《2025年云南省标准教辅优佳学案配套测试卷九年级数学上册人教版》

26. (本小题满分8分)
如图，已知菱形 ABCD，∠B=60°，将一个 60°的∠MAN 的顶点与该菱形的顶点 A 重合，以 A 为旋转中心，按顺时针方向旋转这个 60°的∠MAN，使它的两边分别交 CB，DC 于点 E，F.
(1)如图①，当 BE=DF 时，AE 与 AF 的数量关系是.
(2)旋转∠MAN，如图②，当 BE≠DF 时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由.

答案：
(1) $AE = AF$。
(2) 成立。
证明：
连接$AC$。
因为四边形$ABCD$是菱形，
所以$AB = AC$，$AD=AB$，
所以$AB = AC=AD$，
又因为$\angle B = 60°$，
所以$\triangle ABC$是等边三角形，
所以$\angle B=\angle ACB = \angle BAC = 60°=\angle ACD$，
又因为$\angle MAN = 60°$，
所以$\angle BAE+\angle EAC=\angle CAF+\angle EAC = 60°$，
所以$\angle BAE=\angle CAF$，
在$\triangle ABE$和$\triangle ACF$中，
$\begin{cases}\angle B=\angle ACF, \\ AB = AC, \\ \angle BAE=\angle CAF.\end{cases}$
所以$\triangle ABE\cong\triangle ACF(ASA)$，
所以$AE = AF$。