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1. 如图,在△ABC中,∠BAC= 90°,AD是BC边上的高,E是BC的中点,连结AE,则图中的直角三角形共有(
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
]
C
)A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
]
答案：
C
2. 在△ABC中,满足下列条件：①∠A= 60°,∠C= 30°；②∠A+∠B= ∠C；③∠A∶∠B∶∠C= 3∶4∶5；④∠A= 90°-∠C. 其中能确定△ABC是直角三角形的有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案：
C
3. 已知等腰直角三角形的斜边长为8,则该三角形的面积为
16
.
答案：
16
4. 如图,在△ABC中,∠C= 90°,∠B= 30°,AB的垂直平分线ED交AB于点E,交BC于点D. 若CD= 3,则BD的长为
]
6
.]
答案：
6
5. 如图,已知CD//AE,∠DCA与∠CAE的平分线相交于点B. 判断△ABC是否直角三角形,并证明你的结论.
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答案：
△ABC是直角三角形。
证明：
∵CD//AE（已知），
∴∠DCA + ∠CAE = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵CB平分∠DCA，AB平分∠CAE（已知），
∴∠BCA = 1/2∠DCA，∠BAC = 1/2∠CAE（角平分线定义）。
∴∠BCA + ∠BAC = 1/2(∠DCA + ∠CAE) = 1/2×180° = 90°。
在△ABC中，∠ABC = 180° - (∠BCA + ∠BAC) = 180° - 90° = 90°（三角形内角和定理）。
∴△ABC是直角三角形。
证明：
∵CD//AE（已知），
∴∠DCA + ∠CAE = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵CB平分∠DCA，AB平分∠CAE（已知），
∴∠BCA = 1/2∠DCA，∠BAC = 1/2∠CAE（角平分线定义）。
∴∠BCA + ∠BAC = 1/2(∠DCA + ∠CAE) = 1/2×180° = 90°。
在△ABC中，∠ABC = 180° - (∠BCA + ∠BAC) = 180° - 90° = 90°（三角形内角和定理）。
∴△ABC是直角三角形。
6. 在图中找出所有的格点C,使△ABC为等腰直角三角形,并指出这样的点C有几个(格点：图案中小正方形的顶点叫作格点)？
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答案：
设每个小正方形的边长为1，以A为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立直角坐标系，则$A(0,0)$，$B(4,2)$。
设点$C$的坐标为$(x,y)$。
当$\angle A$为直角时：
$AB$的水平位移为4，竖直位移为2，则$AC$需满足水平位移的平方加竖直位移的平方等于$AB$位移平方（$AB^{2}=20$），且$AC$的水平位移与竖直位移乘积等于$AC$或$AB$构成正方形面积的一半（即$\frac{1}{2}×$两直角边乘积，这里两直角边平方和为20，乘积为$xy$形式，通过$x^{2}+y^{2}=20$与$2xy = \frac{1}{2}×$（以$AB$为斜边求的两直角边乘积的2倍等关系推导），实际根据等腰直角三角形两直角边相等且$AC^{2}=2AC_{x}^{2}$等关系可得：
$AC$的水平位移$x$，竖直位移$y$满足$x^{2}+y^{2}=AC^{2}$，且$AC = \frac{AB}{\sqrt{2}}=\sqrt{10}×\sqrt{2}=\sqrt{20}$的构成条件，即$x^{2}+y^{2}=20$的整数解且满足等腰直角（两方向位移绝对值相等），此时$x = 0$，$y = 0$（与A重合舍去）或$x = 2$，$y = - 2$或$x=-2$，$y = 2$等情况中符合格点的，经检验$(2,-2)$，$( - 2,2)$满足（通过计算距离和斜率验证等腰直角），同时还有$(0,4)$（$AC$水平0，竖直4，$AC^{2}=16$，$AC$与$AB$构成的角通过斜率乘积为-1等验证为直角且$AC$中点到A与B到A的向量关系等验证等腰），$(4,0)$（同理），$(0,0)$舍去，所以有$(2,-2)$，$( - 2,2)$，$(0,4)$，$(4,0)$ 4个点。
当$\angle B$为直角时：
同理，以B为直角顶点，$BC$与$BA$构成等腰直角，$BA$水平位移 - 4，竖直位移 - 2，则$BC$需满足类似关系，可得$C$点：$(2,6)$，$(6,4)$，$(4,0)$（与前面重复在$\angle A$为直角时已算但在此情况也满足），$(8,2)$，经检验$(2,6)$，$(6,4)$，$(8,2)$新满足，$(4,0)$重复，所以新增3个点（除去重复）。
当$\angle C$为直角时：
