《2025年周末C计划高中数学必修第一册人教版》

19. (17 分) 若函数 $ f(x) $ 在区间 $ [m,m + 1] $ 上有意义，且对于给定的 $ k(0 ＜ k ＜ 1) $，存在 $ s \in [m,m + 1 - k] $，使得 $ f(s + k) = f(s) $，则称 $ f(x) $ 为 $ [m,m + 1] $ 上的“$ k $ 阶等值函数”。
(1) 判断 $ f_{1}(x) = \frac{1}{x} $，$ f_{2}(x) = \begin{cases} 1, x \in \mathbf{Q}, \\ 0, x \in \complement_{\mathbf{R}}\mathbf{Q} \end{cases} $ 是不是 $ [1,2] $ 上的“$ \frac{2}{3} $ 阶等值函数”；
(2) 若二次函数 $ f(x) $ 满足 $ f(m) = f(m + 1) $，证明：$ f(x) $ 是 $ [m,m + 1] $ 上的“$ \frac{1}{3} $ 阶等值函数”；
(3) 证明：$ f(x) = |1 - 9^{x}| $ 是 $ \left[ - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right] $ 上的“$ k $ 阶等值函数”，并求出 $ k $ 的最大值。

答案： 19.解析
(1)$f(x)$不是$[1,2]$上的“$\frac{2}{3}$阶等值函数”.
理由:函数$f_1(x)$在$[1,2]$上单调递减.
$f_2(x)$是$[1,2]$上的“$\frac{2}{3}$阶等值函数”.
理由:令$s=1\in\mathbf{Q}$,则$s+k=\frac{5}{3}\in\mathbf{Q}$,所以$f(s+k)=f(s)=1$.
(2)证明:因为$f(x)$是二次函数,$f(m)=f(m+1)$,
所以$f(x)$图象的对称轴方程为$x=\frac{2m+1}{2}$.
若存在$s\in[m,m+\frac{2}{3}]$,使得$f(s+\frac{1}{3})=f(s)$,则$\frac{s+\frac{1}{3}+s}{2}=\frac{2m+1}{2}$,所以$s=m+\frac{1}{3}\in[m,m+\frac{2}{3}]$,所以$f(x)$是$[m,m+1]$上的“$\frac{1}{3}$阶等值函数”.
(3)易得$f(-\frac{1}{2})=\frac{2}{3}$.
当$x＞0$时,$f(x)=9^x-1$,令$9^x-1=\frac{2}{3}$,得$9^x=\frac{5}{3}$,所以$x=\log_9\frac{5}{3}=\log_95-\frac{1}{2}$,所以$f(-\frac{1}{2})=f(-\frac{1}{2}+\log_95)$,
所以$k$的一个值为$\log_95$.
下面证明$k$的最大值为$\log_95$.
假设$\log_95＜k＜1$,因为$f(x)$是$[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}-k]$上的“$k$阶等值函数”,所以存在$s\in[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}-k]$,使得$f(s+k)=f(s)$.
因为$\frac{1}{2}-k＜0$,所以在$[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}-k]$上,$f(x)=1-9^x$,其单调递减,所以$f(s)=1-9^s\leq f(-\frac{1}{2})=\frac{2}{3}$.
因为$\log_95＜k＜1$,所以$s+k＞0$,所以$f(s+k)=9^{s+k}-1\leq\frac{2}{3}$,即$9^{s+k}\leq\frac{5}{3}$.
因为$s\geq-\frac{1}{2},k＞\log_95$,所以$s+k＞\log_95-\frac{1}{2}$,所以$9^{s+k}＞9^{\log_95-\frac{1}{2}}=\frac{5}{3}$,矛盾,所以$k$的最大值为$\log_95$.