《2025年周末C计划高中数学必修第一册人教版》

13. (2025上海金山期末)集合$A$中的元素都是正整数,最小元素为1,最大元素为100,除1之外每个元素都等于$A$中的两个元素(可以相同)的和,则集合$A$中至少有9个元素.

答案： 13.答案9
解析 设$A$中的元素从小到大排列依次为$1,a_1,a_2,·s,a_k,100$，则$a_1 = 1 + 1 = 2$，$3\leq a_2\leq4$，$4\leq a_3\leq8$，$5\leq a_4\leq16$，$6\leq a_5\leq32$，$7\leq a_6\leq64$，于是$A$中至少有八个元素。假设$A$中恰好有八个元素，由于$a_5 + a_6\leq96＜100$，所以必须有$100 = a_6 + a_6$，则$a_6 = 50$，又$a_4 + a_5\leq48$，所以$a_6 = a_5 + a_5$，则$a_5 = 25$，又$a_3 + a_4\leq24$，所以$a_5 = a_4 + a_4$，此时$a_4 = 12.5$，与集合$A$中的元素都是正整数矛盾，故$A$中不可能恰好有八个元素，因此$A$中至少有九个元素。这九个元素可以为1,2,3,6,12,13,25,50,100，满足题意。

14. (13分)(2025四川眉山期末)已知集合$A=\{1,3,a^2\}$,$B=\{1,a + 2\}$,$C=\{x|m - 1\leqslant x\leqslant2m + 3\}$,且$A\cap B=\{1,a^2\}$.
(1)求实数$a$的值;
(2)若$D=\{x|-a\leqslant x\leqslant2a\}$,$C\cup D = D$,求实数$m$的取值范围.

答案： 14.解析
(1)由$A\cap B = \{1,a^2\}$，得$a^2 = a + 2$，解得$a = 2$或$a = - 1$，当$a = - 1$时，$a^2 = 1$，不符合集合中元素的互异性；当$a = 2$时，符合题意，所以$a = 2$。
(2)由
(1)得，$D = \{x\mid - 2\leq x\leq4\}$，由$C\cup D = D$，得$C\subseteq D$，①若$C = \varnothing$，此时$m - 1＞2m + 3$，即$m＜-4$，符合题意；②若$C\neq\varnothing$，由$C\subseteq D$，得$\begin{cases}m - 1\leq2m + 3,\\m - 1\geq - 2,\\2m + 3\leq4,\end{cases}$解得$-1\leq m\leq\frac{1}{2}$，所以实数$m$的取值范围是$\{m\mid m＜-4或 - 1\leq m\leq\frac{1}{2}\}$
易错警示
由$C\cup D = D$，得$C\subseteq D$，因为空集是任意集合的子集，所以此时应首先考虑$C = \varnothing$的情况。

15. (15分)(2025河北保定高碑店一中月考)设集合$A=\{x|x^2 - 3x + 2 = 0\}$,$B=\{x|x^2 + 2(a + 1)x + a^2 - 5 = 0\}$.
(1)若$A\cap B=\{2\}$,求实数$a$的值;
(2)若集合$B$中有两个元素$x_1,x_2$,求实数$a$的取值范围,并用含$a$的代数式表示$|x_1 - x_2|$;
(3)若$A\cap B = B$,求实数$a$的取值范围.

答案： 15.解析
(1)由题意得$A = \{x\mid x^2 - 3x + 2 = 0\}=\{1,2\}$，因为$A\cap B = \{2\}$，所以$2\in B$，$1\notin B$，所以$2^2+2(a + 1)+a^2 - 5 = 0$，且$1^2+2(a + 1)+a^2 - 5\neq0$，即$a^2 + 4a + 3 = 0$，且$a^2+2a - 2\neq0$，所以$a = - 3$或$a = - 1$。当$a = - 3$时，$B = \{x\mid x^2 - 4x + 4 = 0\}=\{2\}$，满足$A\cap B = \{2\}$；当$a = - 1$时，$B = \{x\mid x^2 - 4 = 0\}=\{ - 2,2\}$，满足$A\cap B = \{2\}$。所以$a = - 3$或$a = - 1$。
(2)因为集合$B$中有两个元素$x_1,x_2$，所以方程$x^2 + 2(a + 1)x + a^2 - 5 = 0$有两个不等的实根，所以$\Delta = 4(a + 1)^2 - 4(a^2 - 5)=8a + 24＞0$，解得$a＞-3$。由根与系数的关系，得$x_1 + x_2 = - 2(a + 1)$，$x_1x_2 = a^2 - 5$，所以$\mid x_1 - x_2\mid=\sqrt{(x_1 - x_2)^2}=\sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2}=\sqrt{4(a + 1)^2 - 4(a^2 - 5)}=\sqrt{8a + 24}$。
(3)因为$A\cap B = B$，所以$B\subseteq A$。又$A = \{1,2\}$，所以$B = \varnothing$或$B = \{1\}$或$B = \{2\}$或$B = \{1,2\}$，当$B = \varnothing$时，$\Delta = 8a + 24＜0$，解得$a＜-3$；当$B = \{1\}$时，$\begin{cases}\Delta = 8a + 24 = 0,\\1^2 + 2(a + 1)+(a^2 - 5)=0,\end{cases}$无解；当$B = \{2\}$时，$\begin{cases}\Delta = 8a + 24 = 0,\\2^2 + 4(a + 1)+a^2 - 5 = 0,\end{cases}$解得$a = - 3$；当$B = \{1,2\}$时，$\begin{cases}1 + 2 = - 2(a + 1),\\1×2 = a^2 - 5,\end{cases}$无解。综上，实数$a$的取值范围为$\{a\mid a\leq - 3\}$。
易错警示
求出参数后一定要记得利用集合中元素的特性进行检验。