《2025年周末C计划高中数学必修第一册人教版》

1. (2025广东广州番禺中学月考)下列说法中正确的是（B）
A.$\varnothing$与$\{0\}$表示同一个集合
B.已知集合$M=\{3,4\}$,$N=\{4,3\}$,则$M=N$
C.方程$(x - 1)^2(x - 2)=0$的所有解的集合可表示为$\{1,1,2\}$
D.集合$\{x\in\mathbf{R}|4\lt x\lt5\}$的补集可以用列举法表示

答案： 1.B 对于选项A，$\varnothing$是不含任何元素的集合，$\{0\}$是仅含一个元素0的集合，所以$\varnothing$与$\{0\}$表示不同的集合，故A错误；对于选项B，根据集合中元素的无序性可知，集合$M=\{3,4\}$与$N = \{4,3\}$是相等集合，故B正确；对于选项C，方程$(x - 1)^2(x - 2)=0$的解为1,2，根据集合中元素的互异性可知，方程$(x - 1)^2(x - 2)=0$的所有解的集合可表示为$\{1,2\}$，故C错误；对于选项D，集合$\{x\in\mathbf{R}\mid4＜x＜5\}$的补集为$\{x\in\mathbf{R}\mid x\leq4或x\geq5\}$，该集合为无限集，其元素无法逐一列举，故D错误。
易错警示
1.$\varnothing$表示不含任何元素的集合，与$\{0\}$、$\{\varnothing\}$都不同；
2.在用列举法写出某集合时，应注意集合中元素的三个特性：确定性、互异性和无序性；
3.当元素个数少或者元素个数多但是有某种规律时可以用列举法表示对应集合。

2. (2025福建三明第二中学月考)已知全集$U=\mathbf{R}$,集合$A=\{y|y=x^2 + 1\}$,$B=\{x|(x - 2)(x + 2)\lt0\}$,则阴影部分表示的集合为（B）

A.$\{x|-2\leqslant x\leqslant1\}$
B.$\{x|-2\lt x\lt1\}$
C.$\{x|-2\lt x\leqslant1\}$
D.$\{x|-2\leqslant x\lt1\}$

答案： 2.B 解法一：易知题图中阴影部分表示的集合为$(\complement_{U}A)\cap B$。因为$A = \{y\mid y = x^2 + 1\}=\{y\mid y\geq1\}$，所以$\complement_{U}A = \{y\mid y＜1\}$。由$(x - 2)(x + 2)＜0$，解得$-2＜x＜2$，所以$B = \{x\mid(x - 2)(x + 2)＜0\}=\{x\mid - 2＜x＜2\}$，所以$(\complement_{U}A)\cap B = \{x\mid - 2＜x＜1\}$。解法二：易知题图中阴影部分表示的集合为$\complement_{B}(A\cap B)$。易得$A = \{y\mid y = x^2 + 1\}=\{y\mid y\geq1\}$。由$(x - 2)(x + 2)＜0$，解得$-2＜x＜2$，所以$B = \{x\mid(x - 2)(x + 2)＜0\}=\{x\mid - 2＜x＜2\}$，所以$A\cap B = \{x\mid1\leq x＜2\}$，则$\complement_{B}(A\cap B)=\{x\mid - 2＜x＜1\}$。

3. (2025广东珠海第一中学月考)满足$\{1,2\}\subseteq A\subsetneqq\{1,2,3,4,5\}$的集合$A$的个数为（B）
A.6
B.7
C.8
D.15

答案： 3.B 因为集合$A$满足$\{1,2\}\subseteq A\subsetneqq\{1,2,3,4,5\}$，所以$A$中必有元素1,2，可以有元素3,4,5，但不能同时有3,4,5，故满足条件的集合$A$有$\{1,2\}$，$\{1,2,3\}$，$\{1,2,4\}$，$\{1,2,5\}$，$\{1,2,3,4\}$，$\{1,2,3,5\}$，$\{1,2,4,5\}$，共7个。
名师指点
1.假设集合$A$中含有$n(n\in\mathbf{N}^*)$个元素，则：
(1)$A$的子集的个数是$2^n$；
(2)$A$的非空子集的个数是$2^n - 1$；
(3)$A$的真子集的个数是$2^n - 1$；
(4)$A$的非空真子集的个数是$2^n - 2$。
2.设有限集$A$，$B$中分别含有$m$，$n$个元素$(m,n\in\mathbf{N}^*,m\leq n)$，且$A\subsetneqq B$，则符合条件的有限集$C$的个数为$2^{n - m}$。

