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2025年周末C计划高中数学必修第一册人教版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年周末C计划高中数学必修第一册人教版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
19. (17 分)(2025 河南商丘重点中学联考)已知函数$f(x)=\log_{a}(a^{2x}-3t)(a\gt0$且$a\neq1)$的定义域为$D$.
(1)当$t = 1$时，求$D$；
(2)将满足$\forall x,y\in\mathbf{R}$，总有$g(x + y)+g(x - y)=2g(x)$的函数$g(x)$称为“类线性函数”，若函数$f(x)$为“类线性函数”，求实数$t$的值；
(3)已知$0\lt a\lt1$，$t\gt0$，是否存在实数$\alpha,\beta(\alpha\lt\beta)$，使得函数$f(x)$在区间$[\alpha,\beta]([\alpha,\beta]\subseteq D)$上的值域为$[4\alpha,4\beta]$？若存在，请求出$t$的取值范围；若不存在，请说明理由.
(1)当$t = 1$时，求$D$；
(2)将满足$\forall x,y\in\mathbf{R}$，总有$g(x + y)+g(x - y)=2g(x)$的函数$g(x)$称为“类线性函数”，若函数$f(x)$为“类线性函数”，求实数$t$的值；
(3)已知$0\lt a\lt1$，$t\gt0$，是否存在实数$\alpha,\beta(\alpha\lt\beta)$，使得函数$f(x)$在区间$[\alpha,\beta]([\alpha,\beta]\subseteq D)$上的值域为$[4\alpha,4\beta]$？若存在，请求出$t$的取值范围；若不存在，请说明理由.
答案：
19.解析：
(1)当$t = 1$时，$a^{2x} - 3t = a^{2x} - 3 ＞ 0$，即$a^{2x} ＞ 3 = a^{\log_{a}3}$，(2分)
当$0 ＜ a ＜ 1$时，得$2x ＜ \log_{a}3$，解得$x ＜ \frac{1}{2}\log_{a}3$；
当$a ＞ 1$时，得$2x ＞ \log_{a}3$，解得$x ＞ \frac{1}{2}\log_{a}3$。(4分)
故当$0 ＜ a ＜ 1$时，$f(x)$的定义域$D$为$(-\infty,\frac{1}{2}\log_{a}3)$；
当$a ＞ 1$时，$f(x)$的定义域$D$为$(\frac{1}{2}\log_{a}3, + \infty)$。(5分)
(2)由题可知函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，则$a^{2x} - 3t ＞ 0$恒成立，可得$t \leq 0$。
根据“类线性函数”的概念可知，$\forall x$，$y \in \mathbf{R}$，总有$f(x + y) + f(x - y) = 2f(x)$，
即$\log_{a}[a^{2(x + y)} - 3t] + \log_{a}[a^{2(x - y)} - 3t] = 2\log_{a}(a^{2x} - 3t)$，
则$\log_{a}\{[a^{2(x + y)} - 3t][a^{2(x - y)} - 3t]\} = \log_{a}(a^{2x} - 3t)^{2}$，
所以$[a^{2(x + y)} - 3t][a^{2(x - y)} - 3t] = (a^{2x} - 3t)^{2}$，
即$a^{4x} - 3t[a^{2(x + y)} + a^{2(x - y)}] + 9t^{2} = a^{4x} - 6ta^{2x} + 9t^{2}$，(9分)
所以$t[2a^{2x} - a^{2(x + y)} - a^{2(x - y)}] = 0$对于任意$x$，$y \in \mathbf{R}$恒成立，又$2a^{2x} - a^{2(x + y)} - a^{2(x - y)}$不恒为$0$，所以$t = 0$。(11分)
(3)存在。
易知当$0 ＜ a ＜ 1$时，$f(x)$的定义域为$(-\infty,\frac{1}{2}\log_{a}(3t))$，
令$m = a^{2x} - 3t$，因为当$0 ＜ a ＜ 1$时，函数$m = a^{2x} - 3t$在$\mathbf{R}$上单调递减，函数$y = \log_{a}m$在$(0, + \infty)$上单调递减，
所以$f(x)$在定义域$(-\infty,\frac{1}{2}\log_{a}(3t))$上为增函数。(13分)
由题意可知$\begin{cases} f(\alpha) = 4\alpha, \\f(\beta) = 4\beta, \end{cases}$即$\begin{cases} \log_{a}(a^{2\alpha} - 3t) = 4\alpha, \\\log_{a}(a^{2\beta} - 3t) = 4\beta, \end{cases}$
所以$\alpha$，$\beta$是方程$\log_{a}(a^{2x} - 3t) = 4x$的两个不同的实数根，
