《2025年周末C计划高中数学必修第一册人教版》

17.（15 分）某公司为了节约资源，研发了一个从生活垃圾中提炼煤油的项目。该项目的月处理成本 $ y $（元）与月处理量 $ x $（吨）之间的关系可近似地表示为 $ y = \left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } - 80 x ^ { 2 } + 5050 x, 120 \leq x ＜ 150, } \\ { \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - 200 x + 80000, 150 \leq x ＜ 500, } \end{array} \right. $ 每处理一吨生活垃圾，可得到的煤油的价值为 200 元，若该项目不能获利，政府将给予补贴。
（1）当 $ x \in [ 200, 300 ] $ 时，判断该项目能否获利。如果获利，求出最大利润；如果不能获利，那么政府每月最多需要补贴多少元，才能使该项目不亏损？
（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

答案： 17.解析$(1)$设该项目获得的利润为$w$元，则当$x \in [200,300]$时，$w = 200x - \left( - \frac{1}{2}x^2 + 200x + \frac{80000}{x} \right) = - \frac{1}{2}x^2 + 400x - 80000 = - \frac{1}{2}(x - 400)^2$. $(4分)$$\because x \in [200,300]$，$\therefore w ＜ 0$，即该项目不能获利. $(6分)$当$x = 200$时，$w = - 20000$，故政府每月最多需要补贴$20000$元，才能使该项目不亏损. $(8分)$$(2)$当$120 \leqslant x ＜ 150$时，平均处理成本$\frac{y}{x} = \frac{\frac{1}{3}x^3 - 80x^2 + 5050x}{x} = \frac{1}{3}x^2 - 80x + 5050 = \frac{1}{3}(x - 120)^2 + 250$，所以当$x = 120$时，$\frac{y}{x}$取到最小值$250$； $(11分)$当$150 \leqslant x ＜ 500$时，平均处理成本$\frac{y}{x} = \frac{\frac{1}{2}x^2 - 200x + 80000}{x} = \frac{1}{2}x + \frac{80000}{x} - 200 \geqslant 2\sqrt{\frac{1}{2}x · \frac{80000}{x}} - 200 = 200$，当且仅当$\frac{1}{2}x = \frac{80000}{x}$，即$x = 400$时等号成立，此时平均处理成本$\frac{y}{x}$取到最小值$200$. $(14分)$由于$250 ＞ 200$，故该项目每月处理量为$400$吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. $(15分)$

18.（17 分）关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础。两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一。通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题。
例如：已知 $ a $，$ b $ 为正实数，且 $ a + b = 1 $，则 $ \frac { b } { a } + \frac { 1 } { b } $ 的最小值为________。
其解法如下：$ \frac { b } { a } + \frac { 1 } { b } = \frac { b } { a } + \frac { a + b } { b } = \frac { b } { a } + \frac { a } { b } + 1 \geq 2 \sqrt { \frac { b } { a } · \frac { a } { b } } + 1 = 3 $，当且仅当 $ \frac { b } { a } = \frac { a } { b } $，即 $ a = b = \frac { 1 } { 2 } $ 时，等号成立，因此 $ \frac { b } { a } + \frac { 1 } { b } $ 的最小值为 3。
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，它们总是成群生长。”根据上述材料解决以下问题。
（1）已知 $ a $，$ b $，$ c $ 为正实数，且 $ a + b + c = 1 $，求证：$ \frac { 1 } { a + b } + \frac { 1 } { c } \geq 4 $；
（2）已知 $ a ＞ 0 $，$ b ＞ 0 $，且 $ a + b = 1 $，则 $ \frac { 1 } { 4 a } + \frac { 4 a } { 2 a + b } $ 的最小值是多少？
（3）某同学在解决题目“已知 $ x $ 为正实数，$ y $ 为非负实数，且 $ x + 2 y = 2 $，则 $ \frac { x ^ { 2 } + 1 } { x } + \frac { 2 y ^ { 2 } } { y + 1 } $ 的最小值是多少？”时，给出如下解法：
令 $ t = y + 1 ( t \geq 1 ) $，则 $ x + 2 y = 2 $ 化为 $ x + 2 t = 4 $。
$ \frac { x ^ { 2 } + 1 } { x } + \frac { 2 y ^ { 2 } } { y + 1 } = \frac { x ^ { 2 } + 1 } { x } + \frac { 2 ( t - 1 ) ^ { 2 } } { t } = x + \frac { 1 } { x } + 2 \left( t + \frac { 1 } { t } - 2 \right) = ( x + 2 t - 4 ) + \frac { 1 } { x } + \frac { 2 } { t } = \frac { 1 } { x } + \frac { 2 } { t } = \frac { 1 } { 4 } \left( \frac { 1 } { x } + \frac { 2 } { t } \right) ( x + 2 t ) = \frac { 1 } { 4 } \left( 5 + \frac { 2 x } { t } + \frac { 2 t } { x } \right) \geq \frac { 9 } { 4 } $，当且仅当 $ \frac { 2 t } { x } = \frac { 2 x } { t } $，即 $ x = t = \frac { 4 } { 3 } $，即 $ x = \frac { 4 } { 3 } $，$ y = \frac { 1 } { 3 } $ 时，等号成立，因此 $ \frac { x ^ { 2 } + 1 } { x } + \frac { 2 y ^ { 2 } } { y + 1 } $ 的最小值为 $ \frac { 9 } { 4 } $。
利用上述解题思路，解决如下问题：已知 $ a $，$ b \in \mathbf { R } $，$ a + b = 4 $，则 $ \frac { 1 } { a ^ { 2 } + 1 } + \frac { 1 } { b ^ { 2 } + 1 } $ 的最大值是多少？
（1）证明：$\frac{1}{a + b} + \frac{1}{c} = \frac{a + b + c}{a + b} + \frac{a + b + c}{c} - 2 = 2 + \frac{c}{a + b} + \frac{a + b}{c} = 2 + 2\sqrt{\frac{c}{a + b} · \frac{a + b}{c}} = 4$，当且仅当$\frac{c}{a + b} = \frac{a + b}{c}$，即$c = a + b = \frac{1}{2}$时，等号成立，故得证.
（2）$\frac{1}{4a} + \frac{4a}{2a + b}$的最小值是$\frac{7}{4}$
（3）$\frac{1}{a^2 + 1} + \frac{1}{b^2 + 1}$的最大值是$\frac{\sqrt{5} + 2}{4}$

