《2025年全程助学与学习评估八年级数学上册浙教版》

7. 已知等腰三角形 $ABC$ 的周长为 13,且各边长均为整数,则这样的 $\triangle ABC$ 有(C)
A.5 个
B.4 个
C.3 个
D.2 个

答案： C

8. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = 20cm$,$AC = 12cm$,点 $P$ 从点 $B$ 出发以 $3cm/s$ 的速度向点 $A$ 运动,点 $Q$ 同时从点 $A$ 出发以 $2cm/s$ 的速度向点 $C$ 运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止。当 $\triangle APQ$ 是以 $PQ$ 为底的等腰三角形时,运动的时间是4 $s$。
]

答案： 4

▲9. 已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成 $6cm$ 和 $15cm$ 的两部分,求这个三角形的腰和底边的长度。

答案： 设等腰三角形的腰长为 $x \, cm$，底边长为 $y \, cm$。
根据题意，一腰上的中线将三角形的周长分成 $6 \, cm$ 和 $15 \, cm$ 的两部分。
因此，有两种可能的情况：
第一种情况：
$\begin{cases}\frac{x}{2} + x = 15, \\ \frac{x}{2} + y = 6.\end{cases}$
解这个方程组，得到：
$\begin{cases}x = 10, \\ y = 1.\end{cases}$
经检验，三边长为 $10 \, cm$，$10 \, cm$，$1 \, cm$，满足三角形的三边关系 $10 + 1 ＞ 10$，$10 + 10 ＞ 1$，$10-1＜10$，因此这种情况是合理的。
第二种情况：
$\begin{cases}\frac{x}{2} + x = 6, \\ \frac{x}{2} + y = 15.\end{cases}$
解这个方程组，得到：
$\begin{cases}x = 4, \\ y = 13.\end{cases}$
经检验，三边长为 $4 \, cm$，$4 \, cm$，$13 \, cm$，不满足三角形的三边关系 $4 + 4 ＜ 13$，因此这种情况是不合理的。
综上所述，这个等腰三角形的腰长为 $10 \, cm$，底边长为 $1 \, cm$。

10. 已知等边三角形 $ABC$ 和点 $P$,设点 $P$ 到 $\triangle ABC$ 的三条边 $AB$,$AC$,$BC$ 的距离分别为 $h_{1}$,$h_{2}$,$h_{3}$,$\triangle ABC$ 的高线长为 $h$。
(1)如图 1,若点 $P$ 在边 $BC$ 上。求证：$h = h_{1} + h_{2}$。
(2)如图 2,当点 $P$ 在 $\triangle ABC$ 内时,$h_{1}$,$h_{2}$,$h_{3}$ 和 $h$ 有什么关系？证明你的结论。
★(3)如图 3,当点 $P$ 与点 $A$ 在 $BC$ 两侧时,$h_{1}$,$h_{2}$,$h_{3}$ 和 $h$ 有什么关系(不需要证明)？

(第 10 题)

答案：
(1)证明：连接AP，设等边△ABC边长为a。
∵PD⊥AB，PE⊥AC，AM⊥BC，
∴S△ABP=1/2·AB·h₁=1/2·a·h₁，
S△ACP=1/2·AC·h₂=1/2·a·h₂，
S△ABC=1/2·BC·h=1/2·a·h。
∵点P在BC上，
∴S△ABC=S△ABP+S△ACP，
即1/2·a·h=1/2·a·h₁+1/2·a·h₂，
两边同除以1/2·a，得h=h₁+h₂。
(2)关系：h=h₁+h₂+h₃。
证明：连接AP，BP，CP，设等边△ABC边长为a。
∵PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC，AM⊥BC，
∴S△ABP=1/2·a·h₁，S△ACP=1/2·a·h₂，S△BCP=1/2·a·h₃，
S△ABC=1/2·a·h。
∵点P在△ABC内，
∴S△ABC=S△ABP+S△ACP+S△BCP，
即1/2·a·h=1/2·a·h₁+1/2·a·h₂+1/2·a·h₃，
两边同除以1/2·a，得h=h₁+h₂+h₃。
(3)h=h₁+h₂-h₃。