《2025年全程助学与学习评估八年级数学上册浙教版》

★7. 若 $a,b,c$ 是直角三角形的三条边长,斜边 $c$ 上的高线长是 $h$,给出下列结论：
①长度分别为 $a^{2},b^{2},c^{2}$ 的三条线段能组成一个三角形；
②长度分别为 $\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}$ 的三条线段能组成一个三角形；
③长度分别为 $a + b,c + h,h$ 的三条线段能组成直角三角形；
④长度分别为 $\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}$ 的三条线段能组成直角三角形。
其中正确结论的序号为 $②③$。

答案： ②③

8. 如图,$P$ 是正三角形 $ABC$ 内的一点,且 $PA = 6,PB = 8,PC = 10$,若将 $\triangle PAC$ 绕点 $A$ 逆时针旋转后得到 $\triangle P'AB$。
(1) 求点 $P$ 与点 $P'$ 之间的距离。
(2) 求 $\angle APB$ 的大小。
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答案：
(1) $PP' = 6$。
(2) $\angle APB = 150°$。

9. 在 $\triangle ABC$ 中，$BC = a$，$AC = b$，$AB = c$，设 $c$ 为最长边，当 $a^{2}+b^{2}= c^{2}$ 时，$\triangle ABC$ 是直角三角形；当 $a^{2}+b^{2}\neq c^{2}$ 时，利用代数式 $a^{2}+b^{2}$ 和 $c^{2}$ 的大小关系，探究 $\triangle ABC$ 的形状（按角分类）。
(1) 当 $\triangle ABC$ 的三边长分别为 $6,8,9$ 时，$\triangle ABC$ 为 锐角 三角形；当 $\triangle ABC$ 的三边长分别为 $6,8,11$ 时，$\triangle ABC$ 为 钝角 三角形。
(2) 猜想，当 $a^{2}+b^{2}$ ＞ $c^{2}$ 时，$\triangle ABC$ 为锐角三角形；当 $a^{2}+b^{2}$ ＜ $c^{2}$ 时，$\triangle ABC$ 为钝角三角形。
(3) 判断当 $a = 2,b = 3$ 时，$\triangle ABC$ 的形状，并求出对应的 $c$ 的取值范围。
因为$c$为最长边，即$c\geqslant3$，
当$\triangle ABC$是直角三角形时，$c^{2}=2^{2}+3^{2}=13$，$c=\sqrt{13}$；
当$\triangle ABC$是钝角三角形时，$c^{2}＞2^{2}+3^{2}=13$，$c＞\sqrt{13}$，又因为三角形三边关系$c＜2 + 3=5$，所以$\sqrt{13}＜c＜5$；
当$\triangle ABC$是锐角三角形时，$c^{2}＜2^{2}+3^{2}=13$，$c＜\sqrt{13}$，结合$c\geqslant3$，所以$3\leqslant c＜\sqrt{13}$。
综上，当$3\leqslant c＜\sqrt{13}$时，$\triangle ABC$是锐角三角形；当$c = \sqrt{13}$时，$\triangle ABC$是直角三角形；当$\sqrt{13}＜c＜5$时，$\triangle ABC$是钝角三角形。

答案：
(1)
对于三边长分别为$6,8,9$时：
$6^{2}+8^{2}=36 + 64=100$，$9^{2}=81$，因为$6^{2}+8^{2}＞9^{2}$，所以$\triangle ABC$为锐角三角形；
对于三边长分别为$6,8,11$时：
$6^{2}+8^{2}=100$，$11^{2}=121$，因为$6^{2}+8^{2}＜11^{2}$，所以$\triangle ABC$为钝角三角形。
(2)
$＞$；$＜$
(3)
因为$c$为最长边，即$c\geqslant3$，
当$\triangle ABC$是直角三角形时，$c^{2}=2^{2}+3^{2}=13$，$c=\sqrt{13}$；
当$\triangle ABC$是钝角三角形时，$c^{2}＞2^{2}+3^{2}=13$，$c＞\sqrt{13}$，又因为三角形三边关系$c＜2 + 3=5$，所以$\sqrt{13}＜c＜5$；
当$\triangle ABC$是锐角三角形时，$c^{2}＜2^{2}+3^{2}=13$，$c＜\sqrt{13}$，结合$c\geqslant3$，所以$3\leqslant c＜\sqrt{13}$。
综上，当$3\leqslant c＜\sqrt{13}$时，$\triangle ABC$是锐角三角形；当$c = \sqrt{13}$时，$\triangle ABC$是直角三角形；当$\sqrt{13}＜c＜5$时，$\triangle ABC$是钝角三角形。