《2025年云南省标准教辅优佳学案配套测试卷九年级数学上册人教版》

21. (本小题满分6分)
已知实数$x$是一元二次方程$a^2 - a - 2 = 0$的一个根，求代数式$\left(\frac{x - 2}{x} - \frac{x - 1}{x + 2}\right) ÷ \frac{x^2 - 4x}{x^2 + 4x + 4}$的值.

答案： 由题意，$x$是方程$a^{2} - a - 2 = 0$（这里应该是$x^{2} - x - 2 = 0$）的一个根，解方程$x^{2} - x - 2 = 0$，因式分解得$(x - 2)(x + 1) = 0$，解得$x = 2$或$x = - 1$。
对$\left(\frac{x - 2}{x} - \frac{x - 1}{x + 2}\right)÷\frac{x^{2} - 4x}{x^{2} + 4x + 4}$化简：
$\frac{x - 2}{x}-\frac{x - 1}{x + 2}=\frac{(x - 2)(x + 2)-x(x - 1)}{x(x + 2)}=\frac{x^{2}-4 - x^{2}+x}{x(x + 2)}=\frac{x - 4}{x(x + 2)}$。
$\frac{x^{2} - 4x}{x^{2} + 4x + 4}=\frac{x(x - 4)}{(x + 2)^{2}}$。
则$\left(\frac{x - 2}{x} - \frac{x - 1}{x + 2}\right)÷\frac{x^{2} - 4x}{x^{2} + 4x + 4}=\frac{x - 4}{x(x + 2)}×\frac{(x + 2)^{2}}{x(x - 4)}=\frac{x + 2}{x^{2}}$。
当$x = 2$时，原式分母$x^{2}-4x = 2^{2}-4×2=4 - 8=-4\neq0$，$x^{2}=2^{2}=4$，$x + 2 = 4$，代入$\frac{x + 2}{x^{2}}$得$\frac{4}{4}=1$。
当$x=-1$时，$x^{2}=(-1)^{2}=1$，$x + 2=-1 + 2 = 1$，代入$\frac{x + 2}{x^{2}}$得$\frac{1}{1}=1$。
综上，该代数式的值为$1$。

22. (本小题满分7分)
竖直上抛运动的物体的高度$h$和时间$t$符合关系式$h = v_0t - \frac{1}{2}gt^2$，其中重力加速度$g$以$10\ m/s^2$计算.一个物体以初速度$v_0 = 20\ m/s$从地面竖直向上运动，经过多长时间该物体离地面$15\ m$？

答案： 已知$h = v_0t - \frac{1}{2}gt^2$，$v_0 = 20\ m/s$，$g = 10\ m/s^2$，$h = 15\ m$。
代入得：$15 = 20t - \frac{1}{2} × 10t^2$
化简：$15 = 20t - 5t^2$
移项：$5t^2 - 20t + 15 = 0$
两边同除以5：$t^2 - 4t + 3 = 0$
因式分解：$(t - 1)(t - 3) = 0$
解得：$t_1 = 1$，$t_2 = 3$
答：经过1秒或3秒该物体离地面15 m。