《2025年周末C计划高中数学必修第一册人教版》

9. （2025重庆巴蜀中学月考）已知$A = \{ x \in \mathbf{R} | x ^ { 2 } - a x + a ^ { 2 } - 3 = 0 \}$，$B = \{ x | x \leq 0 \}$，命题$p$：$A \cap B = \varnothing$，若$p$为真命题的一个充分不必要条件为$a ＜ 1 - 2 m$或$a ＞ m + 1$，则实数$m$的一个取值是________.
2

答案： 9.答案：2（满足$m \geq \frac{3}{2}$的任意实数均可，答案不唯一）
解析：先分析$x^2 - ax + a^2 - 3 = 0$的根的情况，$\Delta = a^2 - 4a^2 + 12 = -3a^2 + 12 = -3(a^2 - 4)$。
当$\Delta ＜ 0$，即$-3(a^2 - 4) ＜ 0$，即$a^2 - 4 ＞ 0$，即$a ＜ -2或a ＞ 2$时，方程无实数根，此时$A = \varnothing$，满足$A \cap B = \varnothing$。
当$\Delta \geq 0$，即$-2 \leq a \leq 2$时，方程有实数根，不妨设方程的两根分别为$x_1$，$x_2$，由根与系数的关系得$x_1 + x_2 = a$，$x_1x_2 = a^2 - 3$。
要使$A \cap B = \varnothing$，则两根都大于 0，所以$x_1 + x_2 = a ＞ 0$且$x_1x_2 = a^2 - 3 ＞ 0$，解得$a ＞ \sqrt{3}$，所以$\sqrt{3} ＜ a \leq 2$。
综上，$A \cap B = \varnothing$时，$a ＞ \sqrt{3}或a ＜ -2$。
因为$p$为真命题的一个充分不必要条件为$a ＜ 1 - 2m$或$a ＞ m + 1$，所以$\begin{cases}m + 1 \geq \sqrt{3}, \\1 - 2m \leq -2\end{cases}$，且等号不同时成立，得$m \geq \frac{3}{2}$，故实数$m$的一个取值是 2。

10. （2025北京清华大学附属中学上地学校期中）已知非空集合$A$，$B$满足以下四个条件：
①$A \cup B = \{ 1,2,3,4,5,6 \}$；
②$A \cap B = \varnothing$；
③$A$中的元素个数不是$A$中的元素；
④$B$中的元素个数不是$B$中的元素.
（1）如果集合$A$中只有$1$个元素，那么该元素是5；
（2）有序集合对$( A, B )$的个数是10.

答案： 10.答案：
(1) 5；
(2) 10
解析：
(1)若集合$A$中只有一个元素，则集合$B$中有五个元素，则$1 \notin A$，$5 \notin B$，所以$5 \in A$。
(2)当集合$A$为空集或$B$为空集时，不符合题意；当集合$A$中只有一个元素时，由
(1)可得，只能为 5，此时$B = \{1,2,3,4,6\}$，有序集合对$(A,B)$有 1 个，反之，当集合$B$中只有一个元素时，$A$中有五个元素，则有序集合对$(A,B)$有 1 个；当集合$A$中有两个元素时，集合$B$中有四个元素，则$2 \notin A$，$4 \notin B$，所以$4 \in A$，$2 \in B$，故$A$可以为$\{1,4\}$，$\{3,4\}$，$\{4,5\}$，$\{4,6\}$，有四种情况，对应的$B$为$\{2,3,5,6\}$，$\{1,2,5,6\}$，$\{1,2,3,6\}$，$\{1,2,3,5\}$，有序集合对$(A,B)$有 4 个，反之，当集合$A$中有四个元素时，$B$中有两个元素，则有序集合对$(A,B)$有 4 个；当集合$A$中有三个元素时，集合$B$中也有三个元素，则$3 \notin A$，$3 \notin B$，不符合题意。
综上，共有$1 × 2 + 4 × 2 = 10$个有序集合对$(A,B)$。

11. （2024全国高中数学联赛北京赛区预赛）设整数集合$A = \{ a _ { 1 }, a _ { 2 }, a _ { 3 }, a _ { 4 }, a _ { 5 } \}$，若$A$的所有三元子集中三个元素之积组成的集合为$B = \{ - 30, - 15, - 10, - 6, - 5, - 3,2,6,10,15 \}$，则集合$A =$$\{-2, -1, 1, 3, 5\}$.

