《2025年全程助学与学习评估八年级数学上册浙教版》

7. $ \triangle ABC $ 与 $ \triangle DEF $ 中,给出下列四组条件：
① $ AB = DE $,$ BC = EF $,$ AC = DF $；② $ AB = DE $,$ \angle B = \angle E $,$ BC = EF $；
③ $ \angle B = \angle E $,$ BC = EF $,$ \angle C = \angle F $；④ $ AB = DE $,$ AC = DF $,$ \angle B = \angle E $.
其中,能使 $ \triangle ABC \cong \triangle DEF $ 的条件是(C)
A.①③④
B.②③④
C.①②③
D.①②④

答案： C

8. 如图,$ AD $ 是 $ \triangle ABC $ 的中线,点 $ E,F $ 分别在 $ AB,AC $ 上(点 $ E,F $ 不与端点重合),且 $ DE \perp DF $。则 $ BE + CF $ 与 $ EF $ 的关系是(A)

A.$ BE + CF ＞ EF $
B.$ BE + CF ＜ EF $
C.$ BE + CF = EF $
D.不确定

答案： A

9. 如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ AC ＜ BC $.
(1) 要求尺规作图,不写作法,但保留作图痕迹：①作出 $ AB $ 的垂直平分线 $ MN $ 与 $ AB $ 交于点 $ D $,与 $ BC $ 交于点 $ E $；②过点 $ B $ 作 $ BF $ 垂直于 $ AE $,垂足为 $ F $.
(2) 求证：$ AC = BF $.

答案：
(1) ①如图，作出AB的垂直平分线MN（分别以A、B为圆心，大于AB一半长为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线MN），交AB于D，交BC于E；②如图，过B作BF⊥AE（以B为圆心画弧交AE于两点，分别以两点为圆心画弧交于一点，过B与该点作直线BF），垂足为F。（作图痕迹保留）
(2) 证明：
∵MN是AB的垂直平分线，
∴EA=EB。
∵∠C=90°，BF⊥AE，
∴∠C=∠BFE=90°。
∵∠AEC=∠BEF，
∴∠CAE=∠FBE（等角的余角相等）。
在△ACE和△BFE中，
∠C=∠BFE，
∠CAE=∠FBE，
EA=EB，
∴△ACE≌△BFE（AAS）。
∴AC=BF。

10. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,如果 $ BD,CE $ 分别是 $ \angle ABC,\angle ACB $ 的平分线且相交于点 $ P $,设 $ \angle A = n^{\circ} $.
(1) 求 $ \angle BPC $ 的度数(用含 $ n $ 的代数式表示)。
(2) 当 $ n = 60 $ 时,求证：$ BC = CD + BE $.

答案：
(1) 在△ABC中，∠A = n°，则∠ABC + ∠ACB = 180° - n°。
∵BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠PBC = 1/2∠ABC，∠PCB = 1/2∠ACB。
∴∠PBC + ∠PCB = 1/2(∠ABC + ∠ACB) = 1/2(180° - n°) = 90° - n°/2。
在△BPC中，∠BPC = 180° - (∠PBC + ∠PCB) = 180° - (90° - n°/2) = 90° + n°/2。
故∠BPC = (90 + n/2)°。
(2) 当n = 60时，∠A = 60°，则∠BPC = 90° + 60°/2 = 120°。
在BC上截取BF = BE，连接PF。
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBP = ∠FBP。
又
∵BP = BP，BE = BF，
∴△EBP ≌ △FBP(SAS)。
∴∠EPB = ∠FPB。
∵∠BPC = 120°，
∴∠EPB + ∠DPC = 60°（∠EPB + ∠DPC = 180° - ∠BPC）。
由△EBP ≌ △FBP，得∠EPB = ∠FPB = 60°，
∴∠FPC = ∠BPC - ∠FPB = 120° - 60° = 60°。
∵CE平分∠ACB，
∴∠FCP = ∠DCP。
又
∵PC = PC，∠FPC = ∠DPC = 60°，
∴△FPC ≌ △DPC(ASA)。
∴FC = DC。
∵BC = BF + FC，BF = BE，FC = DC，
∴BC = BE + CD。