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2025年周末C计划高中数学必修第一册人教版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年周末C计划高中数学必修第一册人教版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
1. (2025 广东潮州期末)已知函数$f(x)=\log_{a}(x + 2)+2(a\gt0,a\neq1)$的图象经过定点$P$，且点$P$在角$\theta$的终边上，则$\tan\theta$的值为（
A.$\frac{1}{2}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$2$
D.$-2$
D
）A.$\frac{1}{2}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$2$
D.$-2$
答案：
1.D 令$x + 2 = 1$，得$x = - 1$，又$f( - 1) = \log_{a}1 + 2 = 2$，故$f(x) = \log_{a}(x + 2) + 2$的图象经过定点$P( - 1,2)$，故$\tan\theta = - 2$
2. (2025 河南濮阳期末)下列函数中，能使用二分法求其零点所在区间的是（
A.$f(x)=x^{3}+\sin x,x\in\left[0,\frac{\pi}{3}\right]$
B.$f(x)=e^{x}+e^{-x}-2$
C.$f(x)=\lg x-\frac{9}{x}$
D.$f(x)=x^{2}+4x + 5$
C
）A.$f(x)=x^{3}+\sin x,x\in\left[0,\frac{\pi}{3}\right]$
B.$f(x)=e^{x}+e^{-x}-2$
C.$f(x)=\lg x-\frac{9}{x}$
D.$f(x)=x^{2}+4x + 5$
答案：
2.C 对于A，易知$f(x)$在$(0,\frac{\pi}{3}$上连续且单调递增，所以$f(x) ＞ f(0) = 0$，无零点，故A错误；
对于B，$f(x) = e^{x} + e^{- x} - 2 \geq 2\sqrt{e^{x} · e^{- x}} - 2 = 0$，当且仅当$x = 0$时取等号，因为零点左、右两侧附近的函数值同号，所以不能使用二分法求零点，故B错误；
对于C，易知$f(x)$在$(0, + \infty)$上连续且单调递增，因为$f(9) = \lg 9 - 1 ＜ 0$，$f(10) = 1 - \frac{9}{10} ＞ 0$，所以可以使用二分法求零点，故C正确；
对于D，$f(x) = (x + 2)^{2} + 1 \geq 1$，无零点，故D错误。
对于B，$f(x) = e^{x} + e^{- x} - 2 \geq 2\sqrt{e^{x} · e^{- x}} - 2 = 0$，当且仅当$x = 0$时取等号，因为零点左、右两侧附近的函数值同号，所以不能使用二分法求零点，故B错误；
对于C，易知$f(x)$在$(0, + \infty)$上连续且单调递增，因为$f(9) = \lg 9 - 1 ＜ 0$，$f(10) = 1 - \frac{9}{10} ＞ 0$，所以可以使用二分法求零点，故C正确；
对于D，$f(x) = (x + 2)^{2} + 1 \geq 1$，无零点，故D错误。
3. (2025 广东四校联考)已知实数$a$满足$\log_{a}8+\log_{2}a\lt4$，且$a\gt1$，则$a$的取值范围是（
A.$(1,8)$
B.$(1,4)$
C.$(2,4)$
D.$(2,8)$
D
）A.$(1,8)$
B.$(1,4)$
C.$(2,4)$
D.$(2,8)$
答案：
3.D $\log_{8}a + \log_{2}a = 3\log_{8}2 + \log_{2}a = \frac{3}{\log_{2}a} + \log_{2}a ＜ 4$，
令$t = \log_{2}a(t ＞ 0)$，$g(t) = \frac{3}{t} + t$，
易知$g(t) = \frac{3}{t} + t$在$(0,\sqrt{3})$上单调递减，在$(\sqrt{3}, + \infty)$上单调递增。
$\because g(1) = g(3) = 4$，$\therefore t \in (1,3)$，即$\log_{2}a \in (1,3)$，解得$a \in (2,8)$。
考场速解
取$a = 2$，则$\log_{2}8 + \log_{2}2 = 3 + 1 = 4$，不符合题意，排除A、B；取$a = 4$，则$\log_{4}8 + \log_{2}4 = \frac{3}{2} + 2 = 3.5 ＜ 4$，符合题意，排除C，故D正确。