答案： 11.答案：$\{-2, -1, 1, 3, 5\}$
解析：$A$的所有三元子集共有 10 个（可按规律列举计数），$A$中的每个元素在这些三元子集中均出现了 6 次（若某三元子集包含$a_1$，则还需要从$a_2$，$a_3$，$a_4$，$a_5$四个中选两个，共 6 种情况，所以包含$a_1$的三元子集共 6 个，其余元素同理），故$(a_1a_2a_3a_4a_5)^6 = (-30) × (-15) × (-10) × (-6) × (-5) × (-3) × 2 × 6 × 10 × 15$（题目给的信息是三元子集的元素之积，所以研究总的乘积），则$\vert a_1a_2a_3a_4a_5 \vert = 30$。
因为集合$B$中的元素有 6 个负数、4 个正数，所以集合$A$中的元素有 2 个负数、3 个正数或 1 个负数、4 个正数，所以$a_1a_2a_3a_4a_5 = \pm 30$，不妨设$\vert a_1 \vert \leq \vert a_2 \vert \leq \vert a_3 \vert \leq \vert a_4 \vert \leq \vert a_5 \vert$，当三个元素之积的绝对值最大时（从元素之积的绝对值最大、最小两种角度综合分析），$a_3a_4a_5 = -30$，故$\frac{a_1a_2a_3a_4a_5}{a_3a_4a_5} = -1$或$a_1a_2 = 1$（此时$a_1 = a_2 = 1$或$a_1 = a_2 = -1$，不满足集合中元素的互异性，故舍去），又$A$为整数集合，所以$a_1 = 1$，$a_2 = -1$或$a_1 = -1$，$a_2 = 1$；当三个元素之积的绝对值最小时，$a_1a_2a_3 = 2$，又$a_1a_2 = -1$，所以$a_3 = -2$，故$a_4a_5 = 15$。
由上述分析知集合$A$中的元素有 2 个负数、3 个正数，故$a_4$，$a_5$均为正整数，所以$a_4 = 3$，$a_5 = 5$，故$A = \{-2, -1, 1, 3, 5\}$。

12. （13分）（2025山东大联考月考）设$U = \mathbf{R}$，已知集合$A = \left\{ x | \frac { x - ( 2 m + 9 ) } { x - ( m + 5 ) } \leq 0 \right\}$，$B = \{ x | 2 m + 2 \leq x \leq 3 m + 3 \}$，且命题$p$：$12 \in B$为真命题.
（1）求实数$m$的取值范围；
（2）已知命题$q$：$9 \notin A$，当命题$\neg q$为假命题时，求实数$m$的取值范围；
（3）设命题$s$：$x \in A$，$t$：$x \in B$，若$s$是$t$的必要不充分条件，求实数$m$的取值范围.

答案： 12.解析：
(1)由题意可知$12 \in B$，所以$2m + 2 \leq 12 \leq 3m + 3$，得$3 \leq m \leq 5$。
(2)当命题$\neg q$为假命题时，命题$q$为真命题，即$9 \notin A$。由
(1)知$3 \leq m \leq 5$，则$2m + 9 - (m + 5) = m + 4 ＞ 0$，故$2m + 9 ＞ m + 5$，所以$A = \{x \mid m + 5 ＜ x \leq 2m + 9\}$。
若$9 \in A$，则$m + 5 ＜ 9 \leq 2m + 9$，解得$0 \leq m ＜ 4$，又$9 \notin A$，所以$m ＜ 0$或$m \geq 4$，又$3 \leq m \leq 5$，所以$4 \leq m \leq 5$。
(3)由
(1)得$3 \leq m \leq 5$，由
(2)得$A = \{x \mid m + 5 ＜ x \leq 2m + 9\}$，此时$A \neq \varnothing$，$B \neq \varnothing$，若$s$是$t$的必要不充分条件，则$B = \{x \mid 2m + 2 \leq x \leq 3m + 3\}$是$A = \{x \mid m + 5 ＜ x \leq 2m + 9\}$的真子集，故$\begin{cases}2m + 2 ＞ m + 5, \\3m + 3 \leq 2m + 9\end{cases}$，解得$3 ＜ m \leq 6$。
综上，$3 ＜ m \leq 5$。

