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2025年周末C计划高中数学必修第一册人教版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年周末C计划高中数学必修第一册人教版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
10. (2025 江苏苏州吴江中学月考)已知命题$p:\forall x\in\{x|2\leq x\leq 3\},x^{2}+2x + a\geq 0$，则命题$p$的否定为
$\exists x\in\{x|2\leqslant x\leqslant3\},x^{2}+2x+a＜0$
；若命题$p$为真命题，则实数$a$的取值范围为$\{a|a\geqslant-8\}$
.
答案：
10.答案 $\exists x\in\{x|2\leqslant x\leqslant3\},x^{2}+2x+a＜0;\{a|a\geqslant-8\}$
解析 命题$p:\forall x\in\{x|2\leqslant x\leqslant3\},x^{2}+2x+a\geqslant0$的否定为$\exists x\in\{x|2\leqslant x\leqslant3\},x^{2}+2x+a＜0.$
全称量词命题的否定是存在量词命题
若命题$p$为真命题，则$x^{2}+2x+a\geqslant0$在$x\in\{x|2\leqslant x\leqslant3\}$上恒成立.易知函数$y=x^{2}+2x+a$的图象开口向上，对称轴方程为$x=-1$,所以当$x=2$时，$y=x^{2}+2x+a$取得最小值，为$8+a$,可得$8+a\geqslant0$,即$a\geqslant-8$,所以实数$a$的取值范围为$\{a|a\geqslant-8\}$.
方法总结
含量词的命题的否定：改量词，否结论.
解析 命题$p:\forall x\in\{x|2\leqslant x\leqslant3\},x^{2}+2x+a\geqslant0$的否定为$\exists x\in\{x|2\leqslant x\leqslant3\},x^{2}+2x+a＜0.$
全称量词命题的否定是存在量词命题
若命题$p$为真命题，则$x^{2}+2x+a\geqslant0$在$x\in\{x|2\leqslant x\leqslant3\}$上恒成立.易知函数$y=x^{2}+2x+a$的图象开口向上，对称轴方程为$x=-1$,所以当$x=2$时，$y=x^{2}+2x+a$取得最小值，为$8+a$,可得$8+a\geqslant0$,即$a\geqslant-8$,所以实数$a$的取值范围为$\{a|a\geqslant-8\}$.
方法总结
含量词的命题的否定：改量词，否结论.
11. (2025 辽宁丹东凤城中学月考)已知命题$p$：方程$ax^{2}+4x - 2 = 0$至少有一个正实根，若“$\frac{1}{2}a - 1\gt m$”成立的充分条件是“$p$为真命题”，则实数$m$的取值范围是
$m＜-2$
.
答案：
11.答案 $m＜-2$
解析 命题$p$:方程$ax^{2}+4x-2=0$至少有一个正实根为真命题，可分以下情况讨论：
①当$a=0$时，$4x-2=0$,解得$x=\frac{1}{2}$,符合题意.
②当$a＜0$时，$\Delta=16+8a$,
(i)令$\Delta＞0$,即$16+8a＞0$,解得$a＞-2$,故当$-2＜a＜0$时，方程有两个不相等的实根，记为$x_{1},x_{2}$,又$x_{1}+x_{2}=-\frac{4}{a}＞0,x_{1}x_{2}=-\frac{2}{a}＞0$,所以方程有两个不相等的正实根，符合题意；
(ii)令$\Delta=0$,解得$a=-2$,此时方程为$-2x^{2}+4x-2=-2(x-1)^{2}=0$,解得$x=1$(二重根)，即方程有两个相等的正实根，符合题意.
③当$a＞0$时，$\Delta=16+8a＞0$,此时方程有两个不相等的实根，记为$x_{3},x_{4}$,又$x_{3}x_{4}=-\frac{2}{a}＜0$,所以方程有一个正根和一个负根，符合题意.
综上所述，当$p$为真命题时，$a$的取值范围是$a\geqslant-2$.
由$\frac{1}{2}a-1＞m$得$a＞2m+2$,若“$\frac{1}{2}a-1＞m$”成立的充分条件是“$p$为真命题”，则$2m+2＜-2$,解得$m＜-2$.
