《2025年云南省标准教辅优佳学案配套测试卷九年级数学上册人教版》

24. (本小题满分7分)
如图，正比例函数 y=kx(k≠0)经过点 A(2，4)，AB⊥x 轴于点 B.

(1)求该正比例函数的解析式.
(2)将△ABO 绕点 A 逆时针旋转 90°得到△ADC，写出点 C 的坐标，试判断点 C 是否在直线$ y=\frac13x+1 $的图象上，并说明理由.

答案：
(1) $ y = 2x $；
(2) 点 $ C $ 的坐标为 $ (6,2) $，不在直线 $ y = \frac{1}{3}x + 1 $ 上。

25. (本小题满分8分)
如图①，△ABC 是等腰直角三角形，四边形 ADEF 是正方形，点 D，F 分别在边 AB，AC 上，此时 BD=CF，BD⊥CF 成立. 如图②，当将正方形 ADEF 绕点 A 逆时针旋转角 θ(0°＜θ＜90°)时，BD=CF 成立吗？请说明理由.

答案： BD=CF成立。理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°。
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°。
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAC - ∠DAC=∠DAF - ∠DAC，即∠BAD=∠CAF。
在△ABD和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=AC \\ ∠BAD=∠CAF \\ AD=AF \end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACF（SAS）。
∴BD=CF。
综上，BD=CF成立。