答案： 18.解析$(1)$证明：$\frac{1}{a + b} + \frac{1}{c} = \frac{a + b + c}{a + b} + \frac{a + b + c}{c} - 2 = 2 + \frac{c}{a + b} + \frac{a + b}{c} = 2 + 2\sqrt{\frac{c}{a + b} · \frac{a + b}{c}} = 4$，当且仅当$\frac{c}{a + b} = \frac{a + b}{c}$，即$c = a + b = \frac{1}{2}$时，等号成立，故得证. $(3分)$$(2)\frac{1}{4a} + \frac{4a}{a + 1} + \frac{1}{4a} + \frac{4a}{a + (a + b)} = \frac{a + 1 - a}{4a} + \frac{4a}{a + 1} + \frac{4a}{a + 1} = \frac{1}{4} + \frac{4a}{a + 1} - \frac{7}{4} = \frac{4a}{a + 1} - \frac{3}{2} \geqslant 2 - \frac{7}{4} = \frac{1}{4}$，当且仅当$\frac{a + 1}{4a} = \frac{4a}{a + 1}$，即$a = \frac{1}{3}$，$b = \frac{2}{3}$时，等号成立，则$\frac{1}{4a} + \frac{4a}{2a + b}$的最小值是$\frac{7}{4}$ $(9分)$$(3)\frac{1}{a^2 + 1} + \frac{1}{b^2 + 1} = \frac{a^2 + b^2 + 2}{(a^2 + 1)(b^2 + 1)} = \frac{(a + b)^2 + 2 - 2ab}{(ab)^2 + (a + b)^2 - 2ab + 1} = \frac{(a + b)^2 + 2 - 2ab}{(ab)^2 + (a + b)^2 - 2ab + 1} = \frac{18 - 2ab}{(ab)^2 - 2ab + 17}$ $(11分)$令$t = ab$，则$t \leqslant \left( \frac{a + b}{2} \right)^2 = 4$，$\frac{1}{a^2 + 1} + \frac{1}{b^2 + 1} = \frac{2(9 - t)}{t^2 - 2t + 17}$ $(13分)$令$\mu = 9 - t$，则$\mu \geqslant 5$，$\frac{1}{a^2 + 1} + \frac{1}{b^2 + 1} = \frac{2\mu}{(\mu - 9)^2 - 2(9 - \mu) + 17} = \frac{2\mu}{\mu^2 - 16\mu + 80} = \frac{2}{\mu + \frac{80}{\mu} - 16} \leqslant \frac{\sqrt{5} + 2}{4}$，当且仅当$\mu = \frac{80}{\mu}$，即$\mu = 4\sqrt{5}$，即$t = 9 - 4\sqrt{5}$，即$t = ab = 9 - 4\sqrt{5}$时，等号成立.所以$\frac{1}{a^2 + 1} + \frac{1}{b^2 + 1}$的最大值为$\frac{\sqrt{5} + 2}{4}$ $(17分)$