《2025年周末C计划高中数学必修第一册人教版》

1. (2025 广东肇庆期末)已知正实数 $ x,y $ 满足 $ 3x + y = 2xy $，则 $ x + 3y $ 的最小值为（8）
A.6
B.7
C.8
D.9

答案： 1.C $\because 3x + y = 2xy$,$\therefore \frac{3}{y} + \frac{1}{x} = 2$,
$\therefore x + 3y = \frac{1}{2}(x + 3y)\left( \frac{1}{x} + \frac{3}{y} \right) = \frac{1}{2}\left( 10 + \frac{3x}{y} + \frac{3y}{x} \right) \geqslant \frac{1}{2}\left( 10 + 2\sqrt{\frac{3x}{y} · \frac{3y}{x}} \right) = \frac{1}{2} × (10 + 6) = 8$,当且仅当$\frac{3x}{y} = \frac{3y}{x}$,
即$x = y = 2$时,等号成立,故$x + 3y$的最小值为8.

2. (2025 广东揭阳二中月考)已知 $ x ＜ 0 $ 时，关于 $ x $ 的不等式 $ x + \frac{4}{x} + m \leq 0 $ 恒成立，则实数 $ m $ 的取值范围为（D）
A.$ \{ m|m \geq -4 \} $
B.$ \{ m|m \geq 4 \} $
C.$ \{ m|m \leq -4 \} $
D.$ \{ m|m \leq 4 \} $

答案： 2.D 因为关于$x$的不等式$x + \frac{4}{x} + m \leqslant 0$恒成立,所以
$m \leqslant - \left( x + \frac{4}{x} \right)$恒成立,因为$x ＜ 0$,所以$- x ＞ 0$,则$- \left( x + \frac{4}{x} \right) = ( - x) + \left( - \frac{4}{x} \right) \geqslant 2\sqrt{( - x)\left( - \frac{4}{x} \right)} = 4$,当且仅当
$x = - 2$时等号成立,所以$m \leqslant 4$.
易错警示
注意用基本不等式求最值时,必须满足“一正二定三相等”,这三个条件缺一不可.

3. (2025 广东茂名模拟)下列命题错误的是（A）
A.若 $ a ＞ b $，则 $ a^2 ＞ b^2 $
B.若 $ a ＜ b ＜ 0 $，则 $ b^2 ＜ ab ＜ a^2 $
C.若 $ a ＞ b ＞ 0 $，$ \frac{b}{a} ＞ \frac{b + m}{a + m} $，则 $ m ＜ 0 $
D.若 $ 2 ＜ a + b ＜ 3 $，$ -1 ＜ a - b ＜ 2 $，则 $ 3 ＜ 3a + b ＜ 8 $

答案： 3.A 对于A,解法一:$a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$,因为$a ＞ b$,所
以$a - b ＞ 0$,但$a + b$的符号未知,故$a^{2} ＞ b^{2}$不一定成立,故
A中命题错误；
解法二（特殊值法）:取$a = 1,b = - 2$,满足$a ＞ b$,但是$a^{2} ＜$
$b^{2}$,故A中命题错误；
对于B,因为$a ＜ b ＜ 0$,所以不等式$a ＜ b$两边同时乘负数
$a$,不等号方向改变,即$a^{2} ＞ ab$,
同理,不等式$a ＜ b$两边同时乘负数$b$,不等号方向改变,
即$ab ＞ b^{2}$,所以$b^{2} ＜ ab ＜ a^{2}$,故B中命题正确；
对于C,$\frac{b}{a} = \frac{b + m}{a + m} = \frac{b(a + m) - a(b + m)}{a(a + m)} = \frac{bm - am}{a(a + m)} =$
$\frac{m(b - a)}{a(a + m)}$,因为$\frac{b}{a} ＞ \frac{b + m}{a + m}$,所以$\frac{m(b - a)}{a(a + m)} ＞ 0$,
因为$a ＞ b ＞ 0$,所以$b - a ＜ 0$,故$m(a + m) ＜ 0$,所以$- a ＜ m ＜ 0$,
故C中命题正确；
对于D,设$3a + b = x(a + b) + y(a - b)$,即$3a + b = (x + y)a +$
$(x - y)b$,则$\begin{cases}x + y = 3,\\x - y = 1,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 2,\\y = 1,\end{cases}$
所以$3a + b = 2(a + b) + (a - b)$,
因为$2 ＜ a + b ＜ 3$,所以$4 ＜ 2(a + b) ＜ 6$,
又$- 1 ＜ a - b ＜ 2$,所以$3 ＜ 2(a + b) + (a - b) ＜ 8$,
所以$3 ＜ 3a + b ＜ 8$,故D中命题正确.

