《2025年周末C计划高中数学必修第一册人教版》

1. (2025 湖南郴州监测)下列说法正确的是（B）
A.第一象限角一定是锐角
B.若$\alpha$是钝角，则$\frac{\alpha}{2}$是第一象限角
C.大于$90^{\circ}$的角一定是钝角
D.若$\alpha$是锐角，则$2\alpha$是第二象限角

答案： 1.B 对于 A，如$390°$角为第一象限角，但不是锐角，故 A 错误；
对于 B，若 $\alpha$ 是钝角，则$90°＜\alpha＜180°$，得$45°＜\frac{\alpha}{2}＜90°$，所以$\frac{\alpha}{2}$是第一象限角，故 B 正确；
对于 C，如$180°＞90°$，但$180°$不是钝角，故 C 错误；
对于 D，如$\alpha =45°$为锐角，但$2\alpha =90°$不是第二象限角，故 D 错误.

2. (2025 山东泰安检测)已知动点$A$从$(1,0)$出发，沿单位圆顺时针运动，经过$\frac{20}{3}\pi$后落在角$\alpha$的终边上，则$\sin\alpha =$（$-\frac{\sqrt{3}}{2}$）
A.$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： 2.A 单位圆的周长$C = 2\pi×1 = 2\pi$.
因为$\frac{20}{3}\pi÷2\pi=\frac{10}{3}=3+\frac{1}{3}$，所以动点 A 沿单位圆顺时针旋转了$(3+\frac{1}{3})$圈，
易得$\frac{1}{3}$圈对应的角为$\frac{1}{3}×2\pi=\frac{2\pi}{3}$
因为是顺时针旋转，所以$\alpha = 2\pi-\frac{2\pi}{3}+2k\pi=\frac{4\pi}{3}+2k\pi$，$k\in\mathbf{Z}$，
所以$\sin\alpha=\sin\frac{4\pi}{3}=\sin(\pi+\frac{\pi}{3})=-\sin\frac{\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. (2023 全国甲理,7)设甲:$\sin^{2}\alpha +\sin^{2}\beta =1$，乙:$\sin\alpha +\cos\beta =0$，则（B）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

答案： 3.B $\begin{cases}\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta = 1,\\\sin^{2}\beta+\cos^{2}\beta = 1,\end{cases}$ $\therefore\sin^{2}\alpha=\cos^{2}\beta$，$\therefore|\sin\alpha| = |\cos\beta|$，推不出$\sin\alpha+\cos\beta = 0$，$\therefore$充分性不成立；
$\because\sin\alpha+\cos\beta = 0$，$\therefore\sin\alpha=-\cos\beta$，$\therefore\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta=(-\cos\beta)^{2}+\sin^{2}\beta = 1$，$\therefore$必要性成立.
$\therefore$甲是乙的必要条件但不是充分条件.

4. (2025 广东佛山顺德郑裕彤中学月考)若$\tan\left(\alpha +\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{2}}{4},\alpha\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$，则$\sin\left(\alpha +\frac{2\pi}{3}\right)=$（B）
A.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
B.$-\frac{2\sqrt{2}}{3}$
C.$-\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{3}$

答案： 4.B 因为$\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)$，所以$\alpha+\frac{\pi}{6}\in(\frac{2\pi}{3},\frac{7\pi}{6})$
又$\tan(\alpha+\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{2}}{4}＞0$，所以$\alpha+\frac{\pi}{6}\in(\pi,\frac{7\pi}{6})$
由$\tan(\alpha+\frac{\pi}{6})=\frac{\sin(\alpha+\frac{\pi}{6})}{\cos(\alpha+\frac{\pi}{6})}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，
得$\sin(\alpha+\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{2}}{4}\cos(\alpha+\frac{\pi}{6})$.
又$\sin^{2}(\alpha+\frac{\pi}{6})+\cos^{2}(\alpha+\frac{\pi}{6}) = 1$，所以$\frac{9}{8}\cos^{2}(\alpha+\frac{\pi}{6}) = 1$，
所以$\cos(\alpha+\frac{\pi}{6})=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$
所以$\sin(\alpha+\frac{2\pi}{3})=\sin[(\alpha+\frac{\pi}{6})+\frac{\pi}{2}]=\cos(\alpha+\frac{\pi}{6})=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$

5. (2025 湖南期中)DeepSeek 以其强大的算法火爆全球，吸引了大量用户的关注与讨论，成为热门话题，统计学家发现热门话题的关注度达到峰值后，会出现下降趋势.假设一个热门话题的关注度$C(C\gt0)$与时间$t$（单位：月）的关系式为$C(t)=C_{0}e^{-at}$，其中$C_{0}$为关注度的峰值，$a$为常数，若经过半年，关注度下降到峰值的$80\%$，则关注度下降到峰值的$40\%$，需要的时间为（参考数据：$\lg2\approx0.301$）（25个月）
A.23 个月
B.24 个月
C.25 个月
D.26 个月

答案： 5.C 设关注度下降到峰值的$40\%$需要$t$个月.
由题意得$80\%C_{0}=\frac{4}{5}C_{0}=C_{0}e^{-6a}$，则$-6a=\ln\frac{4}{5}$
令$40\%C_{0}=\frac{2}{5}C_{0}=C_{0}e^{-at}$，得$-at=\ln\frac{2}{5}$，
所以$\frac{t}{6}=\frac{\ln\frac{2}{5}}{\ln\frac{4}{5}}=\log_{\frac{4}{5}}\frac{2}{5}=\frac{\lg2 - \lg5}{\lg4 - \lg5}=\frac{\lg2-(1 - \lg2)}{2\lg2-(1 - \lg2)}=\frac{2\lg2 - 1}{3\lg2 - 1}=\frac{2×0.301 - 1}{3×0.301 - 1}\approx4.1$，
所以$t\approx6×4.1 = 24.6$，
又$t\in\mathbf{N}^{*}$，所以需要的时间为$25$个月.

