《2025年周末C计划高中数学必修第一册人教版》

1. (2025 辽宁县域重点高中期中)已知 $\sin \alpha + 3\cos \beta = 1$，$\cos \alpha - 3\sin \beta = 2$，则 $\sin (\alpha - \beta ) =$ （$-\frac{5}{6}$）
A.$-\frac{2}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$-\frac{5}{6}$
D.$\frac{5}{6}$

答案： 1.C 对$\sin \alpha+3\cos \beta=1$的两边平方,得$\sin^2 \alpha+6\sin \alpha\cos \beta+9\cos^2 \beta=1$①.
对$\cos \alpha-3\sin \beta=2$的两边平方,得$\cos^2 \alpha-6\cos \alpha\sin \beta+9\sin^2 \beta=4$②.
①+②得$10+6\sin(\alpha-\beta)=5$,所以$\sin(\alpha-\beta)=-\frac{5}{6}$.

2. (2025 河南南阳六校期中)若函数 $f(x) = \tan (\omega x + \varphi )(\omega ＞ 0,\varphi ＞ 0)$ 的图象与直线 $y = a$ 的两个相邻交点之间的距离为 $\frac{\pi}{3}$，且 $f(x + \frac{\pi}{18})$ 为奇函数，则 $\varphi$ 的最小值为 （A）
A.$\frac{\pi}{3}$
B.$\frac{5\pi}{6}$
C.$\frac{\pi}{6}$
D.$\frac{2\pi}{3}$

答案： 2.A 由函数$f(x)$的图象与直线$y=a$的两个相邻交点之间的距离为$\frac{\pi}{3}$,得函数$f(x)$的最小正周期为$\frac{\pi}{3}$,即$\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{\omega}$,解得$\omega=3$,所以$f(x)=\tan(3x+\varphi)$,所以$f(x+\frac{\pi}{18})=\tan(3x+\varphi+\frac{\pi}{6})$.
因为$f(x+\frac{\pi}{18})$为奇函数,且$\varphi＞0$,所以$\varphi+\frac{\pi}{6}=\frac{k\pi}{2}(k\in \mathbf{N}^*)$,解得$\varphi=-\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}(k\in \mathbf{N}^*)$,所以$\varphi$的最小值为$\frac{\pi}{3}$.

3. (2025 北京第五中学期中)“$\sin \theta = 1$”是“函数 $f(x) = \sin (x + \theta ) + \cos x$ 为偶函数”的 （A）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 3.A $f(x)=\sin(x+\theta)+\cos x=\sin x\cos \theta+\cos x\sin \theta+\cos x=\sin x\cos \theta+(1+\sin \theta)\cos x$.
解法一:因为函数$f(x)$为偶函数,所以$f(-x)=f(x)$,
又$f(-x)=\sin(-x)\cos \theta+(1+\sin \theta)\cos(-x)=-\sin x\cos \theta+(1+\sin \theta)\cos x$,所以$\sin x\cos \theta+(1+\sin \theta)\cos x=-\sin x\cos \theta+(1+\sin \theta)\cos x$,所以$\sin x\cos \theta=0$对任意的$x\in \mathbf{R}$恒成立,所以$\cos \theta=0$,所以$\sin \theta=\pm1$.
所以“$\sin \theta=1$”是“函数$f(x)=\sin(x+\theta)+\cos x$为偶函数”的充分不必要条件.
解法二:因为$y=\sin x$是奇函数,$y=\cos x$是偶函数,且$f(x)$是偶函数,所以$\cos \theta=0$,所以$\sin \theta=\pm1$.
所以“$\sin \theta=1$”是“函数$f(x)=\sin(x+\theta)+\cos x$为偶函数”的充分不必要条件.

4. (2025 江苏南京六校联合体期中)若 $\sin (\alpha - \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{5}}{5}$，则 $\cos (\frac{\pi}{3} - 2\alpha ) =$ （C）
A.$-\frac{3}{5}$
B.$-\frac{4}{5}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$

答案： 4.C 令$\beta=\alpha-\frac{\pi}{6}$,则$\sin \beta=\frac{\sqrt{5}}{5},\alpha=\beta+\frac{\pi}{6}$,
所以$\cos(\frac{\pi}{3}-2\alpha)=\cos(2\alpha-\frac{\pi}{3})=\cos[2(\beta+\frac{\pi}{6})-\frac{\pi}{3}]=\cos 2\beta=1-2\sin^2\beta=1-2×(\frac{\sqrt{5}}{5})^2=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$.

