《2025年周末C计划高中数学必修第一册人教版》

1. (2024 黑龙江牡丹江宁安第一中学月考)若函数 $ f(x)=2a· 3^{x} $ 和 $ g(x)=2^{x-(b+3)} $ 都是指数函数，则 $ a^{b}= $ (D)
A.$ \frac{1}{8} $
B.1
C.9
D.8

答案： 1.D 由题意得$2a=1,-(b+3)=0$，解得$a=\frac{1}{2},b=-3$，所以$a^b=(\frac{1}{2})^{-3}=8$.
名师指点
指数函数$y=a^x$的特征：①$a^x$的系数为$1$；②底数$a$满足$a＞0$且$a\neq1$；③自变量为$x$.

2. (2025 江西新余实验中学月考)已知 $ m,n\in \mathbf{R} $，则“$ mn\lt0 $”是“$ 2^{\frac{n}{|m|}}· 2^{\frac{|m|}{n}}=1 $”的 (C)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 2.C 由$2^{\frac{m}{|m|}}·2^{\frac{\ln|n|}{n}}=1$，得$\frac{m}{|m|}+\frac{\ln|n|}{n}=0$.
当$mn＜0$时，$m,n$异号，所以$\frac{m}{|m|}+\frac{\ln|n|}{n}=0$，故充分性成立；
当$\frac{m}{|m|}+\frac{\ln|n|}{n}=0$时，$m,n$异号，所以$mn＜0$，故必要性成立.
所以“$mn＜0$”是“$2^{\frac{m}{|m|}}·2^{\frac{\ln|n|}{n}}=1$”的充要条件.

3. (2025 重庆第一中学校期中)某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以 $ a\% $ 的增长率生长，经过 8 天后，该植物的长度是原来的 $ \frac{3}{2} $ 倍，则 24 天后该植物的长度是原来的 (C)
设该植物原来的长度为$m$，则$m(1+a\%)^8=\frac{3}{2}m$，即$(1+a\%)^8=\frac{3}{2}$，即$1+a\%=(\frac{3}{2})^{\frac{1}{8}}$.易得$24$天后该植物的长度是$m(1+a\%)^{24}$，即为原来的$(1+a\%)^{24}$倍，又$(1+a\%)^{24}=(\frac{3}{2})^{\frac{24}{8}}=(\frac{3}{2})^3=\frac{27}{8}$，所以$24$天后该植物的长度是原来的$\frac{27}{8}$倍.
A.$ \frac{27}{16} $ 倍
B.$ \frac{27}{32} $ 倍
C.$ \frac{27}{8} $ 倍
D.$ \frac{27}{4} $ 倍

答案： 3.C 设该植物原来的长度为$m$，则$m(1+a\%)^8=\frac{3}{2}m$，即$(1+a\%)^8=\frac{3}{2}$，即$1+a\%=(\frac{3}{2})^{\frac{1}{8}}$.易得$24$天后该植物的长度是$m(1+a\%)^{24}$，即为原来的$(1+a\%)^{24}$倍，又$(1+a\%)^{24}=(\frac{3}{2})^{\frac{24}{8}}=(\frac{3}{2})^3=\frac{27}{8}$，所以$24$天后该植物的长度是原来的$\frac{27}{8}$倍.

4. (2025 江苏连云港灌南期中)设 $ a\gt0,a\neq1 $，已知 $ m=a^{x},n=a^{y},m^{y}n^{x}=a^{\frac{4}{z}}(z\neq0) $，则 $ xyz $ 的值为 (2)
A.0
B.1
C.2
D.4

答案： 4.C $\because m=a^x,n=a^y,\therefore m^y=(a^x)^y=a^{xy},n^x=(a^y)^x=a^{xy}$，故$m^yn^x=a^y· a^{xy}=a^{2xy}=a^{\frac{4}{z}}$，解得$xyz=2$.

