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2025年周末C计划高中数学必修第一册人教版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年周末C计划高中数学必修第一册人教版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
9. (2025 河北邢台第一中学月考)已知幂函数 $ f(x)=x^{\alpha} $ 的图象经过点 $ (4,2) $，若 $ f(a + 1)＞f(3 - 2a) $，则实数 $ a $ 的取值范围是
$(\frac{2}{3},\frac{3}{2}]$
；若 $ 0＜x_{1}＜x_{2} $，则 $ \frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2} $ ＜
$ f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}) $.
答案：
9.答案 $(\frac{2}{3},\frac{3}{2}]$；
解析 因为幂函数$f(x)=x^{\alpha}$的图象经过点$(4,2)$，所以$4^{\alpha}=2$，所以$\alpha=\frac{1}{2}$，故$f(x)=x^{\frac{1}{2}}$，
函数$f(x)=x^{\frac{1}{2}}$的定义域为$[0,+\infty)$，且函数$f(x)$在$[0,+\infty)$上单调递增，
所以$f(a+1)＞f(3-2a)$可化为$\begin{cases}a+1＞3-2a,\\a+1\geq0,\\3-2a\geq0,\end{cases}$
所以$\frac{2}{3}＜a\leq\frac{3}{2}$，即实数$a$的取值范围是$(\frac{2}{3},\frac{3}{2}]$
因为$0＜x_1＜x_2$，所以$x_1+x_2＞2\sqrt{x_1x_2}$，
所以$f(\frac{x_1+x_2}{2})=\sqrt{\frac{x_1+x_2}{2}}=\sqrt{\frac{x_1+x_2+x_1+x_2}{4}}＞\sqrt{\frac{(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2})^2}{4}}=\frac{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}{2}=\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$，
即$\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}＜f(\frac{x_1+x_2}{2})$.
解析 因为幂函数$f(x)=x^{\alpha}$的图象经过点$(4,2)$，所以$4^{\alpha}=2$，所以$\alpha=\frac{1}{2}$，故$f(x)=x^{\frac{1}{2}}$，
函数$f(x)=x^{\frac{1}{2}}$的定义域为$[0,+\infty)$，且函数$f(x)$在$[0,+\infty)$上单调递增，
所以$f(a+1)＞f(3-2a)$可化为$\begin{cases}a+1＞3-2a,\\a+1\geq0,\\3-2a\geq0,\end{cases}$
所以$\frac{2}{3}＜a\leq\frac{3}{2}$，即实数$a$的取值范围是$(\frac{2}{3},\frac{3}{2}]$
因为$0＜x_1＜x_2$，所以$x_1+x_2＞2\sqrt{x_1x_2}$，
所以$f(\frac{x_1+x_2}{2})=\sqrt{\frac{x_1+x_2}{2}}=\sqrt{\frac{x_1+x_2+x_1+x_2}{4}}＞\sqrt{\frac{(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2})^2}{4}}=\frac{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}{2}=\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$，
即$\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}＜f(\frac{x_1+x_2}{2})$.
10. (2024 江西萍乡期末)设$ x,y \in \mathbf{R} $且满足
则 x + y =
则 x + y = 2
.
答案：
10.答案 2
解析 因为$(x-1)^{2023}+2023x=2022$，所以$(x-1)^{2023}+2023(x-1)=-1$，同理可得$(y-1)^{2023}+2023(y-1)=1$.
又因为$x,y\in\mathbf{R}$，所以$x-1,y-1\in\mathbf{R}$.
构造函数$f(t)=t^{2023}+2023t$，$t\in\mathbf{R}$，
则$f(x-1)=-1$，$f(y-1)=1$，即$f(y-1)=-f(x-1)$，
又因为$f(-t)=(-t)^{2023}+2023(-t)=-t^{2023}-2023t=-(t^{2023}+2023t)=-f(t)$，即$f(-t)=-f(t)$，
所以$f(t)=t^{2023}+2023t$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，
所以$f(y-1)=-f(x-1)=f(-(x-1))=f(1-x)$，
即$f(y-1)=f(1-x)$.
