《2025年云南省标准教辅优佳学案配套测试卷九年级数学上册人教版》

22. (本小题满分7分)
已知关于$x$的一元二次方程$x^{2} + 2x - k = 0$有两个不等的实数根.
(1)求$k$的取值范围.
(2)若方程的两个不等的实数根是$a$，$b$，求$\frac{a}{a + 1} - \frac{1}{b + 1}$的值. [提示：一元二次方程$ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0)$的两个根为$x_{1}$，$x_{2}$，则$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2} = \frac{c}{a}$.]

答案：
(1)
∵方程有两个不等的实数根，
∴Δ=2²-4×1×(-k)=4+4k＞0，解得k＞-1。
(2)
∵a，b是方程的两个根，
∴a+b=-2，ab=-k。
$\begin{aligned}\frac{a}{a + 1} - \frac{1}{b + 1}&=\frac{a(b + 1)-(a + 1)}{(a + 1)(b + 1)}\\&=\frac{ab + a - a - 1}{ab + a + b + 1}\\&=\frac{ab - 1}{ab + (a + b) + 1}\\&=\frac{-k - 1}{-k + (-2) + 1}\\&=\frac{-k - 1}{-k - 1}\\&=1\end{aligned}$

23. (本小题满分7分)
如图，某小区在绿化工程中有一块长为$18\ {m}$，宽为$6\ {m}$的矩形空地，计划在其中修建两块形状和大小均相同的矩形绿地，使它们的面积之和为$60\ {m^{2}}$，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道.求人行通道的宽度.

答案： 设人行通道的宽度为$ x \, m $。
分析绿地的长和宽：
矩形空地的长为$ 18 \, m $，宽为$ 6 \, m $。周边及两块绿地之间的通道宽度均为$ x \, m $，则：
水平方向（长）：左右两边各1条通道，两块绿地之间1条通道，共$ 3x \, m $，故两块绿地的总长度为$ 18 - 3x \, m $，每块绿地的长为$ \frac{18 - 3x}{2} \, m $。
垂直方向（宽）：上下两边各1条通道，共$ 2x \, m $，故绿地的宽为$ 6 - 2x \, m $。
列方程：
两块绿地面积之和为$ 60 \, m^2 $，每块绿地面积为$ 长 × 宽 $，则：
$2 × \left( \frac{18 - 3x}{2} × (6 - 2x) \right) = 60$
化简得：
$(18 - 3x)(6 - 2x) = 60$
解方程：
展开并整理方程：
$(18 - 3x)(6 - 2x) = 60 \\6(6 - x)(3 - x) = 60 \quad (提取公因式) \\(6 - x)(3 - x) = 10 \quad (两边同除以6) \\x^2 - 9x + 18 = 10 \\x^2 - 9x + 8 = 0$
因式分解：
$(x - 1)(x - 8) = 0$
解得$ x = 1 $或$ x = 8 $。
检验合理性：
当$ x = 8 $时，绿地宽$ 6 - 2x = 6 - 16 = -10 \, m $（不合题意，舍去）。
当$ x = 1 $时，绿地长$ \frac{18 - 3 × 1}{2} = 7.5 \, m $，宽$ 6 - 2 × 1 = 4 \, m $，每块面积$ 7.5 × 4 = 30 \, m^2 $，两块面积之和$ 60 \, m^2 $（符合题意）。
结论：
人行通道的宽度为$ 1 \, m $。