4. (2025陕西西安高新一中模拟)若全集$U=\mathbf{N}$,集合$A=\{x|x = 2k,k\in\mathbf{N}\}$,$B=\{x|x = 4k,k\in\mathbf{N}\}$,则（C）
A.$A\cap B = A$
B.$A\cap(\complement_UB)=\varnothing$
C.$A\cup(\complement_UB)=U$
D.$(\complement_UA)\cup(\complement_UB)=U$

答案： 4.C $A$中，对于$A = \{x\mid x = 2k,k\in\mathbf{N}\}$，当$k$是偶数时，令$k = 2n,n\in\mathbf{N}$，则$A = \{x\mid x = 4n,n\in\mathbf{N}\}$，当$k$是奇数时，令$k = 2n - 1,n\in\mathbf{N}^*$，则$A = \{x\mid x = 4n - 2,n\in\mathbf{N}^*\}$，所以$B\subsetneqq A$，所以$A\cap B = B$，故A错误；$B$中，因为集合$B$表示能被4整除的非负整数构成的集合，$U = \mathbf{N}$，所以$\complement_{U}B$表示自然数中除去能被4整除的数的集合，又集合$A$表示非负偶数构成的集合，所以$A\cap(\complement_{U}B)\neq\varnothing$，故B错误；$C$中，由$A$知$B\subsetneqq A$，所以$A\cup(\complement_{U}B)=U$，故C正确；$D$中，因为$\complement_{U}A$中不含偶数，$\complement_{U}B$中不含能被4整除的自然数，所以$(\complement_{U}A)\cup(\complement_{U}B)$中不含能被4整除的自然数，故D错误。

5. (2025湖北黄石教学质量检测)设集合$A=\{1,a,b\}$,$B=\{a,a^2,ab\}$,若$A = B$,则$a^{2023}-b^{2023}$的值为（-1）
A.-2
B.2
C.-1
D.1

答案： 5.C 若$A = B$，由集合中元素的互异性知$a\neq1$，则$a^2 = 1$或$ab = 1$。若$a^2 = 1$，解得$a = 1$（舍去）或$a = - 1$，当$a = - 1$时，$A = \{1,a,b\}=\{1, - 1,b\}$，$B = \{a,a^2,ab\}=\{ - 1,1, - b\}$，由$A = B$得$b = - b$，解得$b = 0$，所以$a^{2023}-b^{2023}=(-1)^{2023}-0^{2023}=-1$；若$ab = 1$，则集合$A = \{1,a,b\}$，$B = \{a,a^2,ab\}=\{a,a^2,1\}$，由$A = B$得$b = a^2$，又$b=\frac{1}{a}$，所以$a^2=\frac{1}{a}$，解得$a = 1$，不满足题意。综上，$a^{2023}-b^{2023}=-1$。

6. (2025江西多校联考)已知集合$A=\{m+\sqrt{5}n|m\in\mathbf{Z},n\in\mathbf{N}\}$,$B=\{m-\sqrt{5}n|m\in\mathbf{Z},n\in\mathbf{N}\}$,则下列说法错误的是（B）
A.$A\cap B\neq\varnothing$
B.若$a\in A$,$b\in B$,则$a + b\in B$
C.若$a\in A$,$b\in A$,则$a + b\in A$
D.若$a\in A$,$b\in B$,则$ab\in(A\cup B)$

答案： 6.B 对于A，当$n = 0$时，$m+\sqrt{5}n=m-\sqrt{5}n$，则$A\cap B\neq\varnothing$，故A中说法正确。对于B，设$a = m_1+\sqrt{5}n_1$，$b = m_2-\sqrt{5}n_2$，$m_1,m_2\in\mathbf{Z}$，$n_1,n_2\in\mathbf{N}$，则$a + b = m_1 + m_2+\sqrt{5}(n_1 - n_2)=m_1 + m_2-\sqrt{5}(n_2 - n_1)$，$m_1 + m_2\in\mathbf{Z}$，$n_2 - n_1$不一定属于$\mathbf{N}$，故B中说法错误。对于C，设$a = m_1'+\sqrt{5}n_1'$，$b = m_2'+\sqrt{5}n_2'$，$m_1',m_2'\in\mathbf{Z}$，$n_1',n_2'\in\mathbf{N}$，则$a + b = m_1'+m_2'+\sqrt{5}(n_1'+n_2')$，易知$m_1'+m_2'\in\mathbf{Z}$，$n_1'+n_2'\in\mathbf{N}$，所以$a + b\in A$，故C中说法正确。对于D，由B可得，$ab = m_1m_2 - 5n_1n_2+\sqrt{5}(m_2n_1 - m_1n_2)$，因为$m_1,m_2\in\mathbf{Z}$，$n_1,n_2\in\mathbf{N}$，所以$m_1m_2 - 5n_1n_2\in\mathbf{Z}$，$m_2n_1 - m_1n_2\in\mathbf{Z}$，所以$ab\in(A\cup B)$，故D中说法正确。