结合幂函数的性质知$f(t)=t^{2023}+2023t$在$\mathbf{R}$上单调递增，
所以$y-1=1-x$，即$x+y=2$.
解析 因为$(x-1)^{2023}+2023x=2022$，所以$(x-1)^{2023}+2023(x-1)=-1$，同理可得$(y-1)^{2023}+2023(y-1)=1$.
又因为$x,y\in\mathbf{R}$，所以$x-1,y-1\in\mathbf{R}$.
构造函数$f(t)=t^{2023}+2023t$，$t\in\mathbf{R}$，
则$f(x-1)=-1$，$f(y-1)=1$，即$f(y-1)=-f(x-1)$，
又因为$f(-t)=(-t)^{2023}+2023(-t)=-t^{2023}-2023t=-(t^{2023}+2023t)=-f(t)$，即$f(-t)=-f(t)$，
所以$f(t)=t^{2023}+2023t$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，
所以$f(y-1)=-f(x-1)=f(-(x-1))=f(1-x)$，
即$f(y-1)=f(1-x)$.
结合幂函数的性质知$f(t)=t^{2023}+2023t$在$\mathbf{R}$上单调递增，
所以$y-1=1-x$，即$x+y=2$.
11. (15 分)(2025 四川泸州联合性考试)2024 年 9 月 29 日，渝昆高铁川渝段正式开通运营，重庆到泸州最快仅用 30 分钟，完成了川渝两地旅客高铁出行的最后一块拼图.现在已知列车的发车时间间隔 $ t $（单位：分钟）满足 $ 2\leq t\leq20 $.经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔 $ t $ 相关，当 $ 10\leq t\leq20 $ 时列车为满载状态，载客量为 720 人；当 $ 2\leq t＜10 $ 时，载客量会减少，减少的人数 $ s(t)=k(12 - t)^{2} $，$ k $ 为常数，且发车时间间隔为 3 分钟时的载客减少量为 324 人.记列车载客量为 $ p(t) $ 人.
(1)求 $ p(t) $ 的表达式；
(2)为响应低碳出行，若载客量至少达到 524 人时，列车才发车，则列车发车时间间隔至少为多少分钟？
(3)若该线路每分钟的净收益（单位：元）为 $ Q(t)=\frac{2p(t)-360}{t}-60 $，当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求出最大值.
(1)求 $ p(t) $ 的表达式；
(2)为响应低碳出行，若载客量至少达到 524 人时，列车才发车，则列车发车时间间隔至少为多少分钟？
(3)若该线路每分钟的净收益（单位：元）为 $ Q(t)=\frac{2p(t)-360}{t}-60 $，当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求出最大值.
答案：
11. 解析
(1)由题知，当$10\leq t\leq20$时，$p(t)=720$；
当$2\leq t＜10$时，$p(t)=720-k(12-t)^2$，因为发车时间间隔为3分钟时的载客减少量为324人，
所以发车时间间隔为3分钟时的载客量为$720-324=396$人，
所以$p(3)=720-k(12-3)^2=396$，解得$k=4$，
此时$p(t)=720-4(12-t)^2=-4t^2+96t+144$，
所以$p(t)=\begin{cases}-4t^2+96t+144,&2\leq t＜10,\\720,&10\leq t\leq20.\end{cases}$
(2)依题意$p(t)\geq524$，
当$10\leq t\leq20$时，$p(t)=720＞524$，满足题意；
当$2\leq t＜10$时，$p(t)=-4t^2+96t+144\geq524$，即$t^2-24t+95\leq0$，解得$5\leq t\leq19$，所以列车发车时间间隔至少为5分钟时，列车载客量可至少达到524人.
(3)由
(1)知$Q(t)=\begin{cases}132-8t-\frac{72}{t},&2\leq t＜10,\\1080t-60,&10\leq t\leq20.\end{cases}$
当$2\leq t＜10$时，$Q(t)\leq132-2\sqrt{8t·\frac{72}{t}}=84$，当且仅当$t=3$时等号成立，
所以$Q(t)_{\max}=Q(3)=84$；
当$10\leq t\leq20$时，$Q(t)$单调递减，则$Q(t)_{\max}=Q(10)=48$.
