《2025年云南省标准教辅优佳学案配套测试卷九年级数学上册人教版》

23. (本小题满分6分)
解方程$(x^2 - 2)^2 - 5(x^2 - 2) - 6 = 0$时，我们可将$x^2 - 2$看作一个整体，然后设$x^2 - 2 = y$，则$(x^2 - 2)^2 = y^2$，原方程可化为$y^2 - 5y - 6 = 0$，解方程得$y_1 = 6$，$y_2 = -1$.当$y = 6$时，$x^2 - 2 = 6$，$x = \pm 2\sqrt{2}$；当$y = -1$时，$x^2 - 2 = -1$，$x = \pm 1$.所以原方程的解为$x_1 = 2\sqrt{2}$，$x_2 = -2\sqrt{2}$，$x_3 = 1$，$x_4 = -1$.
阅读上面的材料，利用上面的解法解方程$x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.

答案： 设$x^{2} = y$，则$x^{4} = y^{2}$，原方程可变形为$y^{2} - 5y + 4 = 0$。
因式分解得$(y - 1)(y - 4) = 0$。
则$y - 1 = 0$或$y - 4 = 0$，解得$y_1 = 1$，$y_2 = 4$。
当$y = 1$时，$x^{2} = 1$，解得$x = \pm 1$。
当$y = 4$时，$x^{2} = 4$，解得$x = \pm 2$。
所以原方程的解为$x_1 = 1$，$x_2 = -1$，$x_3 = 2$，$x_4 = -2$。

24. (本小题满分8分)
已知$a$，$b$，$c$分别是$\triangle ABC$的三边长，其中$a = 1$，$c = 4$，且关于$x$的方程$x^2 - 4x + b = 0$有两个相等的实数根，试判断$\triangle ABC$的形状.

答案：
∵方程$x^2 - 4x + b = 0$有两个相等的实数根，
∴判别式$\Delta = (-4)^2 - 4×1×b = 16 - 4b = 0$，
解得$b = 4$。
∵$a = 1$，$c = 4$，$b = 4$，
∴$b = c$，
∴$\triangle ABC$是等腰三角形。