令$t = \log_{2}a(t ＞ 0)$，$g(t) = \frac{3}{t} + t$，
易知$g(t) = \frac{3}{t} + t$在$(0,\sqrt{3})$上单调递减，在$(\sqrt{3}, + \infty)$上单调递增。
$\because g(1) = g(3) = 4$，$\therefore t \in (1,3)$，即$\log_{2}a \in (1,3)$，解得$a \in (2,8)$。
考场速解
取$a = 2$，则$\log_{2}8 + \log_{2}2 = 3 + 1 = 4$，不符合题意，排除A、B；取$a = 4$，则$\log_{4}8 + \log_{2}4 = \frac{3}{2} + 2 = 3.5 ＜ 4$，符合题意，排除C，故D正确。
4. (2024 河南郑州期末)已知$3\cos\left(\frac{3\pi}{2}+\theta\right)\sin(\pi-\theta)=2$，且$\theta$为第二象限角，则$\frac{\cos(\pi+\theta)}{\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)+\sin(\theta-\pi)}=$（
A.$-1-\sqrt{2}$
B.$1+\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2}-1$
D.$1-\sqrt{2}$
D
）A.$-1-\sqrt{2}$
B.$1+\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2}-1$
D.$1-\sqrt{2}$
答案：
4.D 因为$3\cos(\frac{3\pi}{2} + \theta)\sin(\pi - \theta) = 3\sin^{2}\theta = 2$，
所以$\sin^{2}\theta = \frac{2}{3}$，所以$\tan^{2}\theta = \frac{\sin^{2}\theta}{1 - \sin^{2}\theta} = 2$。
因为$\theta$为第二象限角，所以$\tan\theta = - \sqrt{2}$，
则$\frac{\cos(\pi + \theta)}{\sin(\frac{\pi}{2} - \theta) + \sin(\theta - \pi)} = \frac{- \cos\theta}{\cos\theta - \sin\theta} = \frac{- 1}{1 - \tan\theta} = 1 - \sqrt{2}$。
所以$\sin^{2}\theta = \frac{2}{3}$，所以$\tan^{2}\theta = \frac{\sin^{2}\theta}{1 - \sin^{2}\theta} = 2$。
因为$\theta$为第二象限角，所以$\tan\theta = - \sqrt{2}$，
则$\frac{\cos(\pi + \theta)}{\sin(\frac{\pi}{2} - \theta) + \sin(\theta - \pi)} = \frac{- \cos\theta}{\cos\theta - \sin\theta} = \frac{- 1}{1 - \tan\theta} = 1 - \sqrt{2}$。
5. (2025 江西景德镇质检)已知$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，$f(2x + 1)$是奇函数，当$x\gt1$时，$f(x)=\log_{2}(2^{x - 1}-1)$，则$f(x)\geq0$的解集是（
A.$0,1)\cup2,+\infty)$
B.$[0,1]\cup[2,+\infty)$
C.$(-\infty,0)\cup2,+\infty)$
D.$(-\infty,0]\cup[2,+\infty)$
B
）A.$0,1)\cup2,+\infty)$
B.$[0,1]\cup[2,+\infty)$
C.$(-\infty,0)\cup2,+\infty)$
D.$(-\infty,0]\cup[2,+\infty)$
答案：
5.B $\because f(2x + 1)$是奇函数，$\therefore f(2x + 1) + f( - 2x + 1) = 0$，则$f(x)$的图象关于点$(1,0)$对称。
又$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，故$f(1) = 0$。
当$x ＞ 1$时，令$f(x) \geq 0$，即$\log_{2}(2^{x - 1} - 1) \geq 0$，解得$x \geq 2$，符合$x ＞ 1$。
根据对称性可知当$x ＜ 1$时，$f(x) \geq 0$的解集为$[0,1)$。