4. (2025 山西省重点中学模拟)从坐标平面的四个象限中取若干点，若这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列对这些点的判断中一定正确的是（D）
A.第一象限内的点比第二象限内的点多
B.第二象限内的点比第三象限内的点多
C.第一象限内的点比第三象限内的点少
D.第二象限内的点比第四象限内的点少

答案： 4.D 设这些点中第一象限内的点有$x$个,第二象限内的点
有$y$个,第三象限内的点有$z$个,第四象限内的点有$w$个,
则由题意得$x + w ＞ y + z,z + w ＞ x + y$,两式相加可得$w ＞ y$,即
第二象限内的点比第四象限内的点少.
方法总结
用不等式(组)表示不等关系的步骤
(1)审清题意,明确表示不等关系的关键词语；
(2)适当设未知数表示变量；
(3)用不等号表示关键词语,并连接变量得不等
式(组)；
(4)用不等式的性质得结论.

5. (2025 广东汕尾期末)已知 $ 3 ＜ a + b ＜ 4 $，$ 1 ＜ a - b ＜ 2 $，则 $ 2ab $ 的取值范围是（D）

A.$ 4 ＜ 2ab ＜ 18 $
B.$ 2 ＜ 2ab ＜ 9 $
C.$ 5 ＜ 2ab ＜ 15 $
D.$ \frac{5}{2} ＜ 2ab ＜ \frac{15}{2} $

答案： 5.D 因为$\begin{cases}3 ＜ a + b ＜ 4,\\1 ＜ a - b ＜ 2,\end{cases}$所以$\begin{cases}9 ＜ (a + b)^{2} ＜ 16,\\1 ＜ (a - b)^{2} ＜ 4,\end{cases}$
即$\begin{cases}9 ＜ a^{2} + 2ab + b^{2} ＜ 16,\\1 ＜ a^{2} - 2ab + b^{2} ＜ 4,\end{cases}$
两式相加,得$5 ＜ 4ab ＜ 15$,所以$\frac{5}{2} ＜ 2ab ＜ \frac{15}{2}$,

6. (2025 河北保定中学月考)设 $ m,n $ 为正实数，若 $ \frac{1}{m} + \frac{1}{n} \leq 4 $，$ (m - n)^2 = 16(mn)^3 $，则 $ m + n $ 的取值范围为（A）
A.$ m + n = 2 $
B.$ 1 \leq m + n \leq 2 $
C.$ m + n \geq 2 $
D.$ 0 ＜ m + n ＜ 1 $ 或 $ m + n ＞ 2 $

答案： 6.A
思路点拨
根据已知式求未知式的取值范围,关键是找到
二者之间的联系,此题中,已知$m - n$满足的等式求
$m + n$的取值范围,可联想到$(m + n)^{2} = (m - n)^{2} + 4mn$.
解析 由$(m - n)^{2} = 16(mn)^{3}$,得$(m + n)^{2} = 16(mn)^{3} +$
$4mn$,由$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} \leqslant 4$,且$m,n$均为正实数,可得$m + n \leqslant$
$4mn$,于是$16(mn)^{3} + 4mn \leqslant 16(mn)^{2}$,故$(2mn - 1)^{2} \leqslant 0$,
所以$mn = \frac{1}{2}$,所以$(m + n)^{2} = 16 × \left( \frac{1}{2} \right)^{3} + 4 × \frac{1}{2} = 4$,解得
$m + n = 2(m + n = - 2$舍去).

7. (2025 河南青桐鸣大联考)设 $ \max\{ a,b,c,d \} $ 表示 $ a,b,c,d $ 中最大的数，已知 $ x,y $ 均为正数，则 $ \max\left\{ 4x,y,\frac{1}{x},\frac{9}{y} \right\} $ 的最小值为（D）
A.$ \frac{3}{2} $
B.2
C.$ \frac{5}{2} $
D.3

答案： 7.D 设$\max\left\{ 4x,y,\frac{1}{x},\frac{9}{y} \right\} = M$.
因为$x$为正数,所以$4x + \frac{1}{x} \geqslant 2\sqrt{4x · \frac{1}{x}} = 4$,当且仅当
$4x = \frac{1}{x}$,即$x = \frac{1}{2}$时等号成立,则$\max\left\{ 4x,\frac{1}{x} \right\} \geqslant \frac{4}{2} = 2$.
因为$y$为正数,所以$y + \frac{9}{y} \geqslant 2\sqrt{y · \frac{9}{y}} = 6$,当且仅当$y =$
$\frac{9}{y}$,即$y = 3$时等号成立,则$\max\left\{ y,\frac{9}{y} \right\} \geqslant \frac{6}{2} = 3$.
$\max\left\{ 4x,y,\frac{1}{x},\frac{9}{y} \right\} = \max\left\{ \max\left\{ 4x,\frac{1}{x} \right\},\max\left\{ y,\frac{9}{y} \right\} \right\} \geqslant 3$,当$\begin{cases} y = 3,\\4x \leqslant 3, \end{cases}$即$\begin{cases} y = 3,\\ \frac{1}{x} \leqslant 3, \end{cases} \frac{1}{3} \leqslant x \leqslant \frac{3}{4}$时等号成立,所以
$M$的最小值为3.