5. (2024 天津南开中学期中)已知 $ a\gt0,b\gt0 $，则 $ \frac{\sqrt{a^{3}b^{2}\sqrt[3]{ab^{2}}}}{(\sqrt[4]{ab})^{4}a^{-\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}}= $ (C)
A.$ ab^{3} $
B.$ a^{\frac{1}{3}}b^{-3} $
C.$ ab^{-3} $
D.$ a^{2}b^{-5} $

答案： 5.C $\frac{\sqrt{a^3b^2}\sqrt[3]{ab^2}}{(\sqrt[4]{ab})^4a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3}}}=\frac{\sqrt{a^3b^2a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{4}{3}}}}{ab^4a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3}}}=\frac{a^{\frac{11}{6}}ba^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{3}{2}}b^{\frac{5}{3}}}=ab^{-3}$.
方法总结
根式与分数指数幂互化的规律
1.根式$\frac{3}{\sqrt[n]{a^m}}$化为分数指数的分母，被开方数（式）的指数$\frac{m}{n}$化为分数指数的分子.
2.在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题.

6. (2025 湖南株洲第二中学期中)已知 $ a,b\in \mathbf{R} $，且 $ 3a - b - 2 = 0 $，则 $ 27^{a}+\frac{1}{3^{b}} $ 的最小值为 (6)
A.2
B.4
C.6
D.8

答案： 6.C 因为$3a-b-2=0$，所以$3a-b=2$，所以$27^a+\frac{1}{3^b}=3^{3a}+3^{-b}$.
$3^{3a}+3^{-b}\geqslant2\sqrt{3^{3a}·3^{-b}}=2\sqrt{3^{3a-b}}=6$，当且仅当$\begin{cases}3^{3a}=3^{-b},\\3a-b=2,\end{cases}$即$a=\frac{1}{3},b=-1$时，等号成立，所以$27^a+\frac{1}{3^b}$的最小值为$6$.

7. (2024 山东青岛二中月考)专家对某地区传染病暴发趋势进行研究，发现从确诊第一名患者开始累计时间 $ t $ (单位：天)与病情暴发系数 $ f(t) $ 之间满足函数模型：$ f(t)=\frac{1}{1+e^{-0.22(t - 50)}} $，当 $ f(t)=0.1 $ 时，标志着该传染病将要大面积暴发，则此时 $ t $ 的值约为 (参考数据：$ e = 2.71828·s,e^{1.1}\approx3 $) (40)
A.38
B.40
C.45
D.47

答案： 7.B 由题意得$\frac{1}{1+e^{-0.22(t-50)}}=0.1$，即$1+e^{-0.22(t-50)}=10$，因此$e^{-0.22(t-50)}=9$，而$e^{-0.22(t-50)}=e^{1.1×(-0.2)(t-50)}=(e^{1.1})^{-0.2(t-50)}$，又$e^{1.1}\approx3,\therefore3^{-0.2(t-50)}=9,\therefore-0.2(t-50)=2$，得$t-50=-10$，即$t=40$.

8. (2025 山东济宁期末)计算机病毒就是一个程序，它对计算机的正常使用进行破坏，具有独特的复制能力，可以很快地蔓延，且难以根除。现有一种专门占据内存的计算机病毒，该病毒占据内存 $ y $ (单位：KB)与计算机开机后使用的时间 $ t $ (单位：分钟)的关系式为 $ y = 3×2^{t} $，则下列说法中正确的是 (ACD)
A.在计算机开机后使用 5 分钟时，该计算机病毒占据内存会超过 90 KB
B.计算机开机后，该计算机病毒每分钟增加的内存都相等
C.计算机开机后，该计算机病毒每分钟的增长率为 1
D.计算机开机后，该计算机病毒占据内存到 6 KB，9 KB，18 KB 所经过的时间分别是 $ t_{1},t_{2},t_{3} $，则 $ t_{1}+t_{2}=t_{3} $

