《2025年云南省标准教辅优佳学案配套测试卷九年级数学上册人教版》

27. (本小题满分12分)
如图，在△ABC中，AB = BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，DE与⊙O相切，交BC于点E，连接OE，CD = $2\sqrt{3}$，∠ACB = 30°.
(1)判断DE与BC的位置关系，并说明理由.
(2)若以AB，OE的长为方程$x^2 + bx + c = 0$两个实数根，求b的值.
(3)求图中以线段CD，BC和$\overset{\frown}{BD}$所围成图形的面积.

答案：
(1) DE⊥BC。理由如下：
连接OD，
∵DE与⊙O相切于D，
∴OD⊥DE（切线性质）。
∵AB=BC，∠ACB=30°，
∴∠BAC=∠ACB=30°，∠ABC=120°。
AB为⊙O直径，
∴∠ADB=90°（直径所对圆周角为直角）。
在Rt△ABD中，∠BAD=30°，设AB=2r，则BD=AB·sin30°=r，AD=AB·cos30°=r√3。
∵OD=OA=r，∠OAD=30°，
∴∠ODA=30°，∠AOD=120°，则∠DOB=60°。
∵OD=OB=r，
∴△OBD为等边三角形，∠ODB=60°。
∵OD⊥DE，∠ODE=90°，
∴∠EDB=∠ODE-∠ODB=30°。
在△DBE中，∠DBC=∠ABC-∠ABD=60°，∠EDB=30°，
∴∠DEB=90°，即DE⊥BC。
(2) 设AB=2r，由AB=BC，∠ACB=30°，CD=2√3，在Rt△BCD中，BC=CD/cos30°=4，
∴AB=4，r=2，OB=OD=2。
由
(1)知BE=BD·cos60°=2×1/2=1。在△OBE中，OB=2，BE=1，∠OBE=120°，作OH⊥BC延长线于H，∠OBH=60°，OH=OB·sin60°=√3，BH=OB·cos60°=1，HE=HB+BE=2，
∴OE=√(OH²+HE²)=√(3+4)=√7。
AB=4，OE=√7为方程x²+bx+c=0两根，
∴4+√7=-b，即b=-(4+√7)。
(3) S=S△BCD - (S扇形OBD - S△OBD)。
S△BCD=1/2×CD×BD=1/2×2√3×2=2√3；
S扇形OBD=60π×2²/360=2π/3，S△OBD=√3/4×2²=√3；
弓形BD面积=2π/3 - √3，
∴所求面积=2√3 - (2π/3 - √3)=3√3 - 2π/3。
(1) DE⊥BC
(2) b=-(4+√7)
(3) 3√3 - 2π/3