5. (2025 江苏苏州吴江中学月考)函数 $f(x) = 5\tan x$ 与 $g(x) = 6\cos x$ 的图象在 $(0,\frac{\pi}{2})$ 内的交点为 $P$，过 $P$ 作 $x$ 轴的垂线交 $h(x) = \sin x$ 的图象于点 $P_1$，交 $x$ 轴于点 $P_2$，则线段 $P_1P_2$ 的长度是 （D）
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{3}$
D.$\frac{2}{3}$

答案： 5.D 设$P_1(x_1,y_1)$,则$P_2(x_1,0),P_1(x_1,\sin x_1)$.
联立$\begin{cases}y=6\cos x,\\y=5\tan x.\end{cases}$消去$y$,得$6\cos x=5\tan x$,整理得$6\cos^2x=5\sin x$,即$6\sin^2x+5\sin x-6=0$,即$(3\sin x-2)·(2\sin x+3)=0$,所以$\sin x=\frac{2}{3}$或$\sin x=-\frac{3}{2}$(舍去),
所以点$P_1$的纵坐标为$\sin x_1=\frac{2}{3}$,
所以线段$P_1P_2$的长度是$\frac{2}{3}$.

6. (2025 四川成都蓉城名校联盟期中)已知函数 $f(x) = \sin x\cos (x - \frac{\pi}{6})$，对任意的 $x_1,x_2 \in [-\frac{\pi}{2},0]$，都有 $a \geq |f(x_1) - f(x_2)|$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为 （B）
A.$\frac{1}{4},+\infty)$
B.$\frac{3}{4},+\infty)$
C.$1,+\infty)$
D.$\frac{5}{4},+\infty)$

答案： 6.B 由题意得,$a\geqslant|f(x_1)-f(x_2)|_{\max}$,
所以$a\geqslant f(x)_{\max}-f(x)_{\min},x\in[-\frac{\pi}{2},0]$.
$f(x)=\sin x\cos(x-\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\cos x+\frac{1}{2}\sin^2x=\frac{\sqrt{3}}{4}\sin 2x-\frac{1}{4}\cos 2x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\sin(2x-\frac{\pi}{6})+\frac{1}{4}$.
因为$x\in[-\frac{\pi}{2},0]$,所以$2x-\frac{\pi}{6}\in[-\frac{7\pi}{6},-\frac{\pi}{6}]$,
所以$\sin(2x-\frac{\pi}{6})\in[-1,\frac{1}{2}]$,
所以$f(x)_{\max}=\frac{1}{2}f(x)_{\min}=-\frac{1}{4}$,
所以$a\geqslant\frac{1}{2}-(-\frac{1}{4})=\frac{3}{4}$,故实数$a$的取值范围为$[\frac{3}{4},+\infty)$.

7. (2025 浙江台金七校联盟联考)如图，已知平面内并列的八个正方形全等，则 $\angle OAE + \angle OBE + \angle OCE + \angle ODE =$ （B）

A.$\frac{\pi}{6}$
B.$\frac{\pi}{4}$
C.$\frac{\pi}{3}$
D.$\frac{\pi}{2}$

答案： 7.B 由题图得$\tan\angle OAE=\frac{1}{8},\tan\angle OBE=\frac{1}{7},\tan\angle OCE=\frac{1}{5},\tan\angle ODE=\frac{1}{3}$,
所以$\tan(\angle OAE+\angle OBE)=\frac{\frac{1}{8}+\frac{1}{7}}{1-\frac{1}{8}×\frac{1}{7}}=\frac{3}{11}$,
$\tan(\angle OCE+\angle ODE)=\frac{\frac{1}{5}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{5}×\frac{1}{3}}=\frac{4}{7}$,
所以$\tan(\angle OAE+\angle OBE+\angle OCE+\angle ODE)=\frac{\frac{3}{11}+\frac{4}{7}}{1-\frac{3}{11}×\frac{4}{7}}=1$.
因为$\tan(\angle OAE+\angle OBE)＜1$,所以$0＜\angle OAE+\angle OBE＜\frac{\pi}{4}$.同理,得$0＜\angle OCE+\angle ODE＜\frac{\pi}{4}$.
所以$0＜\angle OAE+\angle OBE+\angle OCE+\angle ODE＜\frac{\pi}{2}$,
所以$\angle OAE+\angle OBE+\angle OCE+\angle ODE=\frac{\pi}{4}$.

