《2025年周末C计划高中数学必修第一册人教版》

9. （2025 山东德州期末）定义不超过 $ x $ 的最大整数称为 $ x $ 的整数部分，记作 $ [x] $，$ x - [x] $ 为 $ x $ 的小数部分，记作 $ \{ x \} $，$ f(x) = \{ x \} $ 称为小数函数，下列说法错误的是（ ）

A.$ f\left( x + \frac{1}{2} \right) = f(x) $
B.小数函数在定义域内单调递增
C.$ g(x) = x \{ x \} $ 为奇函数
D.方程 $ 2x \{ x \} - x - 1 = 0 $ 的所有实根之和为 $ -1 $

答案：
9.ABC 对于A，根据题意，得$f(x)=\{x\}$，$f(x+\frac{1}{2})=\{x+\frac{1}{2}\}$，当$x=\frac{1}{2}$时，$f(x+\frac{1}{2})=\{1\}=1-[1]=1-1=0$，$f(x)=\{\frac{1}{2}\}=\frac{1}{2}-[ \frac{1}{2}]=\frac{1}{2}$，所以$f(x+\frac{1}{2})\neq f(x)$，故A中说法错误；
对于B，易知$f(1)=\{1\}=1-[1]=0$，$f(2)=\{2\}=2-[2]=0$，所以$f(1)=f(2)$，故小数函数在定义域内不单调递增，故B中说法错误；
对于C，$g(x)=x\{x\}=x· f(x)=x(x-[x])=x^{2}-x·[x]$，其定义域为$\mathbf{R}$，因为$g(-\frac{1}{3})=(-\frac{1}{3})^{2}-(-\frac{1}{3})[-\frac{1}{3}]=\frac{1}{9}-\frac{1}{3}×(-1)=\frac{2}{9}$，$g(\frac{1}{3})=(\frac{1}{3})^{2}-\frac{1}{3}[\frac{1}{3}]=\frac{1}{9}-0=\frac{1}{9}$，所以$g(-\frac{1}{3})\neq -g(\frac{1}{3})$，所以$g(x)=x\{x\}$不是奇函数，故C中说法错误；
对于D，$x=0$显然不是方程$2x\{x\}-x-1=0$的根，当$x\neq0$时，方程可化为$2(x-[x])=1+\frac{1}{x}$，在同一平面直角坐标方程图的象根交等点价的横于两坐标函数
系内作出函数$y=2(x-[x])$与$y=1+\frac{1}{x}$的图象，如图：

由图知，两函数图象的交点除$(-1,0)$之外，均关于$(0,1)$对称，故方程$2x\{x\}-x-1=0$的所有实根之和为$-1$，故D中说法正确.

10. （2025 北京石景山月考）已知函数 $ f(x) = \begin{cases} x^{2} - x, & x \geq a, \\ ax - 1, & x ＜ a. \end{cases} $
（1）当 $ a = -1 $ 时，函数 $ f(x) $ 的单调递减区间是$(-\infty,-1),\left[-1,\frac{1}{2}\right]$；
（2）若 $ f(x) $ 存在最小值，则实数 $ a $ 的取值范围是$\left(-\infty,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right]\cup\{0\}$。

答案： 10. 答案
(1)$(-\infty,-1),\left[-1,\frac{1}{2}\right]$
(2)$\left(-\infty,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right]\cup\{0\}$
解析
(1)当$a=-1$时，$f(x)=\begin{cases}-x-1,x＜-1,\\x^{2}-x,x\geq-1.\end{cases}$
当$x＜-1$时，$f(x)=-x-1$，此时单调递减；
当$x\geq-1$时，$f(x)=x^{2}-x=(x-\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}$，其在$\left[-1,\frac{1}{2}\right]$上单调递减，在$\left[\frac{1}{2},+\infty\right)$上单调递增.
因为当$x=-1$时，$-x-1＜x^{2}-x$，
所以函数$f(x)$的单调递减区间为$(-\infty,-1),\left[-1,\frac{1}{2}\right]$.
(2)函数$f(x)=\begin{cases}ax-1,x＜a,\\x^{2}-x,x\geq a.\end{cases}=\begin{cases}(x-\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4},x\geq a.\end{cases}$
①若$a＜0$，则当$x＜a$时，$f(x)$单调递减，此时$f(x)＞f(a)=a^{2}-1$；当$x\geq a$时，$f(x)=(x-\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}\geq f(\frac{1}{2})=-\frac{1}{4}$.
因为$f(x)$存在最小值，所以$a^{2}-1\geq-\frac{1}{4}$，即$a^{2}\geq\frac{3}{4}$，解得$a\geq\frac{\sqrt{3}}{2}$或$a\leq-\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$a\leq-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
②若$a=0$，则$f(x)=\begin{cases}-1,x＜0,\\x^{2}-x,x\geq0.\end{cases}$
当$x\geq0$时，$f(x)=(x-\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}\geq f(\frac{1}{2})=-\frac{1}{4}$，故函数$f(x)$的最小值为$-1$.
③若$a＞0$，则当$x＜a$时，$f(x)$单调递增，此时$f(x)＜f(a)=a^{2}-1$，所以$f(x)$不存在最小值，不符合题意.
综上，实数$a$的取值范围是$\left(-\infty,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right]\cup\{0\}$.
易错警示
1.分段函数单调时，务必要考虑分界点处的函数值.
2.分段函数有最值，一定要在整个定义域上有最值.