答案： 8.ACD 对于A，当$t=5$时，$y=3×2^5=96＞90$，所以在计算机开机后使用$5$分钟时，该计算机病毒占据内存会超过$90KB$，故A正确.
对于B，计算机开机后，该计算机病毒每分钟增加的内存为$3×2^{t+1}-3×2^t=3×2^tKB$，不是定值，故B错误.
对于C，计算机开机后，该计算机病毒每分钟的增长率为$\frac{3×2^{t+1}-3×2^t}{3×2^t}=1$，故C正确.
对于D，由题意得$\begin{cases}3×2^{t_1}=6,\\3×2^{t_2}=18,\end{cases}$所以$(3×2^{t_1})(3×2^{t_2})=3×2^{t_1}×3×2^{t_2}=18×6=108$，$3(3×2^{t_1})=3×6=18$，所以$2^{t_1+t_2}=2^3$，所以$t_1+t_2=t_3$，故D正确.

9. (2025 浙江温州期中)已知 $ a + a^{-1}=3 $，则下列正确的是 (AD)
A.$ a^{2}+a^{-2}=7 $
B.$ a^{3}+a^{-3}=16 $
C.$ a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=\pm\sqrt{5} $
D.$ a^{\frac{3}{2}}+a^{-\frac{3}{2}}=2\sqrt{5} $

答案： 9.AD 对于A，因为$(a+a^{-1})^2=a^2+a^{-2}+2=9$，所以$a^2+a^{-2}=7$，故A正确.
对于B，$a^3+a^{-3}=(a+a^{-1})(a^2+a^{-2}-1)=3×(7-1)=18$，故B错误.
对于C，显然$a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}＞0$，$(a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}})^2=a+a^{-1}+2=5$，所以$a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$，故C错误.
对于D，$a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=(a+a^{-1})(a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}})-(a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}})=3\sqrt{5}-\sqrt{5}=2\sqrt{5}$，故D正确.
方法总结
对于条件求值问题，一般将所求的代数式进行适当变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代换”巧妙地求出代数式的值.

10. (2025 广东佛山一中月考)计算：$ \sqrt[4]{(4 - 3\sqrt{2})^{4}}+(\frac{1}{8})^{-\frac{2}{3}}-16^{\frac{1}{4}}+\sqrt{17 - 12\sqrt{2}}= $ 3。

答案： 10.答案$3$
解析$\sqrt[4]{(4 - 3\sqrt{2})^4}+(\frac{1}{8})^{-\frac{1}{3}}-16^{\frac{1}{4}}+\sqrt{17 - 12\sqrt{2}}=3\sqrt{2}-4 + 2^{3×\frac{1}{4}}-2^{4×\frac{1}{4}}+\sqrt{(3 - 2\sqrt{2})^2}=3\sqrt{2}-4 + 4 - \sqrt{2}+3 - 2\sqrt{2}=3$.
易错警示
$\sqrt[n]{a^n}$中，$a\in\mathbf{R}$，其值取决于正整数$n$的奇偶性；$(\sqrt[n]{a})^n$中，$a$的取值范围由正整数$n$的奇偶性决定.

11. (2025 河北定州第二中学期末)已知函数 $ y = f(x),x\in \mathbf{R} $，且 $ f(0)=4,\frac{f(0.5)}{f(0)}=2,\frac{f(1)}{f(0.5)}=2,·s,\frac{f(0.5n)}{f(0.5(n - 1))}=2,n\in \mathbf{N}^{*} $，则函数 $ y = f(x) $ 的一个解析式为 $f(x)=4^{x + 1}$(答案不唯一)。

答案： 11.答案$f(x)=4^{x + 1}$(答案不唯一)
解析 观察题中关系式，可考虑指数型函数，设出函数解析式，列出方程，即可求解.
设$f(x)=a· b^x(a\neq0,b＞0$且$b\neq1)$，则由$\frac{f(0.5n)}{f(0.5(n - 1))}=2$得$\frac{a· b^{0.5n}}{a· b^{0.5(n - 1)}}=b^{0.5}=2$，又$b＞0$且$b\neq1$，所以$b = 4$，所以$f(x)=a·4^x$，又$f(0)=4$，所以$a = 4$，所以$f(x)=4^{x + 1}$(答案不唯一).