《2025年全程助学与学习评估八年级数学上册浙教版》

9. 在 $ \triangle ABC $ 中, $ AB = AC,AD \perp BC $ 于点 $ D $,若 $ \triangle ABC $ 的周长为 50, $ \triangle ABD $ 的周长为 40,则 $ AD = $15.

答案： 15

10. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中, $ AB = BC = 8,AO = BO $,点 $ M $ 是射线 $ CO $ 上的一个动点, $ \angle AOC = 60^{\circ} $,则当 $ \triangle ABM $ 为直角三角形时, $ AM $ 的长为4,4√3,4√7.

答案： 4,4√3,4√7

11. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle BAC = 90^{\circ} $,点 $ D $ 在 $ BC $ 延长线上,且 $ AD = \frac{1}{2}BC $,若 $ \angle D = 40^{\circ} $,则 $ \angle B $ 等于 (B)

A.$ 10^{\circ} $
B.$ 20^{\circ} $
C.$ 30^{\circ} $
D.$ 40^{\circ} $

答案： B

12. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中, $ AD $ 是高, $ CE $ 是中线, $ DC = BE,DG \perp CE $ 于 $ G $. 求证:(1) $ G $ 是 $ CE $ 中点.(2) $ \angle B = 2 \angle BCE $.

答案：
(1)连接DE.
∵AD是高，
∴△ABD是直角三角形.
∵E是AB中点，
∴DE=BE=AE(直角三角形斜边上的中线等于斜边一半).
∵DC=BE，
∴DE=DC.
∵DG⊥CE，
∴G是CE中点(等腰三角形三线合一).
(2)
∵DE=BE，
∴∠B=∠BDE.
∵DE=DC，
∴∠DEC=∠BCE.
在△DEC中，∠EDC=180°-∠DEC-∠BCE=180°-2∠BCE.
∵∠BDE+∠EDC=180°，
∴∠BDE=180°-∠EDC=2∠BCE.
∴∠B=2∠BCE.

13. 如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中, $ \angle ABC = 90^{\circ},AB = 20,BC = 15 $,点 $ D $ 为 $ AC $ 边上的动点,点 $ D $ 从点 $ C $ 出发,沿边 $ CA $ 往 $ A $ 运动,当运动到点 $ A $ 时停止,若设点 $ D $ 运动的时间为 $ t $ 秒,点 $ D $ 运动的速度为每秒 2 个单位长度.
(1) 当 $ t = 2 $ 时, $ \triangle ABD $ 的面积为126(请直接写出答案).
(2) 当 $ t = $$\frac{9}{2}$或$\frac{25}{2}$时, $ \triangle CBD $ 是直角三角形(请直接写出答案).
(3) 求当 $ t $ 为何值时, $ \triangle CBD $ 是等腰三角形? 并说明理由.

答案：
(1) $t=2$时，点$D$运动的距离为$2×2 = 4$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$AB = 20$，$BC = 15$，根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{20^{2}+15^{2}} = 25$。
作$DH\perp BC$于$H$，$CD = 4$，因为$\triangle CDH\sim\triangle CAB$，所以$\frac{DH}{AB}=\frac{CH}{BC}=\frac{CD}{AC}$，即$\frac{DH}{20}=\frac{CH}{15}=\frac{4}{25}$，解得$DH=\frac{16}{5}$，$CH=\frac{12}{5}$。
$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}× AB× (BC - CH)=\frac{1}{2}×20×(15-\frac{12}{5})=12×13 = 126$（？此处按思路原逻辑先算，正确计算：$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×20×15 = 150$，$S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}× BC× DH=\frac{1}{2}×15×\frac{16}{5}=24$，$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle BCD}=150 - 24=126$）。
答案为$126$。
(2) 当$\angle CDB = 90^{\circ}$时，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}AB\cdot BC$，$25\cdot BD=20×15$，$BD = 12$，$CD=\sqrt{BC^{2}-BD^{2}}=\sqrt{15^{2}-12^{2}} = 9$，$t=\frac{9}{2}$。
当$\angle CBD = 90^{\circ}$时，点$D$与点$A$重合，$CD = CA = 25$，$t=\frac{25}{2}$。
答案为$\frac{9}{2}$或$\frac{25}{2}$。
(3)
过$B$作$BH\perp AC$于$H$，由面积法$AC\cdot BH=AB\cdot BC$，$25\cdot BH=20×15$，$BH = 12$，$CH=\sqrt{BC^{2}-BH^{2}}=\sqrt{15^{2}-12^{2}} = 9$。
当$BC = BC$时，$CD = 15$，$t=\frac{15}{2}$。
当$BC = BD$时，$CD = 2CH = 18$，$t = 9$。
当$BD = CD$时，设$CD=x$，则$HD = x - 9$，在$Rt\triangle BDH$中，$BD^{2}=BH^{2}+HD^{2}$，$x^{2}=12^{2}+(x - 9)^{2}$，$x^{2}=144+x^{2}-18x + 81$，$18x=225$，$x=\frac{25}{2}$，$t=\frac{25}{4}$。
综上，当$t=\frac{15}{2}$或$9$或$\frac{25}{4}$时，$\triangle CBD$是等腰三角形。