11. （2024 山东名校考试联盟联考）已知幂函数 $ f(x) = (m^{2} + 2m - 2)x^{m + 2} $ 在 $ (0, +\infty) $ 上单调递减，$ g(x) = -x^{2} + 2|x| + t $，对于任意的 $ x \in [-2, -1] $，都存在 $ x_{1}, x_{2} \in [1, 2] $，使得 $ f(x) \geq f(x_{1}) $，$ g(x) \geq g(x_{2}) $，若 $ f(x_{1}) = g(x_{2}) $，则 $ t = $-1。

答案： 11. 答案 -1
解析 由幂函数的定义可知$m^{2}+2m-2=1$，即$m^{2}+2m-3=0$，解得$m=-3$或$m=1$.
$\because f(x)$在$(0,+\infty)$上为减函数，$\therefore m+2＜0$，$\therefore m=-3$，$\therefore f(x)=x^{-1}$.
由题意知，当$x\in[-2,-1]$时，$f(x)_{\min}=f(x_{1}),g(x)_{\min}=g(x_{2})$.
则$f(x)_{\min}=f(x_{1})=f(-1)=-1$.
当$x\in[-2,-1]$时，$g(x)=-x^{2}+2\vert x\vert+t=-(x+1)^{2}+1+t$，函数$g(x)$在$[-2,-1]$上单调递增，$\therefore g(x)_{\min}=g(x_{2})=g(-2)=t$，
由$f(x_{1})=g(x_{2})$，得$t=-1$.

12. （13 分）（2025 浙江宁波余姚中学月考）学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的研究调查中，发现在 40 分钟的一节课中，注意力指数 $ y $ 与听课时间 $ x $（单位：分钟）之间的关系如图所示，当 $ x \in (0, 12 $ 时，图象是二次函数图象的一部分，顶点为 $ A $，听课时间为 12 分钟与听课时间为 8 分钟时的注意力指数都为 78，听课时间为 4 分钟时的注意力指数为 62；当 $ x \in (12, 40 $ 时，图象是线段 $ BC $，其中 $ C(40, 50) $。
（1）求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式；
（2）根据专家研究，当注意力指数大于 62 时，学习效果最佳，要使学生学习效果最佳，教师的核心内容应安排在什么时间段讲解？

答案： 12. 解析
(1)由于听课时间为12分钟与听课时间为8分钟时的注意力指数都为78，$\frac{12+8}{2}=10$，所以顶点A的横坐标为10.
当$x\in(0,12$时，设$y=a(x-10)^{2}+m(a\neq0)$，将$(8,78)$，$(4,62)$代入，得$\begin{cases}4a+m=78,\\36a+m=62,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2},\\m=80,\end{cases}$
所以$y=-\frac{1}{2}(x-10)^{2}+80$.
当$x\in(12,40$时，设$y=kx+b(k\neq0)$，将$(12,78)$，$(40,50)$代入，得$\begin{cases}12k+b=78,\\40k+b=50,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=90,\end{cases}$所以$y=-x+90$.
综上，$y=\begin{cases}-\frac{1}{2}(x-10)^{2}+80,x\in(0,12,\\-x+90,x\in(12,40.\end{cases}$
(2)当$x\in(0,12$时，令$-\frac{1}{2}(x-10)^{2}+80＞62$，得$4＜x\leq12$.
当$x\in(12,40$时，令$-x+90＞62$，得$12＜x＜28$.
综上，教师在$x\in(4,28)$内安排讲解核心内容，能使得学生学习效果最佳.

