《2025年云南省标准教辅优佳学案配套测试卷九年级数学上册人教版》

27. (本小题满分12分)
如图，抛物线$y = -\frac{1}{4}x^2 + \frac{3}{2}x + 4$与$x$轴交于点$A$和点$B$，与$y$轴交于点$C$，点$D$与点$C$关于$x$轴对称，点$P$是$x$轴上的一个动点.设点$P$的坐标为$(m, 0)$，过点$P$作$x$轴的垂线$l$交抛物线于点$Q$.
(1)求点$A$，$B$，$C$的坐标.
(2)当点$P$在线段$OB$上运动时，直线$l$交$BD$于点$M$，试探究：当$m$为何值时，四边形$CQMD$是平行四边形？
(3)在点$P$的运动过程中，是否存在点$Q$，使$\triangle BDQ$是以$BD$为直角边的直角三角形？若存在，求出点$Q$的坐标；若不存在，请说明理由.

答案：
(1) 对于抛物线$y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{3}{2}x+4$，令$y=0$，则$-\frac{1}{4}x^2+\frac{3}{2}x+4=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=8$，故$A(-2,0)$，$B(8,0)$；令$x=0$，得$y=4$，故$C(0,4)$。
(2) 点$D$与$C$关于$x$轴对称，$C(0,4)$，则$D(0,-4)$。设$BD$解析式为$y=kx+b$，代入$B(8,0)$，$D(0,-4)$，得$\begin{cases}8k+b=0\\b=-4\end{cases}$，解得$k=\frac{1}{2}$，故$BD:y=\frac{1}{2}x-4$。点$P(m,0)$在线段$OB$上，$0\leq m\leq8$，直线$l:x=m$交抛物线于$Q(m,-\frac{1}{4}m^2+\frac{3}{2}m+4)$，交$BD$于$M(m,\frac{1}{2}m-4)$。四边形$CQMD$为平行四边形，则$QM=CD=8$。$QM=(-\frac{1}{4}m^2+\frac{3}{2}m+4)-(\frac{1}{2}m-4)=-\frac{1}{4}m^2+m+8=8$，解得$m=4$（$m=0$舍去）。
(3) 存在。①当$\angle DBQ=90°$时，$BD\perp BQ$，$B(8,0)$，$D(0,-4)$，$Q(m,y_Q)$。向量$\overrightarrow{BD}=(-8,-4)$，$\overrightarrow{BQ}=(m-8,y_Q)$，$\overrightarrow{BD}·\overrightarrow{BQ}=-8(m-8)-4y_Q=0$，得$y_Q=-2m+16$。代入抛物线方程：$-\frac{1}{4}m^2+\frac{3}{2}m+4=-2m+16$，解得$m=6$（$m=8$舍去），$Q(6,4)$。②当$\angle BDQ=90°$时，$BD\perp DQ$，向量$\overrightarrow{DB}=(8,4)$，$\overrightarrow{DQ}=(m,y_Q+4)$，$\overrightarrow{DB}·\overrightarrow{DQ}=8m+4(y_Q+4)=0$，得$y_Q=-2m-4$。代入抛物线方程：$-\frac{1}{4}m^2+\frac{3}{2}m+4=-2m-4$，解得$m=16$或$m=-2$，$Q(16,-36)$或$Q(-2,0)$。综上，$Q$的坐标为$(6,4)$，$(-2,0)$，$(16,-36)$。
(1)$A(-2,0)$，$B(8,0)$，$C(0,4)$；
(2)$m=4$；
(3)存在，$Q(6,4)$，$(-2,0)$，$(16,-36)$。