综上所述，$f(x) \geq 0$的解集是$[0,1] \cup [2, + \infty)$。
又$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，故$f(1) = 0$。
当$x ＞ 1$时，令$f(x) \geq 0$，即$\log_{2}(2^{x - 1} - 1) \geq 0$，解得$x \geq 2$，符合$x ＞ 1$。
根据对称性可知当$x ＜ 1$时，$f(x) \geq 0$的解集为$[0,1)$。
综上所述，$f(x) \geq 0$的解集是$[0,1] \cup [2, + \infty)$。
6. (2025 湖南长沙长郡中学期末)若集合$A=\{(m,n)|m\leq - 2,0\lt n\leq t\}$，$\forall(m,n)\in A$，均有$m\log_{4}n - n - 3m\geq0$成立，则$t$的最大值为（
A.$2$
B.$4$
C.$8$
D.$16$
4
）A.$2$
B.$4$
C.$8$
D.$16$
答案：
6.B 令$y = \log_{4}n$，则$n = 4^{y}$，原不等式即为$my - 4^{y} - 3m \geq 0$，即$(y - 3)m - 4^{y} \geq 0$，
$\because m \leq - 2$，$\therefore\begin{cases} y - 3 \leq 0, \\(y - 3) · ( - 2) - 4^{y} \geq 0, \end{cases}$即$\begin{cases} y \leq 3, \\ - 2y - 4^{y} + 6 \geq 0, \end{cases}$
令$f(y) = - 2y - 4^{y} + 6$，易知$f(y)$在定义域上单调递减，且$f(1) = - 2 - 4 + 6 = 0$，
$\therefore$当$f(y) \geq 0$时，$y \leq 1$，$\therefore\log_{4}n \leq 1$，$\therefore 0 ＜ n \leq 4$，则$t$的最大值为$4$。
$\because m \leq - 2$，$\therefore\begin{cases} y - 3 \leq 0, \\(y - 3) · ( - 2) - 4^{y} \geq 0, \end{cases}$即$\begin{cases} y \leq 3, \\ - 2y - 4^{y} + 6 \geq 0, \end{cases}$
令$f(y) = - 2y - 4^{y} + 6$，易知$f(y)$在定义域上单调递减，且$f(1) = - 2 - 4 + 6 = 0$，
$\therefore$当$f(y) \geq 0$时，$y \leq 1$，$\therefore\log_{4}n \leq 1$，$\therefore 0 ＜ n \leq 4$，则$t$的最大值为$4$。
7. (2025 江西上饶第一中学月考)设函数$f(x)=x\ln x-(a + b)\ln x$，若$f(x)\geq0$，则$5^{a}+5^{b}$的最小值为（
A.$1$
B.$2$
C.$\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{5}$
D
）A.$1$
B.$2$
C.$\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{5}$
答案：
7.D $f(x) = x\ln x - (a + b)\ln x = (x - a - b)\ln x$，
若$a + b \leq 0$，则对任意的$x ＞ 0$，$x - a - b ＞ 0$，
则当$0 ＜ x ＜ 1$时，$f(x) = (x - a - b)\ln x ＜ 0$，不符合题意；
若$0 ＜ a + b ＜ 1$，则当$a + b ＜ x ＜ 1$时，$x - a - b ＞ 0$，$\ln x ＜ 0$，此时$f(x) = (x - a - b)\ln x ＜ 0$，不符合题意；
若$a + b ＞ 1$，则当$1 ＜ x ＜ a + b$时，$x - a - b ＜ 0$，$\ln x ＞ 0$，此时$f(x) = (x - a - b)\ln x ＜ 0$，不符合题意，
所以$a + b = 1$，此时$f(x) = (x - 1)\ln x$，则$f(1) = 0$，
当$0 ＜ x ＜ 1$时，$x - 1 ＜ 0$，$\ln x ＜ 0$，此时$f(x) = (x - 1)\ln x ＞ 0$；
当$x ＞ 1$时，$x - 1 ＞ 0$，$\ln x ＞ 0$，此时$f(x) = (x - 1)\ln x ＞ 0$；
当$x = 1$时，$f(x) = 0$，
所以对任意的$x ＞ 0$，$f(x) = (x - 1)\ln x \geq 0$，符合题意，