13. （17 分）（2025 湖北宜昌协作体期中）三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数 $ y = Ax^{2} + \frac{B}{x}(A ＞ 0, B ＞ 0) $ 的图象恰如其形。牛顿最早研究了函数 $ f(x) = x^{2} + \frac{2}{x} $ 的图象，所以也称 $ f(x) $ 的图象为牛顿三叉戟曲线。
（1）判断 $ f(x) $ 在 $ (1, +\infty) $ 上的单调性，并用定义证明；
（2）已知两个不相等的正数 $ m, n $ 满足 $ f(m) = f(n) $，求证：$ mn ＜ 1 $；
（3）是否存在实数 $ a, b $，使得 $ f(x) $ 在 $ [a, b] $ 上的值域是 $ [3a, 3b] $？若存在，求出所有 $ a, b $ 的值；若不存在，请说明理由。

答案： 13. 解析
(1)$f(x)$在$(1,+\infty)$上单调递增.
证明如下：任取$x_{1},x_{2}\in(1,+\infty)$，且$x_{1}＜x_{2}$，则$f(x_{1})-f(x_{2})=\left(x_{1}^{2}+\frac{2}{x_{1}}\right)-\left(x_{2}^{2}+\frac{2}{x_{2}}\right)=(x_{1}^{2}-x_{2}^{2})+\left(\frac{2}{x_{1}}-\frac{2}{x_{2}}\right)=(x_{1}-x_{2})\left(x_{1}+x_{2}-\frac{2}{x_{1}x_{2}}\right)$
$\because1＜x_{1}＜x_{2},\therefore x_{1}-x_{2}＜0,x_{1}+x_{2}＞2＞\frac{2}{x_{1}x_{2}},\therefore x_{1}+x_{2}-\frac{2}{x_{1}x_{2}}＞0$，
$\therefore f(x_{1})-f(x_{2})＜0$，即$f(x_{1})＜f(x_{2})$，$\therefore f(x)$在$(1,+\infty)$上单调递增.
(2)证明：由$f(m)=f(n)$得$m^{2}+\frac{2}{m}=n^{2}+\frac{2}{n}$，化简，得$m^{2}-n^{2}=\frac{2}{n}-\frac{2}{m}=\frac{2(m-n)}{mn}$，又$m-n\neq0,\therefore mn(m+n)=2$.
$\because m+n＞2\sqrt{mn},\therefore2=mn(m+n)＞2(\sqrt{mn})^{3},\therefore mn＜1$.
(3)设存在满足题意的实数$a,b$.
$\because0\notin[a,b],\therefore a＜b＜0$或$0＜a＜b$.
当$0＜a＜b$时，由
(1)同理可证，$f(x)$在$(0,1)$上单调递减，$\therefore f(x)$在$(0,+\infty)$上的最小值为$f(1)=3$，故$3a\geq3$，$\therefore a\geq1,\therefore f(x)$在$[a,b]$上单调递增，$\therefore\begin{cases}f(a)=3a,\\f(b)=3b,\end{cases}$
$b$是$f(x)=3x$在$(0,+\infty)$上的两根.
由$f(x)=3x$，得$x^{2}+\frac{2}{x}=3x$，即$x^{3}-3x^{2}+2=0$，即$(x-1)(x^{2}-2x-2)=0$，又$b＞a\geq1,\therefore a=1,b=\sqrt{3}+1$.
当$a＜b＜0$时，由
(1)同理可证，$f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递减，$\therefore f(x)$在$[a,b]$上的最小值为$f(b)=3a$，即$\begin{cases}f(a)=3b,\\f(b)=3a,\end{cases}$即$\begin{cases}a^{2}+\frac{2}{a}=3b,\\b^{2}+\frac{2}{b}=3a,\end{cases}$即$\begin{cases}a^{3}+2=3ab,\\b^{3}+2=3ab,\end{cases}$
$\therefore a^{3}+2=b^{3}+2,\therefore a^{3}=b^{3}$，$\therefore a=b$，与$a＜b$矛盾.
综上，存在满足题意的实数$a,b$，此时$a=1,b=\sqrt{3}+1$.