《2025年云南省标准教辅优佳学案配套测试卷九年级数学上册人教版》

27. (本小题满分12分)
如图，点 P 是正方形 ABCD 内一点，点 P 到点 A，B 和 D 的距离分别为 1，$2\sqrt{2} $和$\sqrt{10}，$△APP′是等腰直角三角形，连接 BP′，延长 AP 与 BC 相交于点 Q.

(1)求证：DP=BP′.
(2)求∠BPQ 的大小.
(3)求正方形 ABCD 的边长.

答案：
(1) 证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°。
∵△APP′是等腰直角三角形，
∴AP=AP′，∠PAP′=90°。
∴∠DAP=∠BAP′。在△APD和△AP′B中，AD=AB，∠DAP=∠BAP′，AP=AP′，
∴△APD≌△AP′B(SAS)，
∴DP=BP′。
(2) 解：
∵△APP′是等腰直角三角形，AP=AP′=1，∠PAP′=90°，
∴PP′=√(AP²+AP′²)=√2，∠APP′=45°。由
(1)知BP′=DP=√10。在△PBP′中，PB=2√2，PP′=√2，BP′=√10。
∵(√2)²+(2√2)²=2+8=10=(√10)²，
∴△PBP′是直角三角形，∠P′PB=90°。
∴∠APB=∠APP′+∠P′PB=45°+90°=135°。
∵Q在AP延长线上，
∴∠BPQ=180°-∠APB=45°。
(3) 解：过点P作EF⊥AB于E，交CD于F，设AE=a，EP=b，正方形边长为x，则EB=x-a，PF=x-b。在Rt△AEP中，a²+b²=1①；在Rt△DFP中，a²+(x-b)²=10②；在Rt△BEP中，(x-a)²+b²=8③。②-①得x²-2bx=9④；③-①得x²-2ax=7⑤。由④得b=(x²-9)/(2x)，由⑤得a=(x²-7)/(2x)。代入①得[(x²-7)/(2x)]²+[(x²-9)/(2x)]²=1，化简得x⁴-18x²+65=0，解得x²=13（x²=5舍），
∴x=√13。即正方形边长为√13。