解析 命题$p$:方程$ax^{2}+4x-2=0$至少有一个正实根为真命题，可分以下情况讨论：
①当$a=0$时，$4x-2=0$,解得$x=\frac{1}{2}$,符合题意.
②当$a＜0$时，$\Delta=16+8a$,
(i)令$\Delta＞0$,即$16+8a＞0$,解得$a＞-2$,故当$-2＜a＜0$时，方程有两个不相等的实根，记为$x_{1},x_{2}$,又$x_{1}+x_{2}=-\frac{4}{a}＞0,x_{1}x_{2}=-\frac{2}{a}＞0$,所以方程有两个不相等的正实根，符合题意；
(ii)令$\Delta=0$,解得$a=-2$,此时方程为$-2x^{2}+4x-2=-2(x-1)^{2}=0$,解得$x=1$(二重根)，即方程有两个相等的正实根，符合题意.
③当$a＞0$时，$\Delta=16+8a＞0$,此时方程有两个不相等的实根，记为$x_{3},x_{4}$,又$x_{3}x_{4}=-\frac{2}{a}＜0$,所以方程有一个正根和一个负根，符合题意.
综上所述，当$p$为真命题时，$a$的取值范围是$a\geqslant-2$.
由$\frac{1}{2}a-1＞m$得$a＞2m+2$,若“$\frac{1}{2}a-1＞m$”成立的充分条件是“$p$为真命题”，则$2m+2＜-2$,解得$m＜-2$.
12. (13 分)(2025 山西阳泉第一中学校期中)已知$p:\left\{\begin{array}{l}3x - 1\gt 5,\\x\lt 8,\end{array}\right.q:x\geq 3m + 1$或$x\leq 3m - 3$.
(1)若$p$是$q$的充分条件，求实数$m$的取值范围；
(2)若$p$是$\neg q$的必要不充分条件，求实数$m$的取值范围.
(1)若$p$是$q$的充分条件，求实数$m$的取值范围；
(2)若$p$是$\neg q$的必要不充分条件，求实数$m$的取值范围.
答案：
12.解析
(1)因为$p:\begin{cases}3x-1＞5,\\x＜8,\end{cases}$所以$p:\begin{cases}x＞2,\\x＜8,\end{cases}$即$2＜x＜8$,
因为$3m+1＞3m-3$,所以可将$q$对应的$x$的范围表示在数轴上，如下：
因为$p$是$q$的充分条件，所以作图如下：
所以$3m+1\leqslant2$或$3m-3\geqslant8$,解得$m\leqslant\frac{1}{3}$或$m\geqslant\frac{11}{3}$,即实数$m$的取值范围是$\begin{cases}m\\m\leqslant\frac{1}{3}或m\geqslant\frac{11}{3}\end{cases}$(7分)
(2)由
(1)及题意得$p:2＜x＜8,\neg q:3m-3＜x＜3m+1$,
(9分)
若$p$是$\neg q$的必要不充分条件，则$\begin{cases}3m-3\geqslant2,\\3m+1＜8\end{cases}$或$\begin{cases}3m-3＞2,\\3m+1\leqslant8,\end{cases}$解得$\frac{5}{3}\leqslant m＜\frac{7}{3}$或$\frac{5}{3}＜m\leqslant\frac{7}{3}$,(12分)
所以实数$m$的取值范围是$\begin{cases}m\frac{5}{3}\leqslant m\leqslant\frac{7}{3}\end{cases}$.(13分)
(1)因为$p:\begin{cases}3x-1＞5,\\x＜8,\end{cases}$所以$p:\begin{cases}x＞2,\\x＜8,\end{cases}$即$2＜x＜8$,
因为$3m+1＞3m-3$,所以可将$q$对应的$x$的范围表示在数轴上，如下：
因为$p$是$q$的充分条件，所以作图如下：
所以$3m+1\leqslant2$或$3m-3\geqslant8$,解得$m\leqslant\frac{1}{3}$或$m\geqslant\frac{11}{3}$,即实数$m$的取值范围是$\begin{cases}m\\m\leqslant\frac{1}{3}或m\geqslant\frac{11}{3}\end{cases}$(7分)
(2)由
(1)及题意得$p:2＜x＜8,\neg q:3m-3＜x＜3m+1$,
(9分)
若$p$是$\neg q$的必要不充分条件，则$\begin{cases}3m-3\geqslant2,\\3m+1＜8\end{cases}$或$\begin{cases}3m-3＞2,\\3m+1\leqslant8,\end{cases}$解得$\frac{5}{3}\leqslant m＜\frac{7}{3}$或$\frac{5}{3}＜m\leqslant\frac{7}{3}$,(12分)
所以实数$m$的取值范围是$\begin{cases}m\frac{5}{3}\leqslant m\leqslant\frac{7}{3}\end{cases}$.(13分)
13. (15 分)(2025 广东广州天河外国语学校月考)已知命题$p:\forall x\in\{x|-2\leq x\leq 3\},x^{2}-2x - 2a + 6\geq 0$，命题$q:\{x|a + 1\leq x\leq 2a - 1\}\subseteq\{x|-2\leq x\leq 5\}$.