8. (2025 河南商丘期末)若 $ x ＜ -y ＜ z $，且 $ x + z = y $，则（BC）
A.$ xy ＜ 0 $
B.$ xz ＜ 0 $
C.$ -2 ＜ \frac{z}{x} ＜ -\frac{1}{2} $
D.$ yz ＞ 0 $

答案： 8.BC 由$x + z = y$得$x = y - z$.
又$x ＜ - y ＜ z$,所以$y - z ＜ - y ＜ z$.
由$y - z ＜ - y$得$2y ＜ z$,即$y ＜ \frac{z}{2}$.
由$- y ＜ z$得$y ＞ - z$.
所以$- z ＜ y ＜ \frac{z}{2}$,所以$z ＞ 0$.
由$y ＜ \frac{z}{2}$得$x = y - z ＜ \frac{z}{2} - z = - \frac{z}{2} ＜ 0$,所以$xz ＜ 0$,故B正确.
取$x = - 3,y = - 1,z = 2$,满足$x ＜ - y ＜ z$和$x + z = y$,
但$xy ＞ 0,yz ＜ 0$,故A,D错误.
$x ＜ - \frac{z}{2}$的两边同时除以$- \frac{1}{2}x$,得$- 2 ＜ \frac{z}{x}$.
由$- y ＜ z,x + z = y$,得$- x - z ＜ z$,即$- x ＜ 2z$,两边同时除以$2x$,
得$\frac{z}{x} ＜ - \frac{1}{2}$.
所以$- 2 ＜ \frac{z}{x} ＜ - \frac{1}{2}$,故C正确.

9. (2025 安徽江淮十校期中联考)已知 $ a ＞ 0 $，$ b ＞ 0 $，则 $ a + b \leq 2 $ 的一个必要不充分条件是（BD）
A.$ a \leq 1 $ 且 $ b \leq 1 $
B.$ ab \leq 1 $
C.$ a^2 + b^2 \leq 2 $
D.$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2 $

答案： 9.BD 对于A,当$a \leqslant 1$且$b \leqslant 1$时,$a + b \leqslant 2$成立,反之不
成立,如$a = \frac{1}{2},b = \frac{3}{2}$,所以“$a \leqslant 1$且$b \leqslant 1$”是“$a + b \leqslant 2$”
的充分不必要条件,A错误；
对于B,因为$2 \geqslant a + b \geqslant 2\sqrt{ab}$,所以$ab \leqslant 1$(当且仅当$a =$
$b$时等号成立),
当$a = \frac{5}{2},b = \frac{1}{4}$时,满足$ab \leqslant 1$,但$a + b ＞ 2$,所以“$ab \leqslant 1$”
是“$a + b \leqslant 2$”的必要不充分条件,B正确；
对于C,因为$2 \geqslant a^{2} + b^{2} \geqslant \frac{(a + b)^{2}}{2}$,所以$a + b \leqslant 2$(当且仅
当$a = b$时等号成立),
当$a = \frac{3}{2},b = \frac{1}{4}$时,满足$a + b \leqslant 2$,但$a^{2} + b^{2} ＞ 2$,所以“$a^{2} +$
$b^{2} \leqslant 2$”是“$a + b \leqslant 2$”的充分不必要条件,C错误；
对于D,当$a = \frac{1}{2},b = 2$时,满足$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geqslant 2$,但$a + b ＞ 2$,
因为$(a + b)\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) = 2 + \frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geqslant 2 + 2\sqrt{\frac{b}{a} · \frac{a}{b}} = 4$当
且仅当$\frac{b}{a} = \frac{a}{b}$,即$a = b$时等号成立,$a + b \leqslant 2$,所以$\frac{1}{a} +$
$\frac{1}{b} \geqslant 2$是“$a + b \leqslant 2$”的必要不充分条
件,D正确.