6. (2025 江苏扬州期末)在平面直角坐标系$Oxy$中，单位圆上的动点$P$，$Q$同时从点$A(1,0)$出发，点$P$按逆时针方向每秒转$\frac{\pi}{8}$弧度，点$Q$按顺时针方向每秒转$\frac{7\pi}{8}$弧度.若两点相遇时的坐标是$\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$，则此时它们可能是第______次相遇（ ）

A.10
B.11
C.12
D.13

答案：
6.B 记点$(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$为 B.
易知 P，Q 分别最少旋转了$\frac{3\pi}{4}$，$\frac{5\pi}{4}$.

设 P，Q 两点经过 t 秒相遇，
则$\frac{\pi}{8}t=\frac{3\pi}{4}+2k_{1}\pi$，$\frac{7\pi}{8}t=\frac{5\pi}{4}+2k_{2}\pi$，$k_{1},k_{2}\in\mathbf{N}$，
则$t = 6 + 16k_{1}=\frac{10 + 16k_{2}}{7}$，$k_{1},k_{2}\in\mathbf{N}$.
要使 P，Q 相遇，则$(\frac{\pi}{8}-\frac{7\pi}{8})t = 2n\pi$且$n\in\mathbf{N}^{*}$，即$n=\frac{t}{2}$.
若$n = 10$，则$t = 20$，此时$k_{1},k_{2}\notin\mathbf{N}$，A 错误；
若$n = 11$，则$t = 22$，此时$k_{1}=1$，$k_{2}=9$，B 正确；
若$n = 12$，则$t = 24$，此时$k_{1},k_{2}\notin\mathbf{N}$，C 错误；
若$n = 13$，则$t = 26$，此时$k_{1},k_{2}\notin\mathbf{N}$，D 错误.

7. (2025 江苏扬中第二高级中学期初)已知函数$f(x)=\frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x}$，且$f(\alpha)=2,\alpha\in(0,\pi)$，则下列结论正确的是（AC）
A.$f(2025\pi - \alpha)=\frac{1}{2}$
B.$\tan\alpha=\frac{4}{3}$
C.$\sin^{2}\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{3}{2}$
D.$\sin^{4}\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)+\cos^{4}\left(\frac{5\pi}{2}-\alpha\right)=\frac{1}{10}$

答案： 7.AC 由已知得$\frac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}=2$，则$\frac{\tan\alpha - 1}{\tan\alpha+1}=2$，解得$\tan\alpha=-3$，故 B 错误.
$f(2025\pi-\alpha)=\frac{\sin(2025\pi-\alpha)-\cos(2025\pi-\alpha)}{\sin(2025\pi-\alpha)+\cos(2025\pi-\alpha)}=\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=\frac{1}{2}$，故 A 正确.
$\sin^{2}\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{\sin^{2}\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha}=\frac{\tan^{2}\alpha-2\tan\alpha}{\tan^{2}\alpha+1}=\frac{9 + 6}{9 + 1}=\frac{3}{2}$，故 C 正确.
易得$\sin\alpha\cos\alpha=\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha}=\frac{\tan\alpha}{\tan^{2}\alpha+1}=\frac{-3}{9 + 1}=-\frac{3}{10}$
所以$\sin^{4}(\frac{3\pi}{2}+\alpha)+\cos^{4}(\frac{5\pi}{2}-\alpha)=\cos^{4}\alpha+\sin^{4}\alpha=(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha)^{2}-2\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha=1 - 2×\frac{9}{100}=\frac{41}{50}$，故 D 错误.

8. (2023 新课标Ⅰ,10)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级$L_{p}=20×\lg\frac{p}{p_{0}}$，其中常数$p_{0}(p_{0}\gt0)$是听觉下限阈值，$p$是实际声压.下表为不同声源的声压级：

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车$10m$处测得实际声压分别为$p_{1},p_{2},p_{3}$，则（ACD）
A.$p_{1}\geq p_{2}$
B.$p_{2}\gt10p_{3}$
C.$p_{3}=100p_{0}$
D.$p_{1}\leq100p_{2}$

答案： 8.ACD $p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}$均大于$0$，$\therefore L_{p_{1}}-L_{p_{0}}=20×\lg\frac{p_{1}}{p_{0}}=20×\frac{p_{2}}{p_{2}}\geq0$，$\therefore p_{1}\geq p_{2}$，故 A 正确；
$\because L_{p_{2}}-L_{p_{1}}=20×\lg\frac{p_{2}}{p_{3}}\geq10$，$\therefore\lg\frac{p_{2}}{p_{3}}\geq\frac{1}{2}$，$\therefore\frac{p_{2}}{p_{3}}\geq\sqrt{10}$，
$\therefore p_{2}\geq\sqrt{10}p_{3}$，故 B 错误；
$\because L_{p_{3}}=20×\lg\frac{p_{3}}{p_{0}} = 40$，$\therefore\frac{p_{3}}{p_{0}} = 100$，$\therefore p_{3}=100p_{0}$，故 C 正确；
$\because L_{p_{1}}-L_{p_{2}}=20×\lg\frac{p_{1}}{p_{2}}\leq90 - 50 = 40$，$\therefore\lg\frac{p_{1}}{p_{2}}\leq2$，$\therefore\frac{p_{1}}{p_{2}}\leq100$，$\therefore p_{1}\leq100p_{2}$，故 D 正确.