7. (2025山东青岛四区期初调研)设集合$S=\{1,2,·s,10\}$,$A$是$S$的一个子集.若对任意$a_i,a_j\in A(a_i\neq a_j)$总有$|a_i - a_j|\notin A$,则$A$中元素个数的最大值是（5）
A.5
B.6
C.7
D.8

答案： 7.A 因为$A$是$S = \{1,2,·s,10\}$的一个子集，所以不妨记$A = \{a_1,a_2,·s,a_n\}$，其中$a_1,a_2,·s,a_n$是1~10的自然数，易知奇数 - 奇数 = 偶数，偶数 - 偶数 = 偶数，奇数 - 偶数 = 奇数，所以若对任意$a_i,a_j\in A(a_i\neq a_j)$总有$\mid a_i - a_j\mid\notin A$，且要使$A$中元素最多，则集合$A$包含1~10的所有奇数即可，即$A = \{1,3,5,7,9\}$，故集合$A$中元素个数的最大值为5。

8. (2025河南豫北六校联考)已知全集$U=\{x||x|\lt4,x\in\mathbf{Z}\}$,集合$M=\{-1,2,a^2\}$,$N=\{-1,1,2,a\}$,$P=\{-3,-1,2,3\}$,若$M\subseteq N$,则（BCD）
A.$a$的取值有3个
B.$M\cap P=\{-1,2\}$
C.$P\cup N=\{-3,-1,0,1,2,3\}$
D.$(\complement_UM)\cap(\complement_UP)$的子集的个数为4

答案： 8.BCD 对于A，因为$M = \{ - 1,2,a^2\}$，$N = \{ - 1,1,2,a\}$，且$M\subseteq N$，所以$a^2 = 1$或$a^2 = a$，又$a\neq\pm1$且$a\neq2$，所以$a = 0$，故A错误；对于B，$M = \{ - 1,2,0\}$，所以$M\cap P = \{ - 1,2\}$，故B正确；对于C，$N = \{ - 1,1,2,0\}$，所以$P\cup N = \{ - 3, - 1,0,1,2,3\}$，故C正确；对于D，$U = \{x\mid\mid x\mid＜4,x\in\mathbf{Z}\}=\{x\mid - 4＜x＜4,x\in\mathbf{Z}\}=\{ - 3, - 2, - 1,0,1,2,3\}$，所以$\complement_{U}M = \{ - 3, - 2,1,3\}$，$\complement_{U}P = \{ - 2,0,1\}$，所以$(\complement_{U}M)\cap(\complement_{U}P)=\{ - 2,1\}$，所以$(\complement_{U}M)\cap(\complement_{U}P)$的子集的个数为$2^2 = 4$，故D正确。

9. (2025福建福州十校期中)已知全集$U=\{x|x\lt10,x\in\mathbf{N}\}$,$A\subseteq U$,$B\subseteq U$,$A\cap(\complement_UB)=\{1,5\}$,$(\complement_UA)\cap(\complement_UB)=\{3,7,9\}$,$A\cap B=\{4\}$,则下列选项正确的是（ ）

A.$8\notin B$
B.$\{5\}\subseteq A$
C.$7\in\complement_U(A\cup B)$
D.$A$的真子集的个数为8

答案：
9.BC 因为$U = \{x\mid x＜10,x\in\mathbf{N}\}$，所以$U = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$。因为$A\cap(\complement_{U}B)=\{1,5\}$，所以$1,5\in A$，$1,5\notin B$。因为$(\complement_{U}A)\cap(\complement_{U}B)=\{3,7,9\}$，所以$3,7,9\notin A$，且$3,7,9\notin B$。又$A\cap B = \{4\}$，所以$4\in A$且$4\in B$。
综上，可画出Venn图如下：