设$C(x,y)$，则$AC^{2}=x^{2}+y^{2}$，$BC^{2}=(x - 4)^{2}+(y - 2)^{2}$，$AB^{2}=20$，且$AC = BC$，$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$（等腰直角三角形性质），由$AC = BC$得$x^{2}+y^{2}=(x - 4)^{2}+(y - 2)^{2}$，展开$x^{2}+y^{2}=x^{2}-8x + 16+y^{2}-4y + 4$，化简得$2x+y=5$；由$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$得$2(x^{2}+y^{2})=20$，即$x^{2}+y^{2}=10$。
联立$\begin{cases}2x + y=5\\x^{2}+y^{2}=10\end{cases}$，将$y = 5 - 2x$代入$x^{2}+y^{2}=10$得$x^{2}+(5 - 2x)^{2}=10$，$x^{2}+25-20x + 4x^{2}=10$，$5x^{2}-20x+15 = 0$，$x^{2}-4x + 3=0$，$(x - 1)(x - 3)=0$，解得$x = 1$，$y = 3$或$x = 3$，$y=-1$，即$(1,3)$，$(3,-1)$。
综合以上三种情况，除去重复的$(4,0)$，满足条件的$C$点有$(2,-2)$，$( - 2,2)$，$(0,4)$，$(4,0)$，$(2,6)$，$(6,4)$，$(8,2)$，$(1,3)$，$(3,-1)$，共10个点。
故答案为：满足条件的格点$C$有$(2,-2)$，$( - 2,2)$，$(0,4)$，$(4,0)$，$(2,6)$，$(6,4)$，$(8,2)$，$(1,3)$，$(3,-1)$，共10个。
设点$C$的坐标为$(x,y)$。
当$\angle A$为直角时：
$AB$的水平位移为4，竖直位移为2，则$AC$需满足水平位移的平方加竖直位移的平方等于$AB$位移平方（$AB^{2}=20$），且$AC$的水平位移与竖直位移乘积等于$AC$或$AB$构成正方形面积的一半（即$\frac{1}{2}×$两直角边乘积，这里两直角边平方和为20，乘积为$xy$形式，通过$x^{2}+y^{2}=20$与$2xy = \frac{1}{2}×$（以$AB$为斜边求的两直角边乘积的2倍等关系推导），实际根据等腰直角三角形两直角边相等且$AC^{2}=2AC_{x}^{2}$等关系可得：
$AC$的水平位移$x$，竖直位移$y$满足$x^{2}+y^{2}=AC^{2}$，且$AC = \frac{AB}{\sqrt{2}}=\sqrt{10}×\sqrt{2}=\sqrt{20}$的构成条件，即$x^{2}+y^{2}=20$的整数解且满足等腰直角（两方向位移绝对值相等），此时$x = 0$，$y = 0$（与A重合舍去）或$x = 2$，$y = - 2$或$x=-2$，$y = 2$等情况中符合格点的，经检验$(2,-2)$，$( - 2,2)$满足（通过计算距离和斜率验证等腰直角），同时还有$(0,4)$（$AC$水平0，竖直4，$AC^{2}=16$，$AC$与$AB$构成的角通过斜率乘积为-1等验证为直角且$AC$中点到A与B到A的向量关系等验证等腰），$(4,0)$（同理），$(0,0)$舍去，所以有$(2,-2)$，$( - 2,2)$，$(0,4)$，$(4,0)$ 4个点。
当$\angle B$为直角时：
同理，以B为直角顶点，$BC$与$BA$构成等腰直角，$BA$水平位移 - 4，竖直位移 - 2，则$BC$需满足类似关系，可得$C$点：$(2,6)$，$(6,4)$，$(4,0)$（与前面重复在$\angle A$为直角时已算但在此情况也满足），$(8,2)$，经检验$(2,6)$，$(6,4)$，$(8,2)$新满足，$(4,0)$重复，所以新增3个点（除去重复）。
当$\angle C$为直角时：
设$C(x,y)$，则$AC^{2}=x^{2}+y^{2}$，$BC^{2}=(x - 4)^{2}+(y - 2)^{2}$，$AB^{2}=20$，且$AC = BC$，$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$（等腰直角三角形性质），由$AC = BC$得$x^{2}+y^{2}=(x - 4)^{2}+(y - 2)^{2}$，展开$x^{2}+y^{2}=x^{2}-8x + 16+y^{2}-4y + 4$，化简得$2x+y=5$；由$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$得$2(x^{2}+y^{2})=20$，即$x^{2}+y^{2}=10$。
联立$\begin{cases}2x + y=5\\x^{2}+y^{2}=10\end{cases}$，将$y = 5 - 2x$代入$x^{2}+y^{2}=10$得$x^{2}+(5 - 2x)^{2}=10$，$x^{2}+25-20x + 4x^{2}=10$，$5x^{2}-20x+15 = 0$，$x^{2}-4x + 3=0$，$(x - 1)(x - 3)=0$，解得$x = 1$，$y = 3$或$x = 3$，$y=-1$，即$(1,3)$，$(3,-1)$。
综合以上三种情况，除去重复的$(4,0)$，满足条件的$C$点有$(2,-2)$，$( - 2,2)$，$(0,4)$，$(4,0)$，$(2,6)$，$(6,4)$，$(8,2)$，$(1,3)$，$(3,-1)$，共10个点。
故答案为：满足条件的格点$C$有$(2,-2)$，$( - 2,2)$，$(0,4)$，$(4,0)$，$(2,6)$，$(6,4)$，$(8,2)$，$(1,3)$，$(3,-1)$，共10个。
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