综上，时间间隔为3分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大值为84元.
(1)由题知，当$10\leq t\leq20$时，$p(t)=720$；
当$2\leq t＜10$时，$p(t)=720-k(12-t)^2$，因为发车时间间隔为3分钟时的载客减少量为324人，
所以发车时间间隔为3分钟时的载客量为$720-324=396$人，
所以$p(3)=720-k(12-3)^2=396$，解得$k=4$，
此时$p(t)=720-4(12-t)^2=-4t^2+96t+144$，
所以$p(t)=\begin{cases}-4t^2+96t+144,&2\leq t＜10,\\720,&10\leq t\leq20.\end{cases}$
(2)依题意$p(t)\geq524$，
当$10\leq t\leq20$时，$p(t)=720＞524$，满足题意；
当$2\leq t＜10$时，$p(t)=-4t^2+96t+144\geq524$，即$t^2-24t+95\leq0$，解得$5\leq t\leq19$，所以列车发车时间间隔至少为5分钟时，列车载客量可至少达到524人.
(3)由
(1)知$Q(t)=\begin{cases}132-8t-\frac{72}{t},&2\leq t＜10,\\1080t-60,&10\leq t\leq20.\end{cases}$
当$2\leq t＜10$时，$Q(t)\leq132-2\sqrt{8t·\frac{72}{t}}=84$，当且仅当$t=3$时等号成立，
所以$Q(t)_{\max}=Q(3)=84$；
当$10\leq t\leq20$时，$Q(t)$单调递减，则$Q(t)_{\max}=Q(10)=48$.
综上，时间间隔为3分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大值为84元.
12. (17 分)(2025 山东烟台莱州一中开学考试)若 $ f(x) $ 为定义域 $ D $ 上的单调函数，且存在区间 $ [a,b]\subseteq D $（其中 $ a ＜ b $），使得当 $ x \in [a,b] $ 时，$ f(x) $ 的取值范围恰为 $ [a,b] $，则称函数 $ f(x) $ 是 $ D $ 上的“优美函数”.
(1)写出 $ a,b $ 的一组值，使得函数 $ f(x)=\sqrt{x} $ 为“优美函数”，并说明理由；
(2)若函数 $ f(x)=\sqrt{x}+t $ 为“优美函数”，求实数 $ t $ 的取值范围；
(3)若函数 $ f(x)=m-\sqrt{x + 3} $ 为“优美函数”，求实数 $ m $ 的取值范围.
(1)写出 $ a,b $ 的一组值，使得函数 $ f(x)=\sqrt{x} $ 为“优美函数”，并说明理由；
(2)若函数 $ f(x)=\sqrt{x}+t $ 为“优美函数”，求实数 $ t $ 的取值范围；
(3)若函数 $ f(x)=m-\sqrt{x + 3} $ 为“优美函数”，求实数 $ m $ 的取值范围.
答案：
12. 解析
(1)易知函数$f(x)=\sqrt{x}$在$[0,+\infty)$上单调递增，
若在$f(x)$的定义域上存在$[a,b]$，使其值域为$[a,b]$，
则$\sqrt{a}=a$，$\sqrt{b}=b$，即$a,b$为方程$\sqrt{x}=x$的两根，
又$a＜b$，所以$a=0$，$b=1$，
又$f(x)$在区间$[0,1]$上的值域为$[0,1]$，故$a=0$，$b=1$符合题意.
(2)易知函数$f(x)=\sqrt{x}+t$在定义域内单调递增，
若在$f(x)$的定义域上存在$[a,b]$，使其值域为$[a,b]$，
则只需$\sqrt{x}+x$有两个不等的实根，
令$\sqrt{x}=n$，$n\geq0$，则$n^2-n-t=0$在$[0,+\infty)$上有两个不等的实根$n_1,n_2$，
则$\begin{cases}\Delta=1+4t＞0,\\n_1+n_2=1＞0,\\n_1n_2=-t\geq0,\end{cases}$
故实数$t$的取值范围是$\left[-\frac{1}{4},0\right]$.