8. (2025 湖北新八校协作体月考)函数 $y = \tan x$ 与 $y = \cos x(x \in [0,4\pi])$ 的图象有 $n$ 个交点，交点坐标分别为 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),·s,(x_n,y_n)(x_1 ＜ x_2 ＜ ·s ＜ x_n)$，则下列说法正确的是 （ ）

A.$\sin x_1 = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$
B.$n = 4$
C.$\sum_{i = 1}^{n}x_i = 8\pi$
D.$\sum_{i = 1}^{n}(x_i + y_i) = 6\pi$

答案：
8.ABD 因为$\tan x_1=\cos x_1$,所以$\sin x_1=\cos^2 x_1=1-\sin^2 x_1$,所以$\sin x_1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,故A正确.
作出函数$y=\tan x$与$y=\cos x$在$[0,4\pi]$上的图象,

由图可知,有4个交点,故B正确.
第一与第四个交点,第二与第三个交点都关于点$(\frac{3}{2}\pi,0)$对称,所以$\sum x_i=2×\frac{3\pi}{2}+2×\frac{3\pi}{2}=6\pi,\sum(x_i+y_i)=6\pi+0=6\pi$,故D正确,C错误.

9. (2025 江苏常州联盟学校调研)已知函数 $f(x) = \cos^4 x + \sin^2 x$，则下列说法正确的是 （BC）
A.$\pi$ 是 $f(x)$ 的最小正周期
B.$f(x)$ 是偶函数
C.$f(x)$ 在 $(0,\frac{\pi}{4})$ 上单调递减
D.直线 $x = -\frac{\pi}{8}$ 是 $f(x)$ 图象的一条对称轴

答案： 9.BC $f(x)=\cos^4x+\sin^2x=(1-\sin^2x)(1-\sin^2x)+\sin^2x=1-2\sin^2x+\sin^4x+\sin^2x=\sin^4x-\sin^2x+1=\sin^2x(\sin^2x-1)+1=-\sin^2x\cos^2x+1=-\frac{1}{4}×\frac{1-\cos 4x}{2}+1=\frac{\cos 4x}{8}+\frac{7}{8}$.
对于A,最小正周期$T=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$,故A错误.
对于B,易知函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$,关于原点对称,又$f(-x)=\cos^4x+(-\sin x)^2=\cos^4x+\sin^2x=f(x)$,所以$f(x)$是偶函数,故B正确.
对于C,当$x\in(0,\frac{\pi}{4})$时,$4x\in(0,\pi)$,所以$f(x)=\frac{1}{8}\cos 4x+\frac{7}{8}$在$(0,\frac{\pi}{4})$上单调递减,故C正确.
对于D,令$4x=k\pi,k\in \mathbf{Z}$,得$x=\frac{k\pi}{4},k\in \mathbf{Z}$,所以直线$x=\frac{\pi}{8}$不是$f(x)$图象的一条对称轴,故D错误.

10. (2025 湖南长沙期中)若 $\cos (\alpha + \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha - \frac{3}{2}\cos \alpha$，则 $\cos 2\alpha =$ $-\frac{1}{7}$.

答案： 10.答案$-\frac{1}{7}$
解析因为$\cos(\alpha+\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha-\frac{3}{2}\cos \alpha$,
所以$\frac{1}{2}\cos \alpha-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha-\frac{3}{2}\cos \alpha$,
整理得$2\cos \alpha=\sqrt{3}\sin \alpha$,即$\tan \alpha=\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
所以$\cos 2\alpha=\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha=\frac{\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha+\sin^2 \alpha}=\frac{1-\tan^2 \alpha}{1+\tan^2 \alpha}=\frac{1-\frac{4}{3}}{1+\frac{4}{3}}=-\frac{1}{7}$.