(1)若命题$q$为真命题，求实数$a$的取值范围；
(2)若命题$\neg p$为真命题，求实数$a$的取值范围；
(3)若命题“$p$和$q$有且仅有一个是真命题”是假命题，求实数$a$的取值范围.
(1)若命题$q$为真命题，求实数$a$的取值范围；
(2)若命题$\neg p$为真命题，求实数$a$的取值范围；
(3)若命题“$p$和$q$有且仅有一个是真命题”是假命题，求实数$a$的取值范围.
答案：
13.解析
(1)对于命题$q:\{x|a+1\leqslant x\leqslant2a-1\}\subseteq\{x|-2\leqslant x\leqslant5\}$,
当$\{x|a+1\leqslant x\leqslant2a-1\}=\varnothing$时，$a+1＞2a-1$,解得$a＜2$,满足题意；
当$\{x|a+1\leqslant x\leqslant2a-1\}\neq\varnothing$时，$\begin{cases}a+1\leqslant2a-1,\\a+1\geqslant-2,\\2a-1\leqslant5,\end{cases}$解得$2\leqslant a\leqslant3$.(3分)
综上可知，实数$a$的取值范围为$a\leqslant3$.(6分)
(2)解法一：命题$\neg p$为真命题，即$\exists x\in\{x|-2\leqslant x\leqslant3\},x^{2}-2x-2a+6＜0$为真命题，易知函数$y=x^{2}-2x-2a+6$的图象开口向上，对称轴方程为$x=1$,所以当$x=1$时，$y=x^{2}-2x-2a+6$取得最小值，为$-2a+5$,故$-2a+5＜0$,解得$a＞\frac{5}{2}$.(9分)
因为命题$\neg p$为真命题，所以命题$p$为假命题，所以$a＞\frac{5}{2}$.(9分)
(3)由
(1)知，当命题$q$为真命题时，$a\leqslant3$,由
(2)知，当命题$p$为真命题时，$a\leqslant\frac{5}{2}$.
解法一：若$p$和$q$有且仅有一个是真命题，则$p$真$q$假或$p$假$q$真，
当$p$真$q$假时，有$\begin{cases}a\leqslant\frac{5}{2},\\a＞3,\end{cases}$无解；(12分)
当$p$假$q$真时，有$\begin{cases}a＞\frac{5}{2},\frac{5}{2}＜a\leqslant3,\end{cases}$则(14分)
故当$p$和$q$有且仅有一个是真命题时，$\frac{5}{2}＜a\leqslant3$,所以若命题“$p$和$q$有且仅有一个是真命题”是假命题，则$a\leqslant\frac{5}{2}$或$a＞3$.(15分)
解法二：若命题“$p$和$q$有且仅有一个是真命题”是假命题，则$p$和$q$均为真命题，或$p$和$q$均为假命题，(10分)
当$p$和$q$均为真命题时，有$\begin{cases}a\leqslant\frac{5}{2},\\a\leqslant3,\end{cases}$则$a\leqslant\frac{5}{2}$；(12分)
当$p$和$q$均为假命题时，有$\begin{cases}a＞\frac{5}{2},\\a＞3,\end{cases}$则$a＞3$.(14分)
所以若命题“$p$和$q$有且仅有一个是真命题”是假命题，则$a\leqslant\frac{5}{2}$或$a＞3$.(15分)
周末C计划
易错警示
1.试题中未提示是二次方程，故应考虑二次项系数为0时是否符合题意；
2.二次方程只要有实数根，应首先考虑判别式$\Delta\geqslant0$；
3.注意充分条件与充分不必要条件的区别，若“$x\in A$”是“$x\in B$”的充分条件，则$A\subseteq B$;若“$x\in A$”是“$x\in B$”的充分不必要条件，则$A\subsetneqq B$.
