《2025年全程助学与学习评估八年级数学上册浙教版》

11. 若不等式组 $ \begin{cases} 3x + 5 ＜ 5x + 1, \\ x ＞ m - 1 \end{cases} $ 的解是 $ x ＞ 2 $,则 $ m $ 的取值范围是(D)
A.$ m \leq 2 $
B.$ m ＜ 3 $
C.$ m \geq 3 $
D.$ m \leq 3 $

答案： D

12. 不等式组 $ \begin{cases} x ＜ 4, \\ x ＞ m \end{cases} $ 无解,则 $ m $ 的取值范围是(C)
A.$ m ＜ 4 $
B.$ m ＞ 4 $
C.$ m \geq 4 $
D.$ m \leq 4 $

答案： C

13. 若 $ a $,$ b $ 为常数,不等式 $ ax + b ＞ 0 $ 的解为 $ x ＜ \frac{1}{3} $,则 $ bx - a ＜ 0 $ 的解是(B)
A.$ x ＞ -3 $
B.$ x ＜ -3 $
C.$ x ＞ 3 $
D.$ x ＜ 3 $

答案： B

14. 已知 $ x ＞ y $,$ a $ 为任意实数,比较 $ ax - 3 $ 与 $ ay - 3 $ 的大小,说明理由.

答案： 作答：
当 $a ＞ 0$ 时：
因为$x ＞ y$，根据不等式的基本性质（不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变），
两边同时乘以$a$，得到：$ax ＞ ay$。
再根据不等式的基本性质（不等式两边同时加（或减）同一个整式，不等号方向不变），
在不等式两边同时减去3，得到：$ax - 3 ＞ ay - 3$。
当 $a = 0$ 时：
$ax - 3 = 0× x-3 = -3$，
$ay - 3 = 0× y-3 = -3$，
所以$ax - 3 = ay - 3$。
当 $a ＜ 0$ 时：
因为$x ＞ y$，根据不等式的基本性质（不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变），
两边同时乘以$a$，得到：$ax ＜ ay$。
再根据不等式的基本性质（不等式两边同时加（或减）同一个整式，不等号方向不变），
在不等式两边同时减去3，得到：$ax - 3 ＜ ay - 3$。
综上，当$a ＞ 0$时，$ax - 3 ＞ ay - 3$；当$a = 0$时，$ax - 3 = ay - 3$；当$a ＜ 0$时，$ax - 3 ＜ ay - 3$。

15. 对于实数 $ a $,$ b $ 定义运算“※”为 $ a※b = a + 3b $,例如 $ 5※2 = 5 + 3×2 = 11 $,则关于 $ x $ 的不等式 $ x※m ＜ 2 $ 有且只有一个正整数解时,$ m $ 的取值范围是$0 \leq m ＜ \frac{1}{3}$.

答案： $0 \leq m ＜ \frac{1}{3}$

16. 阅读下列材料.
解答“已知 $ x - y = 2 $,且 $ x ＞ 1 $,$ y ＜ 0 $,试确定 $ x + y $ 的取值范围”有如下解法.
解：$ \because x - y = 2 $,$ \therefore x = y + 2 $.
又 $ \because x ＞ 1 $,$ \therefore y + 2 ＞ 1 $,$ \therefore y ＞ -1 $.
又 $ \because y ＜ 0 $,$ \therefore -1 ＜ y ＜ 0 $. ①
同理可得 $ 1 ＜ x ＜ 2 $. ②
①+②得 $ -1 + 1 ＜ x + y ＜ 0 + 2 $,即 $ 0 ＜ x + y ＜ 2 $,
$ \therefore x + y $ 的取值范围是 $ 0 ＜ x + y ＜ 2 $.
请按照上述方法,回答下列问题.
(1) 已知 $ x - y = 4 $,且 $ x ＞ 3 $,$ y ＜ 1 $,则 $ x + y $ 的取值范围是______2＜x+y＜6.
(2) 已知 $ a - b = m $,且关于 $ x $,$ y $ 的方程组 $ \begin{cases} 2x - y = -1, \\ x + 2y = 5a - 8 \end{cases} $ 中 $ x ＜ 0 $,$ y ＞ 0 $,求 $ a + b $ 的取值范围(结果用含 $ m $ 的式子表示).
3 - m＜a + b＜4 - m

答案：
(1)
$\because x - y = 4$，$\therefore x = y + 4$。
又$\because x\gt 3$，$\therefore y + 4\gt 3$，$\therefore y\gt - 1$。
又$\because y\lt 1$，$\therefore - 1\lt y\lt 1$ ①。
同理可得$3\lt x\lt 5$ ②。
① + ②得$-1 + 3\lt x + y\lt 1 + 5$，即$2\lt x + y\lt 6$。
(2)
解方程组$\begin{cases}2x - y = - 1\\x + 2y = 5a - 8\end{cases}$
由$2x - y = - 1$可得$y = 2x + 1$，将其代入$x + 2y = 5a - 8$得：
$x + 2(2x + 1)=5a - 8$
$x + 4x+2 = 5a - 8$
$5x = 5a - 10$
$x = a - 2$
则$y = 2(a - 2)+1=2a - 3$。
因为$x\lt 0$，$y\gt 0$，所以$\begin{cases}a - 2\lt 0\\2a - 3\gt 0\end{cases}$
解$a - 2\lt 0$得$a\lt 2$，解$2a - 3\gt 0$得$a\gt\frac{3}{2}$，所以$\frac{3}{2}\lt a\lt 2$。
$\because a - b = m$，$\therefore b = a - m$。
则$a + b = a+(a - m)=2a - m$。
因为$\frac{3}{2}\lt a\lt 2$，所以$3 - m\lt 2a - m\lt 4 - m$，即$3 - m\lt a + b\lt 4 - m$。
综上，
(1) $2\lt x + y\lt 6$；
(2) $3 - m\lt a + b\lt 4 - m$。