13. （17分）（2025湖北高中名校联盟模拟预测）已知集合$M = \{ 1,2,·s, n \}$，$n \in \mathbf{N} ^ { * }$，$A$，$B$是$M$的非空子集.记集合$A + B = \{ ( x + y )$除以$n$的余数$| x \in A$，$y \in B \}$.若正整数$n$满足：存在非空集合$A$，$B$，使得$A$，$B$，$A + B$两两的交集为空集，且$A \cup B \cup ( A + B ) = \{ 0,1,2,·s, n - 1 \}$，则称$n$为“好的”.
（1）设$A = \{ 1 \}$，$B = \{ 2,4 \}$，当$n = 5$时，求$A + B$，并直接判断$n = 5$是不是“好的”；
（2）证明：$n = 8$是“好的”，$n = 16$是“好的”；
（3）求所有“好的”正整数.

答案： 13.解析：
(1)易知$A \cap B = \varnothing$。当$n = 5$时，由题中定义可得$A + B = \{0,3\}$，所以$A \cap (A + B) = \varnothing$，$B \cap (A + B) = \varnothing$，$A \cup B \cup (A + B) = \{0,1,2,3,4\}$，故$n = 5$是“好的”。
(2)证明：$n = 8$时，不妨取$A = \{1,2\}$，$B = \{3,6\}$，则$x + y$的值分别为 4,7,5,8，除以 8 的余数依次为 4,7,5,0，所以$A + B = \{4,5,7,0\}$，此时$A \cap B = \varnothing$，$A \cap (A + B) = \varnothing$，$B \cap (A + B) = \varnothing$，$A \cup B \cup (A + B) = \{0,1,2,3,4,5,6,7\}$，合乎题意；
$n = 16$时，不妨取$A = \{1,2,9,10\}$，$B = \{3,6,11,14\}$，则$x + y$的值分别为 4,7,12,15,5,8,13,16,20,23,21,24，除以 16 的余数依次为 4,7,12,15,5,8,13,0,4,7,5,8，所以$A + B = \{4,5,7,8,12,13,15,0\}$，则$A \cap B = \varnothing$，$A \cap (A + B) = \varnothing$，$B \cap (A + B) = \varnothing$，$A \cup B \cup (A + B) = \{0,1,2,3,4,·s,15\}$，合乎题意。
故$n = 8$是“好的”，$n = 16$是“好的”。
(3)①首先证明：若正整数$n$是“好的”，则$2n$也是“好的”。
若正整数$n$是“好的”，设$A = \{a_1,a_2,·s,a_s\}$，$B = \{b_1,b_2,·s,b_t\}$，$A + B = \{c_1,c_2,·s,c_s\}$，此时集合$A$，$B$满足正整数$n$是“好的”时的条件。
对于$2n$，考虑$C = \{a_1,a_2,·s,a_s,a_1 + n,a_2 + n,·s,a_s + n\}$，$D = \{b_1,b_2,·s,b_t,b_1 + n,b_2 + n,·s,b_t + n\}$，则$C + D = \{c_1,c_2,·s,c_s,c_1 + n,c_2 + n,·s,c_s + n\}$，也满足条件，故$2n$是“好的”。
②再证：大于或等于 3 的奇数$n$是“好的”。
不妨取$A = \{1\}$，$B = \{2,4,6,·s,n - 1\}$，则$A + B = \{3,5,7,·s,n - 2,0\}$，此时满足条件。
③再证：$n = 4$不是“好的”。
对集合$A$，记$\vert A \vert$为$A$中元素的个数，由条件可知，$\vert A \vert + \vert B \vert + \vert A + B \vert = n$。
若$\vert A \vert = \vert B \vert = 1$，则$\vert A + B \vert = 1$，$\vert A \vert + \vert B \vert + \vert A + B \vert = 3 \neq 4$，矛盾；若$\vert A \vert \geq 2$或$\vert B \vert \geq 2$，则$\vert A + B \vert \geq 2$，则$\vert A \vert + \vert B \vert + \vert A + B \vert \geq 5 \neq 4$，矛盾。于是$n = 4$不是“好的”。同理易知$n = 1$，$n = 2$不是“好的”。
综上可得所有“好的”正整数为除 1,2,4 外的正整数。