即$\alpha$，$\beta$是方程$a^{2x} - 3t = a^{4x}$的两个不同的实数根。(15分)
设$n = a^{2x}$，则由$a^{2x} - 3t ＞ 0$，$t ＞ 0$，知$n = a^{2x} ＞ 3t ＞ 0$，
则方程$n^{2} - n + 3t = 0$在$(3t, + \infty)$上有两个不同的正实数根。
设$h(n) = n^{2} - n + 3t$，其图象开口向上，对称轴为直线$n = \frac{1}{2}$，
则$\begin{cases} 0 ＜ 3t ＜ \frac{1}{2}, \\h(3t) = 9t^{2} - 3t + 3t ＞ 0, \\\Delta = (-1)^{2} - 4 × 1 × 3t ＞ 0, \end{cases}$解得$0 ＜ t ＜ \frac{1}{12}$，
故$t$的取值范围为$(0,\frac{1}{12})$。(17分)
(1)当$t = 1$时，$a^{2x} - 3t = a^{2x} - 3 ＞ 0$，即$a^{2x} ＞ 3 = a^{\log_{a}3}$，(2分)
当$0 ＜ a ＜ 1$时，得$2x ＜ \log_{a}3$，解得$x ＜ \frac{1}{2}\log_{a}3$；
当$a ＞ 1$时，得$2x ＞ \log_{a}3$，解得$x ＞ \frac{1}{2}\log_{a}3$。(4分)
故当$0 ＜ a ＜ 1$时，$f(x)$的定义域$D$为$(-\infty,\frac{1}{2}\log_{a}3)$；
当$a ＞ 1$时，$f(x)$的定义域$D$为$(\frac{1}{2}\log_{a}3, + \infty)$。(5分)
(2)由题可知函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，则$a^{2x} - 3t ＞ 0$恒成立，可得$t \leq 0$。
根据“类线性函数”的概念可知，$\forall x$，$y \in \mathbf{R}$，总有$f(x + y) + f(x - y) = 2f(x)$，
即$\log_{a}[a^{2(x + y)} - 3t] + \log_{a}[a^{2(x - y)} - 3t] = 2\log_{a}(a^{2x} - 3t)$，
则$\log_{a}\{[a^{2(x + y)} - 3t][a^{2(x - y)} - 3t]\} = \log_{a}(a^{2x} - 3t)^{2}$，
所以$[a^{2(x + y)} - 3t][a^{2(x - y)} - 3t] = (a^{2x} - 3t)^{2}$，
即$a^{4x} - 3t[a^{2(x + y)} + a^{2(x - y)}] + 9t^{2} = a^{4x} - 6ta^{2x} + 9t^{2}$，(9分)
所以$t[2a^{2x} - a^{2(x + y)} - a^{2(x - y)}] = 0$对于任意$x$，$y \in \mathbf{R}$恒成立，又$2a^{2x} - a^{2(x + y)} - a^{2(x - y)}$不恒为$0$，所以$t = 0$。(11分)
(3)存在。
易知当$0 ＜ a ＜ 1$时，$f(x)$的定义域为$(-\infty,\frac{1}{2}\log_{a}(3t))$，
令$m = a^{2x} - 3t$，因为当$0 ＜ a ＜ 1$时，函数$m = a^{2x} - 3t$在$\mathbf{R}$上单调递减，函数$y = \log_{a}m$在$(0, + \infty)$上单调递减，
所以$f(x)$在定义域$(-\infty,\frac{1}{2}\log_{a}(3t))$上为增函数。(13分)
由题意可知$\begin{cases} f(\alpha) = 4\alpha, \\f(\beta) = 4\beta, \end{cases}$即$\begin{cases} \log_{a}(a^{2\alpha} - 3t) = 4\alpha, \\\log_{a}(a^{2\beta} - 3t) = 4\beta, \end{cases}$
所以$\alpha$，$\beta$是方程$\log_{a}(a^{2x} - 3t) = 4x$的两个不同的实数根，
即$\alpha$，$\beta$是方程$a^{2x} - 3t = a^{4x}$的两个不同的实数根。(15分)
设$n = a^{2x}$，则由$a^{2x} - 3t ＞ 0$，$t ＞ 0$，知$n = a^{2x} ＞ 3t ＞ 0$，
则方程$n^{2} - n + 3t = 0$在$(3t, + \infty)$上有两个不同的正实数根。
设$h(n) = n^{2} - n + 3t$，其图象开口向上，对称轴为直线$n = \frac{1}{2}$，
则$\begin{cases} 0 ＜ 3t ＜ \frac{1}{2}, \\h(3t) = 9t^{2} - 3t + 3t ＞ 0, \\\Delta = (-1)^{2} - 4 × 1 × 3t ＞ 0, \end{cases}$解得$0 ＜ t ＜ \frac{1}{12}$，
故$t$的取值范围为$(0,\frac{1}{12})$。(17分)
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