《2025年周末C计划高中数学必修第一册人教版》

11. (17分)(2025九师联盟联考)已知函数$f(x)=\frac{e^{x}-1}{e^{x}}$.
(1)求函数$y = f(2x)-f(x)$，$x\in[0,1]$的值域；
(2)若不等式$f(2x)\leq kf(x)$在$x\in\mathbf{R}$上恒成立，求实数$k$的取值范围；
(3)当$x\in[-\ln a^{2},-\ln b^{2}](a ＞ b ＞ 0)$时，函数$g(x)=mf(x)+1$的值域为$[2 - 3a,2 - 3b]$，求正数$m$的取值范围.

答案： 11.解析$　(1)y = f(2x)-f(x)=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}}-\frac{e^{x}-1}{e^{x}}=-\frac{1}{e^{2x}}+\frac{1}{e^{x}}=-\left(\frac{1}{e^{x}}-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{1}{4}。$
当x∈[0,1]时，$e^{x}∈[1,e]，$所以$\frac{1}{e^{x}}∈[\frac{1}{e},1]。$
所以当$\frac{1}{e^{x}}=\frac{1}{2}，$即$x = \ln 2$时，y = f(2x)-f(x)取最大值，为$\frac{1}{4}；$当$\frac{1}{e^{x}} = 1，$即x = 0时，y = f(2x)-f(x)取最小值，为0。
所以函数y = f(2x)-f(x)在x∈[0,1]上的值域为$[0,\frac{1}{4}]。$
$(2)f(2x)\leq kf(x)\Leftrightarrow\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}}\leq k·\frac{e^{x}-1}{e^{x}}\Leftrightarrow(e^{x}+1)(e^{x}-1)\leq k· e^{x}(e^{x}-1)。$
当x = 0时，k∈R；
当x＞0时，$e^{x}-1＞0，$则$k\geq\frac{e^{x}+1}{e^{x}} = 1+\frac{1}{e^{x}}。$
因为$y = 1+\frac{1}{e^{x}}$在(0,+∞)上单调递减，所以$y = 1+\frac{1}{e^{x}}$在(0,+∞)上的值域为(1,2)，所以$k\geq2。$
当x＜0时，$e^{x}-1＜0，$则$k\leq\frac{e^{x}+1}{e^{x}} = 1+\frac{1}{e^{x}}。$
因为$y = 1+\frac{1}{e^{x}}$在(−∞,0)上单调递减，所以$y = 1+\frac{1}{e^{x}}$在(−∞,0)上的值域为(2,+∞)，所以$k\leq2。$
综上，实数k的取值范围为{2}。
$(3)g(x)=mf(x)+1 = m\left(1-\frac{1}{e^{x}}\right)+1 = m + 1-\frac{m}{e^{x}}。$
当m＞0时，g(x)在(0,+∞)上单调递增，所以当$x∈[-\ln a^{2},-\ln b^{2}](a＞b＞0)$时，其值域为[2 - 3a,2 - 3b]。
所以$\begin{cases}g(-\ln a^{2})=2 - 3a\\g(-\ln b^{2})=2 - 3b\end{cases} ，$即$\begin{cases}m + 1 - ma^{2}=2 - 3a\\m + 1 - mb^{2}=2 - 3b\end{cases}，$所以a，b是关于x的方程$m + 1 - mx^{2}=2 - 3x，$即$mx^{2}-3x+(1 - m)=0$的两个不相等的正实数根。
所以$\begin{cases}\Delta = 9 - 4m(1 - m)＞0\frac{3}{m}＞0\frac{1 - m}{m}＞0\end{cases} ，$解得0＜m＜1。
所以正数m的取值范围为(0,1)。

12. (17分)(2025四川泸州泸县普通高中共同体联考)若存在实数对$(a,b)$，使得等式$f(a + x)· f(a - x)=b$对定义域中每一个实数$x$都成立，则称函数$f(x)$为“$(a,b)$型函数”.
(1)若函数$f(x)=3^{x}$是“$(a,\frac{1}{3})$型函数”，求实数$a$的值；
(2)若函数$H(x)=e^{\frac{2}{x}}$是“$(a,b)$型函数”，求实数$a$和$b$的值；
(3)已知函数$h(x)=|x - 2|$，函数$g(x)$是“$(a,b)$型函数”，对应的实数对$(a,b)$为$(0,8)$，当$x\in(0,2]$时，$g(x)=x^{2}-m(x - 2)$，若对任意的$x_{1}\in[-2,2]$，都存在$x_{2}\in[-2,0]$，使得$g(x_{1})=h(x_{2})$，求实数$m$的取值范围.

答案： 12.解析　
(1)由题意得$f(a + x)· f(a - x)=\frac{1}{3}，$所以$3^{a + x}·3^{a - x}=3^{2a}=\frac{1}{3}，$所以2a = - 1，解得$a=-\frac{1}{2}。$
(2)由题意得H(a + x)· H(a - x)=b，所以$e^{m(a + x)}· e^{m(a - x)}=b。$
易知b＞0，所以$\ln b=\frac{2}{a + x}+\frac{2}{a - x}=\frac{4a}{(a - x)(a + x)}=\frac{4a}{a^{2}-x^{2}}$恒成立，所以$\begin{cases}a = 0\\\ln b = 0\end{cases} ，$所以a = 0，b = 1。
(3)由题意得g(x)· g(-x)=8。
因为当x∈(0,2]时，$g(x)=x^{2}-m(x - 2)=x^{2}-mx + 2m，$所以当x∈[-2,0)时，$g(x)=\frac{8}{x^{2}+mx + 2m}。$
因为对任意的$x_{1}∈[-2,2]，$都存在$x_{2}∈[-2,0]，$使得$g(x_{1})=h(x_{2})，$所以g(x)在区间[-2,2]上的值域为h(x)在区间[-2,0]上的值域的子集。
当x∈[-2,0]时，h(x)=2 - x，其值域为[2,4]。
由上述分析知，g
(0)∈[2,4]。
在g(x)· g(-x)=8中，令x = 0，则$[g(0)]^{2}=8，$所以$g(0)=2\sqrt{2}。$
记函数g(x)在区间(0,2]，[-2,0)上的值域分别为D，E，则D⊆[2,4]。
任取t∈D，即2≤t≤4，则$2≤\frac{8}{t}≤4，$所以E⊆[2,4]，所以问题等价于g(x)在区间(0,2]上的值域为[2,4]的子集。
当x∈(0,2]时，$g(x)=x^{2}-mx + 2m。$
①若$\frac{m}{2}≤0，$即m≤0，则g(x)在(0,2]上单调递增，所以g(x)∈(2m,4]，此时[2,4]⊆(2m,4]，与题意不符。
②若$0＜\frac{m}{2}＜2，$即0＜m＜4，则g(x)在$(0,\frac{m}{2})$上单调递减，在$(\frac{m}{2},2]$上单调递增，所以$g(x)_{\min}=g(\frac{m}{2})=2m-\frac{m^{2}}{4}，$且g
(0)=2m，g
(2)=4。
因为g(x)在(0,2]上的值域为[2,4]的子集，所以$\begin{cases}2m\leq4\\2m-\frac{m^{2}}{4}\geq2\end{cases}，$解得$4 - 2\sqrt{2}\leq m\leq2。$
③若$\frac{m}{2}≥2，$即m≥4，则g(x)在(0,2]上单调递减，所以g(x)∈[4,2m)，此时[4,2m)不是[2,4]的子集，与题意不符。
综上，实数m的取值范围是$[4 - 2\sqrt{2},2]。$