《2025年全程助学与学习评估八年级数学上册浙教版》

7. 已知坐标平面内有一点 $ A(m - 1,2m + 3) $.
(1) 点 $ A $ 在二、四象限的角平分线上,求点 $ A $ 的坐标.
(2) 点 $ A $ 到 $ y $ 轴的距离为 $ 2 $ 时,求点 $ A $ 的坐标.

答案：
(1) 因为点$A$在二、四象限的角平分线上，所以横纵坐标互为相反数，即$(m - 1) + (2m + 3) = 0$，解得$m = -\dfrac{2}{3}$。则$m - 1 = -\dfrac{5}{3}$，$2m + 3 = \dfrac{5}{3}$，点$A$的坐标为$\left(-\dfrac{5}{3}, \dfrac{5}{3}\right)$。
(2) 点$A$到$y$轴的距离为$2$，即$|m - 1| = 2$，所以$m - 1 = 2$或$m - 1 = -2$。当$m - 1 = 2$时，$m = 3$，$2m + 3 = 9$，点$A$坐标为$(2, 9)$；当$m - 1 = -2$时，$m = -1$，$2m + 3 = 1$，点$A$坐标为$(-2, 1)$。综上，点$A$的坐标为$(2, 9)$或$(-2, 1)$。

8. 如图,平面直角坐标系中有一正方形 $ OABC $,点 $ C $ 的坐标为 $ (-2,-1) $,则点 $ B $ 的坐标为 .

答案： 1. 首先，过点$B$作$BD\perp x$轴于$D$，过点$C$作$CE\perp x$轴于$E$：
已知$C(-2, - 1)$，则$OE = 2$，$CE = 1$。
因为四边形$OABC$是正方形，所以$\angle BOC = 90^{\circ}$，$OB = OC$。
又因为$\angle BOD+\angle COE = 90^{\circ}$，$\angle OCE+\angle COE = 90^{\circ}$，根据同角的余角相等，可得$\angle BOD=\angle OCE$。
在$\triangle BOD$和$\triangle OCE$中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle BDO=\angle OEC = 90^{\circ}\\\angle BOD=\angle OCE\\OB = OC\end{array}\right.$。
根据$AAS$（角 - 角 - 边）定理，$\triangle BOD\cong\triangle OCE$。
2. 然后，根据全等三角形的性质：
由$\triangle BOD\cong\triangle OCE$，可得$BD = OE = 2$，$OD = CE = 1$。
因为点$B$在第二象限，第二象限内点的坐标特征是$(-,+)$。
所以点$B$的坐标为$(-3,1)$。
故答案为$(-3,1)$。

9. 已知点 $ M(1 - m,m - 3) $,则点 $ M $ 不可能在(A)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： A

10. 如图,$ \triangle ABC $ 各顶点在格点处.
(1) 写出 $ \triangle ABC $ 各顶点的坐标.
(2) 过 $ A $ 作 $ AD \perp BC $ 于 $ D $,求 $ AD \cdot BC $ 的值.
]

答案：
(1) A(-2,-1)，B(1,-2)，C(3,2)
(2) 14

11. 如图,在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,三角板的直角顶点 $ P $ 的坐标为 $ (1,1) $,三角板绕点 $ P $ 在坐标平面内旋转,一条直角边与 $ x $ 轴的正半轴交于点 $ A $,另一条直角边与 $ y $ 轴交于点 $ B $.
(1) 连结 $ AB $,请判断 $ \triangle PAB $ 是什么三角形,并说明理由.
(2) 在三角板绕点 $ P $ 旋转的过程中,$ OA + OB $ 是定值吗？若是,请求出定值；若不是,请说明理由.
(3) 当 $ \triangle POA $ 为等腰三角形时,请直接写出所有满足条件的点 $ B $ 的坐标.
]

答案：
(1) △PAB是等腰直角三角形。
理由：过点P作PD⊥x轴于D，PE⊥y轴于E。
∵P(1,1)，
∴PD=PE=1，OD=OE=1，四边形PDOE为正方形，∠DPE=90°。
∵∠APB=90°，
∴∠APD=∠BPE（同角的余角相等）。
在△APD和△BPE中，∠ADP=∠BEP=90°，PD=PE，∠APD=∠BPE，
∴△APD≌△BPE(ASA)，
∴PA=PB。
又∠APB=90°，
∴△PAB是等腰直角三角形。
(2) OA + OB是定值，定值为2。
设A(a,0)(a＞0)，B(0,b)。
∵PA⊥PB，由
(1)中△APD≌△BPE得AD=BE。
AD=|a-1|，BE=|b-1|，结合坐标关系得a + b=2（推导过程：由斜率乘积为-1或全等性质可得）。
∵OA=a，OB=b（坐标值），
∴OA + OB=a + b=2，为定值。
(3) 满足条件的点B坐标为：
(0,0)，(0,1)，(0,2-√2)。
情况1：OA=OP。OP=√2，
∴a=√2，b=2 - √2，B(0,2-√2)。
情况2：OA=PA。a=√[(a-1)²+1]，解得a=1，b=1，B(0,1)。
情况3：OP=PA。√2=√[(a-1)²+1]，解得a=2（a=0舍），b=0，B(0,0)。