{2}\sqrt{x + 1}+2(47 - x)-\log_{2}(17 + x)+6=\log_{2}\sqrt{x + 1}-\log_{2}(17 + x)+100=\log_{2}\frac{\sqrt{x + 1}}{17 + x}+100=\log_{2}\frac{1}{\sqrt{x + 1}+\frac{16}{\sqrt{x + 1}}}+100$，$0\leq x\leq47$.
$\because\sqrt{x + 1}+\frac{16}{\sqrt{x + 1}}\geq2\sqrt{16}=8$，
$\therefore t(x)=\log_{2}\frac{1}{\sqrt{x + 1}+\frac{16}{\sqrt{x + 1}}}+100\leq100-\log_{2}8=97$，当且仅当$\sqrt{x + 1}=\frac{16}{\sqrt{x + 1}}$，即$x = 15$时等号成立.
$\therefore$当投入15万元生产$A$产品，投入32万元生产$B$产品时，企业获得的利润最大，最大利润为97万元.