(3)易知函数$f(x)=m-\sqrt{x+3}$在定义域内单调递减，
依题意得$\begin{cases}m-\sqrt{a+3}=b,\\m-\sqrt{b+3}=a,\end{cases}$两式相减，得$\sqrt{b+3}-\sqrt{a+3}=b-a$，
则$\frac{(\sqrt{b+3}-\sqrt{a+3})(\sqrt{b+3}+\sqrt{a+3})}{\sqrt{b+3}+\sqrt{a+3}}=\frac{b-a}{\sqrt{b+3}+\sqrt{a+3}}=b-a$，
得$\sqrt{b+3}+\sqrt{a+3}=1$.
将①式代入方程组得$\begin{cases}m-(1-\sqrt{b+3})=b,\\m-(1-\sqrt{a+3})=a,\end{cases}$则$a,b$是方程$m-1+\sqrt{x+3}=x$的两根，
令$\sqrt{x+3}=c$，$c\geq0$，则$c^2-c-m-2=0$在$[0,+\infty)$上有两个不等实根，
则$\begin{cases}\Delta=1+4(m+2)＞0,\\-m-2\geq0,\end{cases}$解得$-\frac{9}{4}＜m\leq-2$，
故实数$m$的取值范围为$\left(-\frac{9}{4},-2\right]$.
(1)易知函数$f(x)=\sqrt{x}$在$[0,+\infty)$上单调递增，
若在$f(x)$的定义域上存在$[a,b]$，使其值域为$[a,b]$，
则$\sqrt{a}=a$，$\sqrt{b}=b$，即$a,b$为方程$\sqrt{x}=x$的两根，
又$a＜b$，所以$a=0$，$b=1$，
又$f(x)$在区间$[0,1]$上的值域为$[0,1]$，故$a=0$，$b=1$符合题意.
(2)易知函数$f(x)=\sqrt{x}+t$在定义域内单调递增，
若在$f(x)$的定义域上存在$[a,b]$，使其值域为$[a,b]$，
则只需$\sqrt{x}+x$有两个不等的实根，
令$\sqrt{x}=n$，$n\geq0$，则$n^2-n-t=0$在$[0,+\infty)$上有两个不等的实根$n_1,n_2$，
则$\begin{cases}\Delta=1+4t＞0,\\n_1+n_2=1＞0,\\n_1n_2=-t\geq0,\end{cases}$
故实数$t$的取值范围是$\left[-\frac{1}{4},0\right]$.
(3)易知函数$f(x)=m-\sqrt{x+3}$在定义域内单调递减，
依题意得$\begin{cases}m-\sqrt{a+3}=b,\\m-\sqrt{b+3}=a,\end{cases}$两式相减，得$\sqrt{b+3}-\sqrt{a+3}=b-a$，
则$\frac{(\sqrt{b+3}-\sqrt{a+3})(\sqrt{b+3}+\sqrt{a+3})}{\sqrt{b+3}+\sqrt{a+3}}=\frac{b-a}{\sqrt{b+3}+\sqrt{a+3}}=b-a$，
得$\sqrt{b+3}+\sqrt{a+3}=1$.
将①式代入方程组得$\begin{cases}m-(1-\sqrt{b+3})=b,\\m-(1-\sqrt{a+3})=a,\end{cases}$则$a,b$是方程$m-1+\sqrt{x+3}=x$的两根，
令$\sqrt{x+3}=c$，$c\geq0$，则$c^2-c-m-2=0$在$[0,+\infty)$上有两个不等实根，
则$\begin{cases}\Delta=1+4(m+2)＞0,\\-m-2\geq0,\end{cases}$解得$-\frac{9}{4}＜m\leq-2$，
故实数$m$的取值范围为$\left(-\frac{9}{4},-2\right]$.
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