由图可知$8\in B$，$\{5\}\subseteq A$，$7\in\complement_{U}(A\cup B)$，故A错误，B，C正确；对于D，$A$中有3个元素，则$A$的真子集的个数为$2^3 - 1 = 7$，故D错误。
知识拓展
德·摩根定律
1.$\complement_{U}(A\cap B)=(\complement_{U}A)\cup(\complement_{U}B)$；
2.$\complement_{U}(A\cup B)=(\complement_{U}A)\cap(\complement_{U}B)$。

10. (2025江苏苏州实验中学月考)设全集为$U$,$A$,$B$是$U$的两个子集,定义集合$T(A,B)=[A\cap(\complement_UB)]\cup[B\cap(\complement_UA)]$,则下列说法正确的是（ABD）
A.$T(A,A)=\varnothing$
B.$T(\varnothing,A)=A$
C.$T(A,U)=A$
D.$T(A,B)=T(B,A)$

答案： 10.ABD 对$T(A,A)$而言，$A\cap(\complement_{U}A)=\varnothing$，所以$T(A,A)=\varnothing$，故A正确；因为$\varnothing\cap(\complement_{U}\varnothing)=\varnothing$，且$A\cap(\complement_{U}\varnothing)=A\cap U = A$，所以$T(\varnothing,A)=\varnothing\cup A = A$，故B正确；因为$A\cap(\complement_{U}U)=\varnothing$，且$U\cap(\complement_{U}A)=\complement_{U}A$，所以$T(A,U)=\complement_{U}A$，故C错误；$T(B,A)=[B\cap(\complement_{U}A)]\cup[A\cap(\complement_{U}B)]=T(A,B)$，故D正确。

11. (2025吉林长春慧泽高中月考)若$A=\{1,2,3\}$,$B=\{x|x = mn,m\in A,n\in A,m\neq n\}$,则集合$B$的非空真子集的个数为6.

答案： 11.答案6
解析 由题意知，当$m = 1,n = 2$或$n = 3$时，$mn = 2$或$mn = 3$；当$m = 2,n = 1$或$n = 3$时，$mn = 2$或$mn = 6$；当$m = 3,n = 1$或$n = 2$时，$mn = 3$或$mn = 6$。综上可知，$B = \{2,3,6\}$，所以集合$B$的非空真子集的个数为$2^3 - 2 = 6$。

12. (2025天津滨海新区期末)某学校举办运动会时,高一(1)班共有28名同学参加比赛,其中有15人参加趣味益智类比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人,同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,则只参加趣味益智类一项比赛的人数为______9,同时参加田径比赛和球类比赛的人数为______3.

答案： 12.答案9;3
解析 解法一：因为参加趣味益智类比赛的总人数为15，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，所以只参加趣味益智类一项比赛的人数为$15 - 3 - 3 = 9$。设同时参加田径比赛和球类比赛的人数为$x$，则只参加田径比赛的人数为$8 - 3 - x = 5 - x$，只参加球类比赛的人数为$14 - 3 - x = 11 - x$，由题意得，$15+(5 - x)+(11 - x)+x = 28$，解得$x = 3$，故同时参加田径比赛和球类比赛的人数为3。
解法二：设参加趣味益智类比赛的同学为集合$A$，参加田径比赛的同学为集合$B$，参加球类比赛的同学为集合$C$，$card(M)$表示有限集$M$中的元素个数，则$card(A)=15$，$card(B)=8$，$card(C)=14$，$card(A\cap B)=3$，$card(A\cap C)=3$，$card(A\cap B\cap C)=0$，所以$card(A)-card(A\cap B)-card(A\cap C)=15 - 3 - 3 = 9$，$card(B\cap C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A\cap B)-card(A\cap C)+card(A\cap B\cap C)-card(A\cup B\cup C)=15 + 8+14 - 3 - 3+0 - 28 = 3$，即只参加趣味益智类一项比赛的人数为9，同时参加田径比赛和球类比赛的人数为3。
知识拓展
容斥原理
用$card(M)$表示有限集$M$中的元素个数，则对任意的有限集$A$，$B$，$C$，结论如下：
1.$card(A\cup B)=card(A)+card(B)-card(A\cap B)$；
2.$card(A\cup B\cup C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A\cap B)-card(A\cap C)-card(B\cap C)+card(A\cap B\cap C)$。