由基本不等式可得$5^{a} + 5^{b} \geq 2\sqrt{5^{a} · 5^{b}} = 2\sqrt{5^{a + b}} = 2\sqrt{5}$，
当且仅当$\begin{cases} a = b, \\a + b = 1, \end{cases}$即$a = b = \frac{1}{2}$时等号成立，
故$5^{a} + 5^{b}$的最小值为$2\sqrt{5}$。
若$a + b \leq 0$，则对任意的$x ＞ 0$，$x - a - b ＞ 0$，
则当$0 ＜ x ＜ 1$时，$f(x) = (x - a - b)\ln x ＜ 0$，不符合题意；
若$0 ＜ a + b ＜ 1$，则当$a + b ＜ x ＜ 1$时，$x - a - b ＞ 0$，$\ln x ＜ 0$，此时$f(x) = (x - a - b)\ln x ＜ 0$，不符合题意；
若$a + b ＞ 1$，则当$1 ＜ x ＜ a + b$时，$x - a - b ＜ 0$，$\ln x ＞ 0$，此时$f(x) = (x - a - b)\ln x ＜ 0$，不符合题意，
所以$a + b = 1$，此时$f(x) = (x - 1)\ln x$，则$f(1) = 0$，
当$0 ＜ x ＜ 1$时，$x - 1 ＜ 0$，$\ln x ＜ 0$，此时$f(x) = (x - 1)\ln x ＞ 0$；
当$x ＞ 1$时，$x - 1 ＞ 0$，$\ln x ＞ 0$，此时$f(x) = (x - 1)\ln x ＞ 0$；
当$x = 1$时，$f(x) = 0$，
所以对任意的$x ＞ 0$，$f(x) = (x - 1)\ln x \geq 0$，符合题意，
由基本不等式可得$5^{a} + 5^{b} \geq 2\sqrt{5^{a} · 5^{b}} = 2\sqrt{5^{a + b}} = 2\sqrt{5}$，
当且仅当$\begin{cases} a = b, \\a + b = 1, \end{cases}$即$a = b = \frac{1}{2}$时等号成立，
故$5^{a} + 5^{b}$的最小值为$2\sqrt{5}$。
8. (2025 福建泉州七中月考)已知函数$f(x)=\begin{cases}4x + 6,x\leq0,\\|\ln x|,x\gt0,\end{cases}$若$g(x)=f(x)-m$恰有$3$个零点$x_{1}$，$x_{2}$，$x_{3}$，则$x_{1}x_{2}x_{3}$的取值范围是（ ）
A.$\left(-\frac{3}{2},0\right)$
B.$(-\frac{3}{2},0]$
C.$(-\infty,0$
D.$(-\infty,0)$
A.$\left(-\frac{3}{2},0\right)$
B.$(-\frac{3}{2},0]$
C.$(-\infty,0$
D.$(-\infty,0)$
答案：
8.B $g(x)$的零点即函数$f(x)$的图象与直线$y = m$的交点的横坐标，不妨设$x_{1} ＜ x_{2} ＜ x_{3}$，在同一坐标系内作出$f(x)$的大致图象及直线$y = m$，如图，
则它们有三个交点，
由于$f(0) = 6$，$f(-\frac{3}{2}) = 0$，所以$0 ＜ m \leq 6$，
则$-\frac{3}{2} ＜ x_{1} \leq 0 ＜ x_{2} ＜ 1 ＜ x_{3}$，
又$|\ln x_{2}| = |\ln x_{3}|$，即$-\ln x_{2} = \ln x_{3}$，所以$\ln(x_{2}x_{3}) = 0$，得$x_{2}x_{3} = 1$，故$x_{1}x_{2}x_{3} = x_{1} \in (-\frac{3}{2},0$。
8.B $g(x)$的零点即函数$f(x)$的图象与直线$y = m$的交点的横坐标，不妨设$x_{1} ＜ x_{2} ＜ x_{3}$，在同一坐标系内作出$f(x)$的大致图象及直线$y = m$，如图，
则它们有三个交点，
由于$f(0) = 6$，$f(-\frac{3}{2}) = 0$，所以$0 ＜ m \leq 6$，
则$-\frac{3}{2} ＜ x_{1} \leq 0 ＜ x_{2} ＜ 1 ＜ x_{3}$，
又$|\ln x_{2}| = |\ln x_{3}|$，即$-\ln x_{2} = \ln x_{3}$，所以$\ln(x_{2}x_{3}) = 0$，得$x_{2}x_{3} = 1$，故$x_{1}x_{2}x_{3} = x_{1} \in (-\frac{3}{2},0$。
9. (2025 安徽蚌埠固镇二中、怀远三中、五河二中联考)若角$\alpha$与$\gamma+\frac{\pi}{6}$的终边相同，角$\beta$与$\gamma-\frac{\pi}{6}$的终边关于$y$轴对称，则（
A.$\alpha-\gamma=2k\pi+\frac{\pi}{6}(k\in\mathbf{Z})$