10. (2025 浙江宁波镇海中学期中)已知 $ a,b $ 为正实数，$ a + b = 2 $，则（ACD）
A.$ ab $ 的最大值为 1
B.$ a^2 + b^2 $ 的最大值为 2
C.$ \frac{a^2}{a + 1} + \frac{b^2}{b + 2} $ 的最小值为 $ \frac{4}{5} $
D.$ \frac{b}{a} + \frac{2}{b} $ 的最小值为 3

答案： 10.ACD 对于A,因为$a,b$为正实数,$a + b = 2$,所以$ab \leqslant$
$\left( \frac{a + b}{2} \right)^{2} = 1$,当且仅当$a = b = 1$时,等号成立,故$ab$的最
大值为1,故A正确；
对于B,$a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2ab = 4 - 2ab$,由A知$0 ＜ ab \leqslant 1$,
所以$2 \leqslant 4 - 2ab ＜ 4$,所以$2 \leqslant a^{2} + b^{2} ＜ 4$,所以$a^{2} + b^{2}$的最
小值为2,故B不正确；
对于C,$\frac{a^{2}}{a + 1} + \frac{b^{2}}{b + 2} = \frac{(a^{2} - 1) + 1}{a + 1} + \frac{(b^{2} - 4) + 4}{b + 2} = a - 1 + \frac{1}{a + 1} +$
$b - 2 + \frac{4}{b + 2} = a + b - 3 + \frac{1}{a + 1} + \frac{4}{b + 2}$
因为$a + b = 2$,所以$a + 1 + b + 2 = 5$,
则$\frac{1}{a + 1} + \frac{4}{b + 2} = \frac{1}{5}\left\lbrack \frac{1}{a + 1} + \frac{4}{b + 2} \right\rbrack[(a + 1) + (b + 2)] = \frac{1}{5}\left( 5 + \frac{b + 2}{a + 1} + \frac{4(a + 1)}{b + 2} \right) \geqslant \frac{1}{5}\left( 5 + 2\sqrt{\frac{b + 2}{a + 1} · \frac{4(a + 1)}{b + 2}} \right) = \frac{9}{5}$,
当且仅当$\frac{b + 2}{a + 1} = \frac{4(a + 1)}{b + 2}$且$a + b = 2$,即$a = \frac{2}{3},b = \frac{4}{3}$时,等
号成立,故$\frac{a^{2}}{a + 1} + \frac{b^{2}}{b + 2}$的最小值为$\frac{9}{5} - 1 = \frac{4}{5}$,故C正确；
对于D,$\frac{b}{a} + \frac{2}{b} = \frac{b}{a} + \frac{a + b}{b} + 1 \geqslant 2 + 1 = 3$,当且仅当
$a = b = 1$时,等号成立,故$\frac{b}{a} + \frac{2}{b}$的最小值为3,故D正确.

11. (2025 山西太原质检)已知实数 $ x,y $ 满足 $ 1 \leq x \leq 6 $，$ -4 \leq y \leq -1 $，若 $ k + x - 2y \leq 0 $ 恒成立，则 $ k $ 的最大值为-14；若 $ -3x + ky \geq 0 $ 有解，则 $ k $ 的最大值为$-\frac{3}{4}$。

答案： 11. 答案 $-14; - \frac{3}{4}$
思路点拨
分离参数,将问题转化为求含$x$和$y$的代数式
的最值问题.其中恒成立问题要满足“大于或等于最
大值,小于或等于最小值”,有解问题则要满足“大
于或等于最小值,小于或等于最大值”.
解析 若$k + x - 2y \leqslant 0$恒成立,则$k \leqslant 2y - x$恒成立,
由$- 4 \leqslant y \leqslant - 1$,得$- 8 \leqslant 2y \leqslant - 2$,
由$1 \leqslant x \leqslant 6$,得$- 6 \leqslant - x \leqslant - 1$,所以$- 14 \leqslant 2y - x \leqslant - 3$,
故$k \leqslant - 14$,所以$k$的最大值为$- 14$.
由$- 3x + ky \geqslant 0$,$- 4 \leqslant y \leqslant - 1$得$k \leqslant \frac{3x}{y}$,$- 1 \leqslant \frac{1}{y} \leqslant - \frac{1}{4}$,
所以$\frac{1}{4} \leqslant - \frac{1}{y} \leqslant 1$,
由$1 \leqslant x \leqslant 6$,得$3 \leqslant 3x \leqslant 18$,所以$\frac{3}{4} \leqslant \frac{3x}{y} \leqslant 18$,
所以$- 18 \leqslant \frac{3x}{y} \leqslant - \frac{3}{4}$,所以$k \leqslant - \frac{3}{4}$,故$k$的最大值
为$- \frac{3}{4}$.
易错警示
1.同向不等式两边可以相加,但不能相减.
2.同向不等式两边相加时,对不等号两侧式子
的符号没有要求；但同向不等式两边相乘时,要求不
等号两侧式子的符号均为正,若正负不确定,则需要
进行分类讨论.
3.两边都是正值的同号不等式的两边能相乘,
但不能相除.