(1)对于命题$q:\{x|a+1\leqslant x\leqslant2a-1\}\subseteq\{x|-2\leqslant x\leqslant5\}$,
当$\{x|a+1\leqslant x\leqslant2a-1\}=\varnothing$时，$a+1＞2a-1$,解得$a＜2$,满足题意；
当$\{x|a+1\leqslant x\leqslant2a-1\}\neq\varnothing$时，$\begin{cases}a+1\leqslant2a-1,\\a+1\geqslant-2,\\2a-1\leqslant5,\end{cases}$解得$2\leqslant a\leqslant3$.(3分)
综上可知，实数$a$的取值范围为$a\leqslant3$.(6分)
(2)解法一：命题$\neg p$为真命题，即$\exists x\in\{x|-2\leqslant x\leqslant3\},x^{2}-2x-2a+6＜0$为真命题，易知函数$y=x^{2}-2x-2a+6$的图象开口向上，对称轴方程为$x=1$,所以当$x=1$时，$y=x^{2}-2x-2a+6$取得最小值，为$-2a+5$,故$-2a+5＜0$,解得$a＞\frac{5}{2}$.(9分)
因为命题$\neg p$为真命题，所以命题$p$为假命题，所以$a＞\frac{5}{2}$.(9分)
(3)由
(1)知，当命题$q$为真命题时，$a\leqslant3$,由
(2)知，当命题$p$为真命题时，$a\leqslant\frac{5}{2}$.
解法一：若$p$和$q$有且仅有一个是真命题，则$p$真$q$假或$p$假$q$真，
当$p$真$q$假时，有$\begin{cases}a\leqslant\frac{5}{2},\\a＞3,\end{cases}$无解；(12分)
当$p$假$q$真时，有$\begin{cases}a＞\frac{5}{2},\frac{5}{2}＜a\leqslant3,\end{cases}$则(14分)
故当$p$和$q$有且仅有一个是真命题时，$\frac{5}{2}＜a\leqslant3$,所以若命题“$p$和$q$有且仅有一个是真命题”是假命题，则$a\leqslant\frac{5}{2}$或$a＞3$.(15分)
解法二：若命题“$p$和$q$有且仅有一个是真命题”是假命题，则$p$和$q$均为真命题，或$p$和$q$均为假命题，(10分)
当$p$和$q$均为真命题时，有$\begin{cases}a\leqslant\frac{5}{2},\\a\leqslant3,\end{cases}$则$a\leqslant\frac{5}{2}$；(12分)
当$p$和$q$均为假命题时，有$\begin{cases}a＞\frac{5}{2},\\a＞3,\end{cases}$则$a＞3$.(14分)
所以若命题“$p$和$q$有且仅有一个是真命题”是假命题，则$a\leqslant\frac{5}{2}$或$a＞3$.(15分)
周末C计划
易错警示
1.试题中未提示是二次方程，故应考虑二次项系数为0时是否符合题意；
2.二次方程只要有实数根，应首先考虑判别式$\Delta\geqslant0$；
3.注意充分条件与充分不必要条件的区别，若“$x\in A$”是“$x\in B$”的充分条件，则$A\subseteq B$;若“$x\in A$”是“$x\in B$”的充分不必要条件，则$A\subsetneqq B$.
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