B.$\beta+\gamma=(2k + 1)\pi+\frac{\pi}{6}(k\in\mathbf{Z})$
C.$\alpha+\beta=(4k + 1)\pi+\frac{\pi}{3}(k\in\mathbf{Z})$
D.$\alpha+\beta=(2k + 1)\pi+\frac{\pi}{3}(k\in\mathbf{Z})$
ABD
）A.$\alpha-\gamma=2k\pi+\frac{\pi}{6}(k\in\mathbf{Z})$
B.$\beta+\gamma=(2k + 1)\pi+\frac{\pi}{6}(k\in\mathbf{Z})$
C.$\alpha+\beta=(4k + 1)\pi+\frac{\pi}{3}(k\in\mathbf{Z})$
D.$\alpha+\beta=(2k + 1)\pi+\frac{\pi}{3}(k\in\mathbf{Z})$
答案：
9.ABD 因为角$\alpha$与$\gamma + \frac{\pi}{6}$的终边相同，角$\beta$与$\gamma - \frac{\pi}{6}$的终边关于$y$轴对称，
所以$\alpha = (\gamma + \frac{\pi}{6}) + 2k_{1}\pi(k_{1} \in \mathbf{Z})$，$\beta + (\gamma - \frac{\pi}{6}) = (2k_{2} + 1)\pi(k_{2} \in \mathbf{Z})$，
所以$\alpha - \gamma = 2k_{1}\pi + \frac{\pi}{6}(k_{1} \in \mathbf{Z})$①，$\beta + \gamma = (2k_{2} + 1)\pi + \frac{\pi}{6}(k_{2} \in \mathbf{Z})$②，A、B正确；
①+②得$\alpha + \beta = \frac{\pi}{3} + 2k_{1}\pi + (2k_{2} + 1)\pi = [2(k_{1} + k_{2}) + 1]\pi + \frac{\pi}{3} = (2k + 1)\pi + \frac{\pi}{3}$，$k_{1}$，$k_{2}$，$k \in \mathbf{Z}$，C错误，D正确。
所以$\alpha = (\gamma + \frac{\pi}{6}) + 2k_{1}\pi(k_{1} \in \mathbf{Z})$，$\beta + (\gamma - \frac{\pi}{6}) = (2k_{2} + 1)\pi(k_{2} \in \mathbf{Z})$，
所以$\alpha - \gamma = 2k_{1}\pi + \frac{\pi}{6}(k_{1} \in \mathbf{Z})$①，$\beta + \gamma = (2k_{2} + 1)\pi + \frac{\pi}{6}(k_{2} \in \mathbf{Z})$②，A、B正确；
①+②得$\alpha + \beta = \frac{\pi}{3} + 2k_{1}\pi + (2k_{2} + 1)\pi = [2(k_{1} + k_{2}) + 1]\pi + \frac{\pi}{3} = (2k + 1)\pi + \frac{\pi}{3}$，$k_{1}$，$k_{2}$，$k \in \mathbf{Z}$，C错误，D正确。
10. (2025 江苏南京师范大学附属中学月考)已知$\frac{5\pi}{4}\lt\alpha\lt\frac{3\pi}{2}$，则下列说法正确的是（
A.若$\tan\alpha=3$，则$\cos\alpha=-\frac{\sqrt{10}}{10}$
B.$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}}$
C.若$\sin\alpha\cos\alpha=\frac{2}{5}$，则$\tan\alpha=2$
D.$\tan\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)\tan\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)=-1$
AC
）A.若$\tan\alpha=3$，则$\cos\alpha=-\frac{\sqrt{10}}{10}$
B.$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}}$
C.若$\sin\alpha\cos\alpha=\frac{2}{5}$，则$\tan\alpha=2$
D.$\tan\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)\tan\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)=-1$
