《2025年全程助学与学习评估八年级数学上册浙教版》

7. 某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现,他把“抖空竹”抽象成数学问题,如图,已知$AB // CD$,$\angle BAE = 87^{\circ}$,$\angle DCE = 121^{\circ}$,则$\angle E$的度数是(B)

A.$28^{\circ}$
B.$34^{\circ}$
C.$46^{\circ}$
D.$56^{\circ}$
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答案： B

8. 已知$l_{1} // l_{2}$,直线$l与l_{1}$,$l_{2}相交于C$,$D$两点,将一把含$30^{\circ}$角的三角尺按如图所示的位置摆放.若$\angle 1 = 130^{\circ}$,则$\angle 2 = $20.
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答案： 20

9. 如图,已知直线$AB // CD$,直线$EF分别交AB$,$CD于M$,$N$,$MP平分\angle EMB$,$NQ平分\angle MND$.求证：$MP // NQ$.
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答案： 证明：
∵AB//CD（已知），
∴∠EMB=∠MND（两直线平行，同位角相等）。
∵MP平分∠EMB（已知），
∴∠EMP=1/2∠EMB（角平分线定义）。
∵NQ平分∠MND（已知），
∴∠MNQ=1/2∠MND（角平分线定义）。
∴∠EMP=∠MNQ（等量代换）。
∴MP//NQ（同位角相等，两直线平行）。

10. 已知$AB // CD$,$\angle ABE与\angle CDE的平分线交于点F$.
(1)如图$1$,若$\angle E = 80^{\circ}$,求$\angle BFD$的度数.
(2)如图$2$,$\angle ABM = \frac{1}{3}\angle ABF$,$\angle CDM = \frac{1}{3}\angle CDF$,写出$\angle M与\angle E$之间的数量关系,并证明你的结论.
★(3)若$\angle ABM = \frac{1}{n}\angle ABF$,$\angle CDM = \frac{1}{n}\angle CDF$,设$\angle E = m^{\circ}$,则$\angle M = $$\frac{360 - m}{2n}$(用含$n$,$m$的代数式表示,不用证明).
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答案：
(1) 过点F作FH//AB，
∵AB//CD，
∴FH//CD。
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，设∠ABF=∠FBE=x，∠CDF=∠FDE=y。
∵FH//AB，
∴∠BFH=∠ABF=x；
∵FH//CD，
∴∠DFH=∠CDF=y。
∴∠BFD=∠BFH+∠DFH=x+y。
过点E作EG//AB，
∵AB//CD，
∴EG//CD。
则∠ABE+∠BEG=180°，∠CDE+∠DEG=180°，
∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°。
∵∠BED=80°，
∴2x+2y+80°=360°，
∴x+y=140°。
∴∠BFD=140°。
(2) ∠E=360°-6∠M。
证明：设∠ABF=x，∠CDF=y，由
(1)知x+y=180°-∠E/2。
∵∠ABM=1/3∠ABF=x/3，∠CDM=1/3∠CDF=y/3。
过点M作MN//AB，
∵AB//CD，
∴MN//CD。
则∠BMN=∠ABM=x/3，∠DMN=∠CDM=y/3，
∴∠M=∠BMN+∠DMN=(x+y)/3。
∴x+y=3∠M，
∴3∠M=180°-∠E/2，
∴∠E=360°-6∠M。
(3) (360 - m)/(2n)°