答案：
10.AC 对于A，因为$\frac{5\pi}{4} ＜ \alpha ＜ \frac{3\pi}{2}$，所以$\cos\alpha ＜ 0$，故$\cos\alpha = - \sqrt{\frac{\cos^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha + \sin^{2}\alpha}} = - \sqrt{\frac{1}{1 + \tan^{2}\alpha}} = - \frac{\sqrt{10}}{10}$，故A正确；
对于B，由A知$\cos\alpha ＜ 0$，故$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = - \frac{\sin\alpha}{\sqrt{1 - \sin^{2}\alpha}}$，故B错误；
对于C，因为$\sin\alpha\cos\alpha = \frac{2}{5}$，所以$\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha} = \frac{2}{5}$，
故$\frac{\tan\alpha}{\tan^{2}\alpha + 1} = \frac{2}{5}$，故$2\tan^{2}\alpha - 5\tan\alpha + 2 = 0$，故$\tan\alpha = 2$或$\tan\alpha = \frac{1}{2}$，
因为$\frac{5\pi}{4} ＜ \alpha ＜ \frac{3\pi}{2}$，所以$\tan\alpha ＞ 1$，故$\tan\alpha = 2$，故C正确；
对于D，$\tan(\frac{\pi}{4} - \alpha)\tan(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \frac{\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha)}{\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha)\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)} = \frac{\frac{\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha)}{\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha)}}{1} = 1$，故D错误。
对于B，由A知$\cos\alpha ＜ 0$，故$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = - \frac{\sin\alpha}{\sqrt{1 - \sin^{2}\alpha}}$，故B错误；
对于C，因为$\sin\alpha\cos\alpha = \frac{2}{5}$，所以$\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha} = \frac{2}{5}$，
故$\frac{\tan\alpha}{\tan^{2}\alpha + 1} = \frac{2}{5}$，故$2\tan^{2}\alpha - 5\tan\alpha + 2 = 0$，故$\tan\alpha = 2$或$\tan\alpha = \frac{1}{2}$，
因为$\frac{5\pi}{4} ＜ \alpha ＜ \frac{3\pi}{2}$，所以$\tan\alpha ＞ 1$，故$\tan\alpha = 2$，故C正确；
对于D，$\tan(\frac{\pi}{4} - \alpha)\tan(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \frac{\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha)}{\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha)\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)} = \frac{\frac{\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha)}{\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha)}}{1} = 1$，故D错误。
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